2023-2024學(xué)年河南省濟(jì)源市高二上學(xué)期期末質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省濟(jì)源市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)為.故選：B.2.過點(diǎn)且方向向量為的直線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)橹本€的方向向量為，所以直線的斜率，又函數(shù)過點(diǎn)，所以直線方程為，即；故選：B3.等差數(shù)列，0，，…的第20項(xiàng)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意，，所以，則.故選：C.4.若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量共面的是（）A.，， B.，， C.，， D.，，【答案】D【解析】由于構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故不共面，對于A，與共面，不共面，故，，不共面，否則，若，，共面，則共面，不符題意，A錯(cuò)誤；對于B，假設(shè)，，共面，則存在實(shí)數(shù)，使得，即，則，方程組無解，假設(shè)不成立，故，，不共面，B錯(cuò)誤；對于C，，與共面，由于不共面，故，與不共面，C錯(cuò)誤；對于D，，故，，共面，故選：D5.拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離是，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】拋物線即的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，雙曲線的漸近線方程為，即，所以點(diǎn)到直線距離為，則，則雙曲線的離心率為.故選：A6.我國享譽(yù)世界的數(shù)學(xué)大師華羅庚曾說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.”告知我們把“數(shù)”與“形”，“式”與“圖”結(jié)合起來是解決數(shù)學(xué)問題的有效途徑.若，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】可看作圓上的點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，如圖，只需求出臨界狀態(tài)：相切時(shí)的斜率，設(shè)直線為，則圓心到直線距離，解得：，所以的取值范圍為.故選：D7.已知數(shù)列滿足，，，則數(shù)列的第2024項(xiàng)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】所以累加得故選：C.8.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓：上位于軸上方的點(diǎn)，為右焦點(diǎn).延長，交橢圓于，兩點(diǎn)，，，則的值為（）A. B. C.3 D.【答案】B【解析】如圖，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，連接，因?yàn)?，結(jié)合橢圓的對稱性可知，四邊形為矩形，設(shè)，則，，，在中，，化簡整理得，所以，，在中，，所以，故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知直線：，其中，則下列說法正確的有（）A.直線過定點(diǎn) B.若直線與直線平行，則C.當(dāng)時(shí)，直線的傾斜角為 D.當(dāng)時(shí)，直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等【答案】AC【解析】由已知，直線：，則直線過定點(diǎn)，A正確；若直線與直線平行，則，得，或，B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，直線：，則，所以傾斜角為，C正確；當(dāng)時(shí)，直線：，其在軸上的截距分別為，不相等，D錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知方程表示的曲線為C，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，曲線C是橢圓B.當(dāng)或時(shí)，曲線C是雙曲線C.若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則D.若曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則【答案】BCD【解析】A選項(xiàng)，曲線是橢圓等價(jià)于，解得且，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，曲線是雙曲線等價(jià)于，解得或，故B正確；C選項(xiàng)，若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，解得，故C正確；D選項(xiàng)，若曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則，解得，故D正確.故選：BCD.11.設(shè)是公差為的等差數(shù)列，是其前項(xiàng)的和，且，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】根據(jù)題意可得，由等差數(shù)列性質(zhì)可知．因?yàn)?，所以，所以，所以?shù)列是遞增數(shù)列，的前項(xiàng)和有最小值為，所以.所以A，B正確，C，D不正確；故選：AB．12.如圖，正三棱柱中，，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為四邊形內(nèi)（包含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則以下結(jié)論正確的是（）A.B.異面直線與所成角的余弦值為C.若平面，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡的長度等于D.