《電路應(yīng)用基礎(chǔ)》課件第4章

第4章正弦交流電路4.1正弦量的基本概念

4.2正弦量的相量表示法

4.3電阻元件的交流電路

4.４電感元件的交流電路

4.5電容元件的交流電路

4.6電阻、電感與電容元件串聯(lián)*4.7GCL并聯(lián)電路和復(fù)導(dǎo)納第4章正弦交流電路*4.8正弦交流電路的計(jì)算

4.9正弦交流電路的功率

4.10功率因數(shù)的提高

4.11三相電路應(yīng)用與訓(xùn)練本章小結(jié)習(xí)題四交流發(fā)電機(jī)所產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)和正弦信號(hào)發(fā)生器所輸出的信號(hào)電壓，都是隨時(shí)間按正弦規(guī)律變化的，是常用的正弦電源。在生產(chǎn)上和日常生活中所用的交流電，一般都是正弦交流電。因此，正弦交流電路是電路基礎(chǔ)中很重要的一個(gè)部分。本章介紹正弦交流電路的一些基本概念、基本理論和基本分析方法。

分析與計(jì)算正弦交流電路，主要是確定不同參數(shù)和不同結(jié)構(gòu)的各種電路中電壓與電流之間的關(guān)系和功率。交流電路具有用直流電路的概念無(wú)法理解和無(wú)法分析的物理現(xiàn)象，因此在學(xué)習(xí)本章的時(shí)候，必須建立交流的概念，否則容易引起錯(cuò)誤。

學(xué)習(xí)任務(wù)：

(1)識(shí)別正弦波形，并測(cè)量其特性；

(2)確定正弦波的周期、頻率和角頻率，了解周期和頻率及角頻率之間的關(guān)系；

(3)確定正弦波的電壓值與電流值；

(４)描述正弦波的角度關(guān)系。4.1正弦量的基本概念

獲取能力：

(1)掌握正弦量的三要素以及相位差的概念；

(2)能寫(xiě)出正弦波的函數(shù)表達(dá)式，并能根據(jù)表達(dá)式描述正弦量的變化規(guī)律；

(3)掌握正弦量的幅值、有效值及平均值；

(4)正確使用信號(hào)源、功率表、毫伏表等交流電路的測(cè)量?jī)x器。4.1.1正弦電流與電壓

大小隨時(shí)間變化而方向不變的電流、電壓，稱(chēng)為脈動(dòng)電流和脈動(dòng)電壓，其波形如圖4-1-1(a)和(b)所示。大小和方向都隨時(shí)間作周期性變化的電流、電壓，稱(chēng)為周期電流和周期電壓，其波形如圖4-1-1(c)所示。在一個(gè)周期內(nèi)的數(shù)學(xué)平均值等于零的周期量，稱(chēng)為交變量交流電。交流電的變化按正弦規(guī)律變化的交流電流和電壓稱(chēng)為正弦量(sinusoid)，其波形如圖4-1-1(d)所示。

圖4-1-1各種電流、電壓波形正弦波是交流電流與交流電壓的基本類(lèi)型。電力系統(tǒng)提供的就是正弦波形式的電壓和電流。另外，其他類(lèi)型的重復(fù)性波形是由多種稱(chēng)為諧波的正弦波組成的。正弦量可用正弦函數(shù)表示，也可用余弦函數(shù)表示，本書(shū)用正弦函數(shù)表示正弦量。圖4-1-2顯示的是一般形狀的正弦波形，這個(gè)正弦波既可以是交流電流也可以是交流電壓。坐標(biāo)的垂直軸顯示電壓(或電流)，水平軸顯示時(shí)間。應(yīng)注意電壓(或電流)是如何變化的。由零點(diǎn)開(kāi)始，電壓(或電流)增長(zhǎng)到正向最大值(峰值)，返回到零，然后再負(fù)向增長(zhǎng)到負(fù)向最大值(峰值)，并返回到零，由此完成了完整的一周。由于正弦電壓(或電流)是周期性變化的，在電路圖上所標(biāo)的方向是指它們的參考方向，即代表正半周時(shí)的方向。在負(fù)半周時(shí)，由于所標(biāo)的參考方向與實(shí)際方向相反，則其值為負(fù)。圖中的虛線(xiàn)箭頭代表電流的實(shí)際方向； 、 代表電壓的實(shí)際方向(極性)。

