2023-2024學年江蘇省泰州市興化市高二上學期期末考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省泰州市興化市2023-2024學年高二上學期期末數(shù)學試題注意事項：1.本試卷共分兩部分，第Ⅰ卷為選擇題，第Ⅱ卷為非選擇題.2.所有試題的答案均填寫在答題卡上，答案寫在試卷上的無效.第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，選對得5分，選錯得0分．1.已知直線：，：，若，則（）A.－1 B.3 C. D.【答案】D【解析】因為直線，且，故，解得.故選：D2.設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，且，，則（）A.8 B.16 C.32 D.64【答案】A【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比，因為，，則，解得，所以.故選：A3.已知直線l：，圓C：，若圓C上恰有三個點到直線l的距離為1，則（）A.1 B.3 C. D.4【答案】B【解析】由題意得，，則點C到直線l的距離為，圓C上恰有三個點到直線l的距離為1，則如圖所示，直線l交圓于A、B垂直半徑于，.故，故.故選：B4.已知數(shù)列首項為2，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知得，，則當時，有，經(jīng)檢驗當時也符合該式．∴.故選：D5.已知函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函數(shù)的定義域是，，若函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，即在恒成立，所以，恒成立，即設(shè)，，當時，函數(shù)取得最大值1，所以.故選：D6.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點在雙曲線的左支上，且，，則雙曲線的離心率為（）A. B. C.3 D.7【答案】A【解析】由雙曲線定義知，，因為，所以，，因為，，所以在中，由余弦定理得，即，化簡得，所以，故選：A7.已知奇函數(shù)，則函數(shù)的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由可知，所以，又因為是奇函數(shù)，所以，即可得時，，即；則，令可得，所以當時，，即在上單調(diào)遞增，當時，，即在上單調(diào)遞減，即在處取得極大值，也是最大值為.故選：A8.已知數(shù)列滿足，，.設(shè)，若對于，都有恒成立，則的最大值為（）A.3 B.4 C.7 D.9【答案】A【解析】整理數(shù)列的通項公式有：，結(jié)合可得數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，則，，原問題即：恒成立，當時，，即>3，綜上可得：的最大值為3.本題選擇A選項.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題滿分5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分．9.已知等比數(shù)列{an}滿足，，設(shè)其公比為q，前n項和為，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】對于A，由，得，所以，A正確；對于B，又因為，所以，故，所以，B正確；對于C，，所以，C錯誤；對于D，因為，因為且，所以，即，D正確.故選：ABD10.已知直線，圓，下列說法正確的是（）A.直線恒過點B.圓被軸截得的弦長為C.當直線與圓相切時，直線的斜率是D.當直線與圓相交時，直線斜率的取值范圍是【答案】AD【解析】對于選項A：因為，即，令，解得，所以直線恒過點，故A正確；對于選項B：圓的圓心，半徑，可知圓心到x軸的距離，所以圓被軸截得的弦長為，故B錯誤；對于選項C：因，當時，直線的斜率為，顯然無法取得，當時，直線的斜率不存在，綜上，直線的斜率不可能是，故C錯誤；對于選項D：當直線與圓相交時，則，解得，所以直線的斜率是，故D正確.故選：AD.11.已知是橢圓上的一動點，離心率為，橢圓與軸的交點分別為、，左、右焦點分別為、.下列關(guān)于橢圓的四個結(jié)論中正確的是（）A.若、的斜率存在且分別為、，則為一定值B.若橢圓上存在點使，則C.若的面積最大時，，則D.根據(jù)光學現(xiàn)象知道：從發(fā)出的光線經(jīng)過橢圓反射后一定會經(jīng)過.若一束光線從出發(fā)經(jīng)橢圓反射，當光線第次到達時，光線通過的總路程為【答案】AC【解析】依題意，，A，設(shè)，，則，為定值，A正確．B，若橢圓上存在點使，設(shè)為上頂點，如圖：則，B錯誤．