若點(diǎn)到平面的距離等于，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為拋物線的一部分【答案】BCD【解析】對于A，，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對于B，過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正三棱柱底面邊長為，側(cè)棱長為，則，，，，，所以，，因，所以，即，解得，因?yàn)?，，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為，選項(xiàng)B正確；取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，則∥，平面，平面，所以∥平面，同理∥平面，又，平面，平面，所以平面∥平面，因?yàn)槠矫媲移矫?，所以?dòng)點(diǎn)的軌跡的長度等于，故C正確；對于D，設(shè)點(diǎn)E在底面ABC的射影為，作垂直于，垂足為F，若點(diǎn)E到平面的距離等于，即有，又因?yàn)樵谥?，，得，其中等于點(diǎn)E到直線的距離，故點(diǎn)E滿足拋物線的定義，另外點(diǎn)E為四邊形內(nèi)（包含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，所以動(dòng)點(diǎn)E的軌跡為拋物線的一部分，故D正確.故選：BCD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若圓與圓只有唯一的公共點(diǎn)，則__________.【答案】或【解析】圓的圓心為，半徑為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其中，圓的圓心為，半徑為，由題意可知，兩圓外切或內(nèi)切，且，若兩圓外切，則，即，解得；若兩圓內(nèi)切，則，即，解得.綜上所述，或.故答案為：或.14.在平面直角坐標(biāo)系中,若的坐標(biāo),滿足方程,則點(diǎn)的軌跡是__________（填曲線的類型，填方程不給分）.【答案】直線【解析】由，得，所以等式左邊表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，右邊表示點(diǎn)到直線的距離，兩距離相等，而點(diǎn)在直線上，所以點(diǎn)的軌跡是垂直直線于點(diǎn)的直線.故答案：直線.15.已知數(shù)列均為正項(xiàng),且是等差數(shù)列，，則__________.【答案】100【解析】因?yàn)榍沂堑炔顢?shù)列，設(shè)公差為，所以，所以是正項(xiàng)等比數(shù)列，所以，所以，故答案為：100.16.如圖,在四棱臺(tái)中,，，設(shè)，則的最小值為__________.【答案】【解析】如圖，因?yàn)?，令，則面，則，所以的最小值即為四棱臺(tái)的高，過作面于，過作于，過作于，連接，因?yàn)槊?，面，所以，又，，面，所以，又，，得到，，同理可得，，，所以，得到，在中，，所以，得到，故答案為?四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知圓關(guān)于直線對稱,且圓與直線相切于點(diǎn).（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過點(diǎn)的直線被圓截得的弦長為6，求直線的方程.解：（1）因?yàn)閳A與直線相切于點(diǎn)所以過點(diǎn)與直線垂直的直線的斜率為，所以直線的方程為，即.由，解得圓心.所以半徑.故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）①若斜率存在，設(shè)過點(diǎn)的直線斜率為，則直線方程為：，即，所以圓心到直線的距離，又因?yàn)?，，所以，解?此時(shí)直線的方程為.②若斜率不存在，直線方程為，弦心距為2，半徑，弦長為，符合題意.綜上，直線的方程為或.18.已知數(shù)列滿足：，，設(shè).（1）求證：是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）由，，可得.因?yàn)?，即?所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列.（2）由（1）可得：，即，所以.（3）由（2）可知：，則，可得，兩式相減可得：.所以.19.在如圖所示的試驗(yàn)裝置中，兩個(gè)正方形框架、的邊長都是，且它們所在的平面互相垂直，活動(dòng)彈子、分別在正方形對角線和上移動(dòng)，且和的長度保持相等，記.（1）證明：平面；（2）當(dāng)為何值時(shí)，的長最小并求出最小值；（3）當(dāng)?shù)拈L最小時(shí)，求平面與平面夾角的余弦值.解：（1）因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以，平面，又因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，因?yàn)?，所以?則，易知平面的一個(gè)法向量為.因?yàn)?，所?又平面，所以平面.（2），其中.，當(dāng)時(shí)，最小，最小值為.（3）由（2）可知，當(dāng)、分別為、的為中點(diǎn)時(shí)，最短，此時(shí)、，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，所以，，所以平面與平面夾角的余弦值為.20.已知拋物線（）的焦點(diǎn)為,點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn),且.（1）求拋物線的方程；（2）不過原點(diǎn)的直線：與拋物線交于不同兩點(diǎn)，，若，求的值.解：（1）由拋物線過點(diǎn)，且，得所以拋物線方程為；（2）由不過原點(diǎn)的直線：與拋物線交于不同兩點(diǎn)，設(shè)，聯(lián)立得，所以，所以，所以因?yàn)?，所以，則，，即，解得或，又當(dāng)時(shí)，直線與拋物線的交點(diǎn)中有一點(diǎn)與原點(diǎn)重合，不符合題意，故舍去；所以實(shí)數(shù)的值為.21.如圖，已知四棱錐的底面是菱形，對角線，交于點(diǎn)，，，，底面，，分別為側(cè)棱，的中點(diǎn)，點(diǎn)在上且.（1）求證：，，，四點(diǎn)共面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求點(diǎn)到平面的距離.解：（1）因?yàn)槠矫媸橇庑?，所以，又因?yàn)榈酌?