圖4-1-2正弦電壓和電流4.1.2正弦量的三要素

正弦量的特征表現(xiàn)在變化的快慢、大小及初始值三個(gè)方面，而它們分別由角頻率(頻率或周期)、幅值(或有效值)和初相位來(lái)確定。因此角頻率、幅值和初相位稱(chēng)為確定正弦量的三要素。

1.角頻率、頻率和周期

正弦波完成完整一周所需的時(shí)間稱(chēng)為周期Ｔ，單位為秒(s)。每秒內(nèi)變化的次數(shù)稱(chēng)為頻率f，它的單位是赫茲(Hz)。

周期和頻率互為倒數(shù)的關(guān)系，即

在我國(guó)和大多數(shù)國(guó)家都采用50Hz作為電力標(biāo)準(zhǔn)頻率，有些國(guó)家(如美國(guó)、日本等)采用60Hz。50Hz頻率在工業(yè)上應(yīng)用廣泛，習(xí)慣上稱(chēng)為工頻。通常的交流電動(dòng)機(jī)和照明負(fù)載都用工頻。在其它各種不同的技術(shù)領(lǐng)域內(nèi)使用各種不同的頻率。

正弦量變化的快慢除用周期和頻率表示外，還可用角頻率w來(lái)表示。因?yàn)橐恢芷趦?nèi)經(jīng)歷了2p弧度(見(jiàn)圖4-1-2)，所以角頻率為

它的單位是弧度／秒(rad/s)。上式表示Ｔ、f、w三者之間的關(guān)系，只要知道其中之一，則另兩者即可求出。

例4-1-1

圖4-1-3所示正弦波的周期、頻率和角頻率是多少？

解如圖所示，1s內(nèi)完成了4周，則其頻率為4Hz，完成一周的時(shí)間為0.25s，即周期Ｔ為0.25s，則角頻率為

圖4-1-3例4-1-1用圖2.幅值與有效值(均方根值)

正弦量在任一瞬間的值稱(chēng)為瞬時(shí)值，用小寫(xiě)字母來(lái)表示，如i、U及e分別表示電流、電壓及電動(dòng)勢(shì)的瞬時(shí)值。瞬時(shí)值中最大的值稱(chēng)為幅值(峰值或最大值)，用帶下標(biāo)m的大寫(xiě)字母表示，如Im、Um及Em分別表示電流、電壓及電動(dòng)勢(shì)的幅值。

圖４-1-2所示是正弦電流的波形，它的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

i＝Imsinwt

工程上用來(lái)衡量周期性交流電大小的物理量稱(chēng)為有效值(effectivevalue)。它是用周期電流通過(guò)電阻產(chǎn)生的熱效應(yīng)來(lái)定義的。設(shè)周期電流i和恒定電流I通過(guò)同樣大小的電阻R，如果在周期電流i的一個(gè)周期時(shí)間內(nèi)，兩個(gè)電流產(chǎn)生的熱量相等，就平均效應(yīng)而言，二者的作用是相同的，該恒定電流I稱(chēng)為周期電流i的有效值。有效值都用大寫(xiě)字母表示，和表示直流的字母一樣。對(duì)正弦量則有

或

即正弦量的最大值是有效值的 倍，有效值是最大值的 。因此，引入有效值后，它可以代替最大值作為正弦量的三要素之一。

一般所講的正弦電壓或電流的大小(例如交流電壓380V或220V)都是指它的有效值。常用的交流測(cè)量?jī)x表指示的讀數(shù)、電氣設(shè)備的額定值都是指有效值。但各種器件和電氣設(shè)備的耐壓值則按最大值來(lái)考慮。

工程上有時(shí)還用到平均值(averagevalue)這一概念。取正弦波完整的一周時(shí)，正弦波的平均值總是為零，因?yàn)檎?零以上)與負(fù)值(零以下)相抵消。為了比較及確定如供電中常用的可調(diào)電壓的平均值，正弦波的平均值指的是周期量的絕對(duì)值在一個(gè)周期內(nèi)的平均值。對(duì)于正弦波電壓和電流，以峰值表示的平均值如下：