C，若△的面積最大時，，P位于橢圓上頂點或下頂點，，，C正確．D，結(jié)合橢圓的定義可知，光線第次到達時，光線通過的總路程為，D錯誤．故選：AC.12.已知，，是的導函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.在上單調(diào)遞增．B.在上兩個零點C.當時，恒成立，則D.若函數(shù)只有一個極值點，則實數(shù)【答案】ACD【解析】，令，得，故A正確，，令得，得，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)．當時，；當時，且的大致圖象為只有一個零點，故B錯．記，則在上為減函數(shù)，對恒成立對恒成立．故C正確．，，設(shè)，只有一個極值點，只有一個解，即直線與的圖象只有一個交點．，在上為增函數(shù)，令，得，當時，；當時，．在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，，時，，即，且時，，又時，，因此的大致圖象如下（不含原點）：直線與它只有一個交點，則．故D正確．故選：ACD．第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若圓：與圓：外切，則實數(shù)______．【答案】【解析】圓的圓心為，半徑為.圓的圓心為，半徑為.由于兩圓外切，所以，得.故解得.故答案為：.14.已知定義在區(qū)間上的函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為______．【答案】【解析】因為,則令,即,且所以,所以的單調(diào)遞增區(qū)間為故答案為：15.過點的直線與拋物線交于，兩點，則的最小值為________．【答案】【解析】依題意可得直線的斜率存在，設(shè)直線，，，且，聯(lián)立，得，則，則，得，所以，當且僅當，時等號成立，故的最小值為．故答案為：．16.定義：在數(shù)列中，，其中為常數(shù)，則稱數(shù)列為“等比差”數(shù)列，已知“等比差”數(shù)列中，，，則______．【答案】【解析】由數(shù)列為“等比差”數(shù)列，則，所以，即數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，，則，所以，故答案為:.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知函數(shù).（1）求曲線在處切線方程；（2）若直線過坐標原點且與曲線相切，求直線的方程.解：（1），所以，所以，，所以切線方程為：，整理得.（2），所以，設(shè)切點坐標為，所以切線斜率為，則切線方程為：，又因為切線過原點，所以將代入切線方程得，解得，所以切線方程為：，整理得.18.已知數(shù)列的首項為1，前項和為，且滿足______.①，；②；③.從上述三個條件中選一個填在橫線上，并解決以下問題：（1）求；（2）求數(shù)列的前項和.解：（1）選①，因為，所以當為奇數(shù)時，；同理，當為偶數(shù)時，.所以.選②，因為，（*）所以當時，，（**）（*）-（**），得，即，所以數(shù)列是首項為1的常數(shù)列，所以.選③，因為，所以，所以數(shù)列是首項為的常數(shù)列，所以，所以當時，.當時，也符合上式.所以.（2）由（1）得，，所以19.已知圓經(jīng)過中的三點，且半徑最大.（1）求圓的方程；（2）過點的直線與圓交于兩點（在軸上方），在軸上是否存在定點，使得軸平分？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由.解：（1）由坐標可知：三點共線，由圖得直線垂直平分線段，由圓的性質(zhì)可以判斷圓經(jīng)過三點時，符合要求.所以圓心在的中垂線即軸上，設(shè)圓的方程為，則解得所以圓的方程為.（2）設(shè)過點的直線方程為.①當時，直線的方程為，此時可為軸上的任意一點.②當時，聯(lián)立方程組消去得，設(shè)，則.因軸平分，所以，即，化簡得，即，整理得.所以對任意恒成立，即恒成立，故，即.綜上，存在點，符合題意.20.記為數(shù)列的前項和，為數(shù)列的前項和，已知．（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）已知數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前項和.解：（1）數(shù)列的前項和，則，即，解得，當時，，即，整理得，而，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）知，即，當時，，當時，，符合的情況，因此，，則，所以，兩式相減得，所以.21.已知為坐標原點，橢圓的上焦點是拋物線的焦點，過焦點與拋物線對稱軸垂直的直線交橢圓于兩點，且，過點的直線交橢圓于兩點．（1）求橢圓的標準方程；（2）若點，記的面積為的面積為，求的取值范圍．