，面，所以，，所以，，兩兩垂直，以為坐?biāo)原點(diǎn)，以，，所在的直線分別為軸、軸和軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系：因?yàn)?，，，則，，，，，因?yàn)?，分別為側(cè)棱，的中點(diǎn)，所以，，設(shè)，，因?yàn)?，所以，解得，?所以，，.所以，由向量共面的充要條件可知，，，共面.又，，過同一點(diǎn)，從而，，，四點(diǎn)共面.（2）由（1）可得，，，，又因?yàn)?，所以?設(shè)平面的法向量，由，得到，取，可得，，所以，設(shè)直線與平面所成角為，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.（3）由（1）和（2）知，平面的法向量，設(shè)到平面的距離為，則.22.已知橢圓：的離心率為.點(diǎn)在橢圓上,點(diǎn)，，的面積為，為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線交橢圓于，兩點(diǎn)，直線的斜率為，直線的斜率為，且，證明：的面積是定值，并求此定值.解：（1）由已知得，∴，又，∴，∴橢圓：.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線：（且），代入，得，則，∴，則，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)點(diǎn)，，直線：，代入，得，∴，，，，∴，滿足，，又原點(diǎn)到直線的距離，∴，為定值.綜上，的面積為定值，定值為.河南省濟(jì)源市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)為.故選：B.2.過點(diǎn)且方向向量為的直線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)橹本€的方向向量為，所以直線的斜率，又函數(shù)過點(diǎn)，所以直線方程為，即；故選：B3.等差數(shù)列，0，，…的第20項(xiàng)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意，，所以，則.故選：C.4.若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量共面的是（）A.，， B.，， C.，， D.，，【答案】D【解析】由于構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故不共面，對于A，與共面，不共面，故，，不共面，否則，若，，共面，則共面，不符題意，A錯(cuò)誤；對于B，假設(shè)，，共面，則存在實(shí)數(shù)，使得，即，則，方程組無解，假設(shè)不成立，故，，不共面，B錯(cuò)誤；對于C，，與共面，由于不共面，故，與不共面，C錯(cuò)誤；對于D，，故，，共面，故選：D5.拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離是，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】拋物線即的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，雙曲線的漸近線方程為，即，所以點(diǎn)到直線距離為，則，則雙曲線的離心率為.故選：A6.我國享譽(yù)世界的數(shù)學(xué)大師華羅庚曾說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.”告知我們把“數(shù)”與“形”，“式”與“圖”結(jié)合起來是解決數(shù)學(xué)問題的有效途徑.若，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】可看作圓上的點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，如圖，只需求出臨界狀態(tài)：相切時(shí)的斜率，設(shè)直線為，則圓心到直線距離，解得：，所以的取值范圍為.故選：D7.已知數(shù)列滿足，，，則數(shù)列的第2024項(xiàng)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】所以累加得故選：C.8.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓：上位于軸上方的點(diǎn)，為右焦點(diǎn).延長，交橢圓于，兩點(diǎn)，，，則的值為（）A. B. C.3 D.【答案】B【解析】如圖，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，連接，因?yàn)?，結(jié)合橢圓的對稱性可知，四邊形為矩形，設(shè)，則，，，在中，，化簡整理得，所以，，在中，，所以，故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知直線：，其中，則下列說法正確的有（）A.直線過定點(diǎn) B.若直線與直線平行，則C.當(dāng)時(shí)，直線的傾斜角為 D.當(dāng)時(shí)，直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等【答案】AC【解析】由已知，直線：，則直線過定點(diǎn)，A正確；若直線與直線平行，則，得，或，B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，直線：，則，所以傾斜角為，C正確；當(dāng)時(shí)，直線：，其在軸上的截距分別為，不相等，D錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知方程表示的曲線為C，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，曲線C是橢圓B.當(dāng)或時(shí)，曲線C是雙曲線C.若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則D.若曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則【答案】BCD【解析】A選項(xiàng)，曲線是橢圓等價(jià)于，解得且，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，曲線是雙曲線等價(jià)于，解得或，故B正確；C選項(xiàng)，若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，解得，故C正確；D選項(xiàng)，若曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則，解得，故D正確.