Iav＝0.637Im

Uav＝0.637Um

用來(lái)測(cè)量交流電壓、電流的全波整流系儀表，其指針的偏轉(zhuǎn)角與所通過(guò)電流的平均值成正比，而標(biāo)尺則是按有效值來(lái)刻度的，二者的關(guān)系為

3.初相位

正弦量是隨時(shí)間而變化的，要確定一個(gè)正弦量還需從計(jì)時(shí)起點(diǎn)(t＝０)上看。所取的計(jì)時(shí)起點(diǎn)不同，正弦量的初始值(t＝０時(shí)的值)就不同，到達(dá)幅值或某一特定值所需的時(shí)間也就不同。

正弦量可用下式表示為

i＝Imsinwt

其波形如圖4-1-2(a)所示。它的初始值為零。

正弦量也可用下式表示為

i＝Imsin(wt＋j)

其波形如圖4-1-4所示。這種情況下，初始值i0＝Imsinj，而不等于零。

上面兩式中的角度wt和wt＋j稱(chēng)為正弦量的相位角或相位，它反映出正弦量變化的進(jìn)程。當(dāng)相位角隨時(shí)間連續(xù)變化時(shí)，正弦量的瞬時(shí)值隨之作連續(xù)變化。

t＝0時(shí)的相位角稱(chēng)為初相位角或初相位。上面兩式中的初相位分別為零和j。因此，所取計(jì)時(shí)起點(diǎn)不同，正弦量的初相位不同，其起始值也就不同。如圖4-1-5所示波形，e1、e2初相位分別為－30°、30°。

圖4-1-4初相位不為零的正弦波形圖4-1-5頻率相同而初相位不同的正弦量初相位的單位可以用度或弧度表示，通常在－p≤

j≤p的范圍內(nèi)取值。初相位的大小和正負(fù)與計(jì)時(shí)起點(diǎn)的選擇有關(guān)。對(duì)任一正弦量，初相位可以任意指定，但對(duì)一個(gè)電路中的多個(gè)相關(guān)的正弦量，它們只能相對(duì)于一個(gè)共同的計(jì)時(shí)起點(diǎn)確定各自的相位。

如果把正弦波形從負(fù)值變?yōu)檎担c橫軸的交點(diǎn)叫做零點(diǎn)，則從圖4-1-6中可看到，對(duì)正弦量i(t)＝Imsin(wt＋j)，圖(a)中j＝0，圖(b)中j＞０，圖(c)中j＜０。

圖4-1-6初相位比較兩個(gè)正弦量主要取決于其三要素。

在一個(gè)正弦交流電路中，電壓U和電流i的頻率是相同的，但初相位不一定相同，如圖4-1-7(a)所示。圖4-1-7(a)中電壓U和電流i的波形可用下式表示：

u＝Umsin(wt＋ju)

i＝Imsin(wt＋ji)

電壓U和電流i的初相位分別為ju和ji。

圖4-1-7相位差兩個(gè)同頻率正弦量的相位角之差或初相位角之差，稱(chēng)為相位角差或相位差，它描述了兩個(gè)正弦量之間變化進(jìn)程的差異(用y表示)，則圖4-1-7(a)中電壓U和電流i的相位差為

y＝(wt＋ju)－(wt＋ji)＝j(luò)u－ji

可見(jiàn)，兩個(gè)同頻率正弦量的相位差僅與它們的初相有關(guān)，且任一時(shí)刻都是一個(gè)常數(shù)，而與時(shí)間無(wú)關(guān)。如果同頻率的正弦量u與i的相位差y＝j(luò)u－ji＞0，則認(rèn)為U的變化領(lǐng)先于i，稱(chēng)電壓u超前電流i，或稱(chēng)i滯后u；若y＝j(luò)u－ji＜0，則U滯后i，或稱(chēng)i超前u。