解：（1）因為的焦點坐標為，所以，所以．因為，所以，化簡可得，又，解得，所以橢圓的標準方程為．（2）由（1）可知，可知過點的直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為，由，化簡可得，設(shè)，則，，由，解得．根據(jù)弦長公式可得．因為的面積為的面積為，設(shè)點到直線的距離為，根據(jù)點到直線的距離公式可得，所以，因此，因為，所以，則，從而，所以的取值范圍是．22已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若存在不相等的實數(shù)，使得，證明：．解：（1）函數(shù)的定義域為，，當時，，所以在上單調(diào)遞增；當時，由得，所以在上單調(diào)遞增；由得，所以在上單調(diào)遞減；故時，所以在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2），，由（1）可知，當時，在上是增函數(shù)，故不存在不相等的實數(shù)，使得，所以．由得，即，不妨設(shè)，則，則，要證，只需證，即證，只需證，令，則只需證，即證，令，則，所以在上是增函數(shù)，所以，從而，故.江蘇省泰州市興化市2023-2024學年高二上學期期末數(shù)學試題注意事項：1.本試卷共分兩部分，第Ⅰ卷為選擇題，第Ⅱ卷為非選擇題.2.所有試題的答案均填寫在答題卡上，答案寫在試卷上的無效.第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，選對得5分，選錯得0分．1.已知直線：，：，若，則（）A.－1 B.3 C. D.【答案】D【解析】因為直線，且，故，解得.故選：D2.設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，且，，則（）A.8 B.16 C.32 D.64【答案】A【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比，因為，，則，解得，所以.故選：A3.已知直線l：，圓C：，若圓C上恰有三個點到直線l的距離為1，則（）A.1 B.3 C. D.4【答案】B【解析】由題意得，，則點C到直線l的距離為，圓C上恰有三個點到直線l的距離為1，則如圖所示，直線l交圓于A、B垂直半徑于，.故，故.故選：B4.已知數(shù)列首項為2，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知得，，則當時，有，經(jīng)檢驗當時也符合該式．∴.故選：D5.已知函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函數(shù)的定義域是，，若函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，即在恒成立，所以，恒成立，即設(shè)，，當時，函數(shù)取得最大值1，所以.故選：D6.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點在雙曲線的左支上，且，，則雙曲線的離心率為（）A. B. C.3 D.7【答案】A【解析】由雙曲線定義知，，因為，所以，，因為，，所以在中，由余弦定理得，即，化簡得，所以，故選：A7.已知奇函數(shù)，則函數(shù)的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由可知，所以，又因為是奇函數(shù)，所以，即可得時，，即；則，令可得，所以當時，，即在上單調(diào)遞增，當時，，即在上單調(diào)遞減，即在處取得極大值，也是最大值為.故選：A8.已知數(shù)列滿足，，.設(shè)，若對于，都有恒成立，則的最大值為（）A.3 B.4 C.7 D.9【答案】A【解析】整理數(shù)列的通項公式有：，結(jié)合可得數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，則，，原問題即：恒成立，當時，，即>3，綜上可得：的最大值為3.本題選擇A選項.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題滿分5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分．9.已知等比數(shù)列{an}滿足，，設(shè)其公比為q，前n項和為，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】對于A，由，得，所以，A正確；對于B，又因為，所以，故，所以，B正確；對于C，，所以，C錯誤；對于D，因為，因為且，所以，即，D正確.故選：ABD10.已知直線，圓，下列說法正確的是（）A.直線恒過點B.圓被軸截得的弦長為C.當直線與圓相切時，直線的斜率是D.