故選：BCD.11.設(shè)是公差為的等差數(shù)列，是其前項(xiàng)的和，且，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】根據(jù)題意可得，由等差數(shù)列性質(zhì)可知．因?yàn)?，所以，所以，所以?shù)列是遞增數(shù)列，的前項(xiàng)和有最小值為，所以.所以A，B正確，C，D不正確；故選：AB．12.如圖，正三棱柱中，，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為四邊形內(nèi)（包含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則以下結(jié)論正確的是（）A.B.異面直線與所成角的余弦值為C.若平面，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡的長度等于D.若點(diǎn)到平面的距離等于，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為拋物線的一部分【答案】BCD【解析】對于A，，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對于B，過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正三棱柱底面邊長為，側(cè)棱長為，則，，，，，所以，，因，所以，即，解得，因?yàn)?，，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為，選項(xiàng)B正確；取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，則∥，平面，平面，所以∥平面，同理∥平面，又，平面，平面，所以平面∥平面，因?yàn)槠矫媲移矫?，所以?dòng)點(diǎn)的軌跡的長度等于，故C正確；對于D，設(shè)點(diǎn)E在底面ABC的射影為，作垂直于，垂足為F，若點(diǎn)E到平面的距離等于，即有，又因?yàn)樵谥?，，得，其中等于點(diǎn)E到直線的距離，故點(diǎn)E滿足拋物線的定義，另外點(diǎn)E為四邊形內(nèi)（包含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，所以動(dòng)點(diǎn)E的軌跡為拋物線的一部分，故D正確.故選：BCD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若圓與圓只有唯一的公共點(diǎn)，則__________.【答案】或【解析】圓的圓心為，半徑為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其中，圓的圓心為，半徑為，由題意可知，兩圓外切或內(nèi)切，且，若兩圓外切，則，即，解得；若兩圓內(nèi)切，則，即，解得.綜上所述，或.故答案為：或.14.在平面直角坐標(biāo)系中,若的坐標(biāo),滿足方程,則點(diǎn)的軌跡是__________（填曲線的類型，填方程不給分）.【答案】直線【解析】由，得，所以等式左邊表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，右邊表示點(diǎn)到直線的距離，兩距離相等，而點(diǎn)在直線上，所以點(diǎn)的軌跡是垂直直線于點(diǎn)的直線.故答案：直線.15.已知數(shù)列均為正項(xiàng),且是等差數(shù)列，，則__________.【答案】100【解析】因?yàn)榍沂堑炔顢?shù)列，設(shè)公差為，所以，所以是正項(xiàng)等比數(shù)列，所以，所以，故答案為：100.16.如圖,在四棱臺(tái)中,，，設(shè)，則的最小值為__________.【答案】【解析】如圖，因?yàn)?，令，則面，則，所以的最小值即為四棱臺(tái)的高，過作面于，過作于，過作于，連接，因?yàn)槊妫?，所以，又，，面，所以，又，，得到，，同理可得，，，所以，得到，在中，，所以，得到，故答案為?四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知圓關(guān)于直線對稱,且圓與直線相切于點(diǎn).（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過點(diǎn)的直線被圓截得的弦長為6，求直線的方程.解：（1）因?yàn)閳A與直線相切于點(diǎn)所以過點(diǎn)與直線垂直的直線的斜率為，所以直線的方程為，即.由，解得圓心.所以半徑.故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）①若斜率存在，設(shè)過點(diǎn)的直線斜率為，則直線方程為：，即，所以圓心到直線的距離，又因?yàn)?，，所以，解?此時(shí)直線的方程為.②若斜率不存在，直線方程為，弦心距為2，半徑，弦長為，符合題意.綜上，直線的方程為或.18.已知數(shù)列滿足：，，設(shè).（1）求證：是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）由，，可得.因?yàn)?，即?所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列.（2）由（1）可得：，即，所以.（3）由（2）可知：，則，可得，兩式相減可得：.所以.19.在如圖所示的試驗(yàn)裝置中，兩個(gè)正方形框架、的邊長都是，且它們所在的平面互相垂直，活動(dòng)彈子、分別在正方形對角線和上移動(dòng)，且和的長度保持相等，記.（1）證明：平面；（2）當(dāng)為何值時(shí)，的長最小并求出最小值；（3）當(dāng)?shù)拈L最小時(shí)，求平面與平面夾角的余弦值.解：（1）因?yàn)樗倪呅螢檎叫危瑒t，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以，平面，又因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，因?yàn)?，所以?則，易知平面的一個(gè)法向量為.因?yàn)?，所?又平面，所以平面.（2），