如果y＝j(luò)u－ji＝0，稱(chēng)電壓u與電流i同相，如圖4-1-7(b)所示；如果y＝j(luò)u－ji＝±p/2，稱(chēng)電壓u與電流i正交，如圖4-1-7(c)所示；如果y＝j(luò)u－ji＝±p，稱(chēng)電壓u與電流i反相，如圖4-1-7(d)所示。

由于相位差與計(jì)時(shí)起點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān)，因而根據(jù)問(wèn)題的需要，對(duì)于若干個(gè)同頻率的正弦量來(lái)說(shuō)，我們可以選擇計(jì)時(shí)起點(diǎn)，使其中任一個(gè)的初相為零，我們稱(chēng)為參考正弦量，而其他正弦量的初相則分別根據(jù)它們與參考正弦量的相位差來(lái)確定。

例4-1-2

在某電路中，

，求這兩個(gè)電流的頻率、周期、角頻率、幅值、有效值、初相位及它們之間的相位關(guān)系。

解

I1m＝141mA，

w1＝w2＝628rad/s，

則有

因?yàn)閥＜０，所以i1滯后i1

rad，或i2超前i2

rad。

4-1-1i1＝15sin(100pt＋45°)A，i2＝10sin(200pt－30°)A，兩者相位差為75°，是否正確？

4-1-2根據(jù)本書(shū)規(guī)定的符號(hào)，寫(xiě)成I＝15sin(314t＋45°)A，i＝Isin(wt＋j)，是否正確？

4-1-3已知某正弦電壓在t＝０時(shí)為220V，其初相位為45°，則它的有效值是多少？

4-1-4如果兩個(gè)同頻率的正弦電流在某一瞬時(shí)都是5Ａ，兩者是否一定同相？其幅值是否也一定相等？思考與練習(xí)

學(xué)習(xí)任務(wù)：

(1)學(xué)習(xí)如何用復(fù)數(shù)表示正弦量的大小和相位；

(2)運(yùn)用復(fù)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則計(jì)算正弦量；

(3)了解基爾霍夫定律的相量形式。

獲取能力：

(1)掌握用相量圖和相量式表示正弦量；

(2)學(xué)會(huì)利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算分析電路中的正弦量。4.2正弦量的相量表示法4.2.1正弦量的相量表示法

如上節(jié)所述，一個(gè)正弦量具有幅值、頻率及初相位三個(gè)特征。而這些特征可以用一些方法表示出來(lái)，如4.1節(jié)所用的三角函數(shù)式和波形。除此之外，正弦量還可用相量表示。相量表示法的基礎(chǔ)是復(fù)數(shù)，就是用復(fù)數(shù)來(lái)表示正弦量。正弦量的各種表示方法是分析與計(jì)算正弦交流電路的工具。利用相量對(duì)正弦穩(wěn)態(tài)電路進(jìn)行分析計(jì)算的方法稱(chēng)為相量法。相量的運(yùn)算方法就是復(fù)數(shù)的運(yùn)算方法，因此先對(duì)復(fù)數(shù)的有關(guān)知識(shí)作一簡(jiǎn)單介紹。設(shè)Ａ為一復(fù)數(shù)，a和b分別為復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，其代數(shù)形式為

A＝a＋jb

式中，j＝－1為虛數(shù)單位，取復(fù)數(shù)Ａ的實(shí)部和虛部分別用下列符號(hào)表示：

Re［A］＝a，Im［A］＝b

復(fù)數(shù)Ａ可以用復(fù)平面上的一條有向線(xiàn)段來(lái)表示，如圖4-2-1所示。由圖4-2-1可得復(fù)數(shù)Ａ的三角形式為

A＝rcosq＋jrsinq＝r(cosq＋jsinq)

圖4-2-1復(fù)數(shù)的表示式中，r為復(fù)數(shù)的模，q為復(fù)數(shù)的輻角。r和q與a和b的關(guān)系為

a＝rcosq，

b＝rsinq

由歐拉公式

ejq＝cosq＋jsinq

可得復(fù)數(shù)Ａ的指數(shù)形式為

A＝rejq

指數(shù)形式常簡(jiǎn)寫(xiě)成極坐標(biāo)式

A＝r∠q

在計(jì)算中，復(fù)數(shù)的相加和相減用代數(shù)形式進(jìn)行，可用解析法或圖解法求解。

例如，已知A1＝a1＋jb1，A2＝a2＋jb2，則

A1±A2＝(a1＋jb1)±(a2＋jb2)＝(a1±a2)＋j(b1±b2)