當直線與圓相交時，直線斜率的取值范圍是【答案】AD【解析】對于選項A：因為，即，令，解得，所以直線恒過點，故A正確；對于選項B：圓的圓心，半徑，可知圓心到x軸的距離，所以圓被軸截得的弦長為，故B錯誤；對于選項C：因，當時，直線的斜率為，顯然無法取得，當時，直線的斜率不存在，綜上，直線的斜率不可能是，故C錯誤；對于選項D：當直線與圓相交時，則，解得，所以直線的斜率是，故D正確.故選：AD.11.已知是橢圓上的一動點，離心率為，橢圓與軸的交點分別為、，左、右焦點分別為、.下列關(guān)于橢圓的四個結(jié)論中正確的是（）A.若、的斜率存在且分別為、，則為一定值B.若橢圓上存在點使，則C.若的面積最大時，，則D.根據(jù)光學現(xiàn)象知道：從發(fā)出的光線經(jīng)過橢圓反射后一定會經(jīng)過.若一束光線從出發(fā)經(jīng)橢圓反射，當光線第次到達時，光線通過的總路程為【答案】AC【解析】依題意，，A，設(shè)，，則，為定值，A正確．B，若橢圓上存在點使，設(shè)為上頂點，如圖：則，B錯誤．C，若△的面積最大時，，P位于橢圓上頂點或下頂點，，，C正確．D，結(jié)合橢圓的定義可知，光線第次到達時，光線通過的總路程為，D錯誤．故選：AC.12.已知，，是的導函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.在上單調(diào)遞增．B.在上兩個零點C.當時，恒成立，則D.若函數(shù)只有一個極值點，則實數(shù)【答案】ACD【解析】，令，得，故A正確，，令得，得，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)．當時，；當時，且的大致圖象為只有一個零點，故B錯．記，則在上為減函數(shù)，對恒成立對恒成立．故C正確．，，設(shè)，只有一個極值點，只有一個解，即直線與的圖象只有一個交點．，在上為增函數(shù)，令，得，當時，；當時，．在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，，時，，即，且時，，又時，，因此的大致圖象如下（不含原點）：直線與它只有一個交點，則．故D正確．故選：ACD．第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若圓：與圓：外切，則實數(shù)______．【答案】【解析】圓的圓心為，半徑為.圓的圓心為，半徑為.由于兩圓外切，所以，得.故解得.故答案為：.14.已知定義在區(qū)間上的函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為______．【答案】【解析】因為,則令,即,且所以,所以的單調(diào)遞增區(qū)間為故答案為：15.過點的直線與拋物線交于，兩點，則的最小值為________．【答案】【解析】依題意可得直線的斜率存在，設(shè)直線，，，且，聯(lián)立，得，則，則，得，所以，當且僅當，時等號成立，故的最小值為．故答案為：．16.定義：在數(shù)列中，，其中為常數(shù)，則稱數(shù)列為“等比差”數(shù)列，已知“等比差”數(shù)列中，，，則______．【答案】【解析】由數(shù)列為“等比差”數(shù)列，則，所以，即數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，，則，所以，故答案為:.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知函數(shù).（1）求曲線在處切線方程；（2）若直線過坐標原點且與曲線相切，求直線的方程.解：（1），所以，所以，，所以切線方程為：，整理得.（2），所以，設(shè)切點坐標為，所以切線斜率為，則切線方程為：，又因為切線過原點，所以將代入切線方程得，解得，所以切線方程為：，整理得.18.已知數(shù)列的首項為1，前項和為，且滿足______.①，；②；③.從上述三個條件中選一個填在橫線上，并解決以下問題：（1）求；（2）求數(shù)列的前項和.解：（1）選①，因為，所以當為奇數(shù)時，；同理，當為偶數(shù)時，.所以.選②，因為，（*）所以當時，，（**）（*）-（**），得，即，所以數(shù)列是首項為1的常數(shù)列，所以.選③，因為，所以，所以數(shù)列是首項為的常數(shù)列，所以，所以當時，.當時，也符合上式.所以.（2）由（1）得，，所以19.已知圓經(jīng)過中的三點，且半徑最大.（1）求圓的方程；（2）過點的直線與圓交于兩點（在軸上方），在軸上是否存在定點，使得軸平分？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由.解：（1）由坐標可知：三點共線，由圖得直線垂直平分線段，由圓的性質(zhì)可以判斷圓經(jīng)過三點時，符合要求.所以圓心在的中垂線即軸上，設(shè)