用圖解法求解復(fù)數(shù)相加和相減的示意圖如圖4-2-2所示。

復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算常用指數(shù)形式或極坐標(biāo)形式。如設(shè)A1＝r1∠q1，A2＝r2∠q2，如果兩復(fù)數(shù)相乘，則有

A1

A2＝r1∠q1·r2∠q2＝r1·r2∠(q1＋q2)

圖4-2-2圖解法

如果兩復(fù)數(shù)相除，則有

設(shè)某一正弦電流為

i＝Imsin(wt＋ji)

如果某復(fù)數(shù)Imejq中的輻角q＝wt＋ji，則

就是一個(gè)復(fù)指數(shù)函數(shù)，根據(jù)歐拉公式可展開(kāi)為

上式的虛部恰好為正弦電流i，即

這樣就將正弦電流與復(fù)指數(shù)函數(shù)聯(lián)系起來(lái)，為用復(fù)數(shù)表示正弦量開(kāi)辟了途徑。一個(gè)正弦量是由最大值、角頻率和初相位三個(gè)要素所決定的。在線(xiàn)性電路中，如果有多個(gè)激勵(lì)且為同一頻率的正弦量，由疊加定理可知，電路中全部穩(wěn)態(tài)響應(yīng)都將是同一頻率的正弦量。這樣，在正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的三要素中，只要確定它們的最大值和初相位兩個(gè)因素即可。

我們將i＝Imsin(wt＋ji)寫(xiě)成

式中，復(fù)常數(shù) ，其中模Im是正弦電流的最大值，輻角ji是正弦電流的初相，它們是正弦量的兩個(gè)要素；ejwt稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)因子，它是以模等于1，初相為零，并以角速度w逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的因子。 稱(chēng)為電流相量。為了將相量(表示正弦量的復(fù)數(shù))與一般復(fù)數(shù)相區(qū)別，在符號(hào)Im上加“·”。如把它表示在復(fù)平面上，則稱(chēng)為相量圖，如圖4-2-3所示。

圖4-2-3相量圖同樣地，正弦電壓也可表示為

式中， ，稱(chēng)為電壓相量。

正弦量與相量之間有著簡(jiǎn)單的對(duì)應(yīng)關(guān)系，只要知道了正弦量，就可方便地寫(xiě)出它的相量；反之，知道了正弦量的相量(頻率一定)，也可方便地寫(xiě)出它所表示的正弦量。如以正弦電流為例，這種對(duì)應(yīng)關(guān)系如下：

注意：用相量表示正弦量，并不是相量等于正弦量。相量必須乘以旋轉(zhuǎn)因子ejwt再取虛部才等于正弦量。相量法只適用于正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析計(jì)算。

相量也可以用有效值來(lái)定義，即

式中， 和 分別稱(chēng)為電流和電壓的有效值相量。相應(yīng)地， 和 分別稱(chēng)為電流和電壓的最大值相量，它們的關(guān)系為

圖4-2-4例4-2-1的相量圖

例4-2-1

已知正弦電壓

，

，寫(xiě)出它們的有效值相量，并繪出相量圖。

解

U1m＝311V，U2m＝537V

則

U1＝220V，U2＝380V

所以

相量圖如圖４-2-４所示。

例4-2-2

已知正弦量的相量為 ，頻率f＝50Hz，寫(xiě)出正弦量的解析式。

解

f＝50Hzw＝2pf≈2×3.14×50＝314rad/s

則

4.2.2用相量法求同頻率正弦量的和

在正弦電路中，電壓、電流、電動(dòng)勢(shì)等物理量都呈正弦規(guī)律變化。分析正弦電路時(shí)，經(jīng)常需要將這些正弦量進(jìn)行加、減運(yùn)算。若利用三角函數(shù)公式進(jìn)行運(yùn)算，則過(guò)程很麻煩，運(yùn)算量非常大。用相量法求同頻率正弦量的代數(shù)和，是把復(fù)雜的三角函數(shù)的計(jì)算通過(guò)簡(jiǎn)單的復(fù)數(shù)計(jì)算來(lái)實(shí)現(xiàn)，大大簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程。其理論依據(jù)是：

(1)同頻率的兩個(gè)正弦量相加，得到的仍然是一個(gè)同頻率的正弦量(證明略)。

(2)正弦量和的相量等于各正弦量相量的和(證明略)。

例4-2-3

已知u1＝2202sinwtV，u2＝2202sin(wt－120°)V，求u＝u1－u2。

解將瞬時(shí)量用相量來(lái)表示：

所以

u＝u1－u2＝3802sin(wt＋30°)V

也可以用相量圖來(lái)求同頻率正弦量的代數(shù)和。用相量圖求同頻率的正弦量的代數(shù)和時(shí)，應(yīng)遵循矢量運(yùn)算法則。為方便計(jì)算，相量的始端不一定都畫(huà)到原點(diǎn)。

用相量圖求解例4-2-3，結(jié)果與復(fù)數(shù)計(jì)算的結(jié)果相同，見(jiàn)圖4-2-5。圖中，求 的差是通過(guò)

的和來(lái)完成的。

圖4-2-5用相量圖求解例4-2-34.2.3基爾霍夫定律的相量形式

由以上內(nèi)容可知，若同頻率正弦量i1、i2和i3滿(mǎn)足關(guān)系式

i1＋i2＋i3＝0

則i1、i2和i3對(duì)應(yīng)的相量1、2和3也滿(mǎn)足關(guān)系式

如果i1、i2和i3是正弦交流電路中某節(jié)點(diǎn)的所有支路電流，則各支路電流相量的代數(shù)和恒等于零，即

同理，對(duì)電路中任一回路，所有電壓相量的代數(shù)和為零，即

以上兩式即是正弦交流電路中基爾霍夫定律的相量形式。

4-2-1什么是相量？相量和它所代表的正弦量之間有怎樣的關(guān)系？

4-2-2指出下列各式的錯(cuò)誤：

(1)i＝5sin(wt－30°)＝5e－j30°A

(2)U＝100ej45°＝100

sin(wt＋45°)V

(3)i＝10sinwt

(４)I＝10∠30°A

(5)思考與練習(xí)

4-2-3圖4-2-6所示電路中，i1＝8sin(wt＋60°)A，i2＝6sin(wt－30°)A，求i，并畫(huà)出相量圖。

圖4-2-6題4-2-3圖

學(xué)習(xí)任務(wù)：

(1)交流電路中電阻元件電壓和電流之間的關(guān)系及其相量式；

(2)交流電路中電阻元件的功率。4.3電阻元件的交流電路

獲取能力：

(1)掌握交流電路中電阻元件電壓和電流之間大小和相位關(guān)系，并能準(zhǔn)確寫(xiě)出相量式；

(2)理解交流電路中電阻元件的瞬時(shí)功率和平均功率，并能正確計(jì)算功率。

分析各種正弦交流電路，不外乎要確定電路中電壓與電流之間的關(guān)系(大小和相位)，并討論電路中能量的轉(zhuǎn)換和功率問(wèn)題。分析交流電路時(shí)，我們必須首先掌握單一參數(shù)(電阻、電感、電容)元件電路中電壓與電流之間的關(guān)系，因?yàn)樗械碾娐窡o(wú)非是一些單一參數(shù)元件的組合而已。

本節(jié)首先分析電阻元件的正弦交流電路。4.3.1電阻元件的電壓與電流

設(shè)電阻元件中電流和電壓的參考方向如圖4-3-1所示。設(shè)通過(guò)電阻中的正弦交流電流為

iR＝Imsin(wt＋ji)

則由歐姆定律有

UR＝RImsin(wt＋ji) (4-3-1)

顯然，電壓U與電流i是同頻率的正弦量，圖4-3-2是u和i的波形圖。把U寫(xiě)成正弦量的一般形式

U＝Umsin(wt＋ju) (4-3-2)

圖4-3-1電阻元件

比較式(4-3-1)和式(4-3-2)可得

(4-3-3)

即電阻元件電路中，電壓與電流的大小關(guān)系與歐姆定律形式相同，且電壓和電流是同相的(相位差y＝0)。

圖4-3-2電阻元件電壓、電流的波形如用相量表示電壓與電流的關(guān)系，則為

(4-3-4)

此即歐姆定律的相量表示式。其相量圖如圖4-3-3所示。

圖4-3-3電阻元件電壓、電流的相量圖4.3.2電阻元件的功率

知道了電壓與電流的變化規(guī)律和相互關(guān)系后，便可計(jì)算出電路中的功率。在任意瞬間，電壓瞬時(shí)值與電流瞬時(shí)值的乘積稱(chēng)為瞬時(shí)功率，用小寫(xiě)字母p表示。

設(shè)電阻元件上通過(guò)的電流為

iR＝IRmsinwt

在關(guān)聯(lián)的參考方向下電壓與電流同相，則電壓可表示為

uR＝uRmsinwt

則瞬時(shí)功率為

(4-3-5)由式(4-3-5)可繪出瞬時(shí)功率的曲線(xiàn)，見(jiàn)圖4-3-4。從圖中可看出，電阻元件的瞬時(shí)功率以2倍電流的頻率隨時(shí)間作周期性的變化，其值始終大于或等于零。這說(shuō)明電阻元件是耗能元件，在正弦交流電路中，除了電流為零的瞬間，電阻元件總是吸收功率的，也就是說(shuō)，電阻元件從電源取用電能而轉(zhuǎn)化為熱能，這是一種不可逆的能量轉(zhuǎn)換過(guò)程。通常用下式計(jì)算電能：

W＝Pt式中P是一個(gè)周期內(nèi)電路消耗電能的平均值，即瞬時(shí)功率的平均值，稱(chēng)為平均功率。在電阻電路中，平均功率為

上式的形式與直流電路中功率的計(jì)算公式相同，只是上式中的電壓、電流均為交流量的有效值。電阻元件的平均功率又稱(chēng)為有功功率。

圖4-3-4電阻元件電壓、電流和瞬時(shí)功率的波形

例4-3-1

設(shè)電阻元件電壓、電流的參考方向關(guān)聯(lián)，已知電阻R＝100W，通過(guò)電阻的電流iR＝1.414sin(wt＋30°)A。

(1)求電阻元件的電壓UR及uR；

(2)求電阻消耗的功率；

(3)畫(huà)相量圖。

解由iR＝1.414sin(wt＋30°)A有R＝1∠30°A則

UR＝100V

相量圖如圖4-3-5所示。圖4-3-5例4-3-1的電壓、電流相量圖

4-3-1把一個(gè)100W的電阻元件接到頻率為50Hz，電壓有效值為10V的正弦電源上，則電流是多少？如保持電壓值不變，而電源頻率改為5000Hz，這時(shí)電流將為多少？

4-3-2正弦電壓U＝300sin(314t＋150°)V加于100W的電阻兩端，用相量法求電阻中的電流i，并計(jì)算電阻消耗的功率。

4-3-3為什么電阻元件的正弦電壓和電流同相？它們的初相一定為零嗎？思考與練習(xí)

學(xué)習(xí)任務(wù)：

(1)交流電路中電感元件電壓和電流之間的關(guān)系及其相量式；

(2)交流電路中電感元件的功率。

獲取能力：

(1)理解感抗的概念及感抗與頻率的關(guān)系；

(2)掌握交流電路中電感元件電壓和電流之間大小和相位關(guān)系，并能準(zhǔn)確寫(xiě)出相量式；

(3)理解交流電路中電感元件的瞬時(shí)功率、有功功率和無(wú)功功率，并能正確計(jì)算功率。4.4電感元件的交流電路4.4.1電感元件的電壓與電流

設(shè)電感元件電壓和電流的參考方向關(guān)聯(lián)，如圖4-4-1所示，當(dāng)通過(guò)電感元件L的電流為

iL＝ILmsin(wt＋jiL)

則L兩端產(chǎn)生的電壓

圖4-4-1電感元件式中，

ULm＝wLILm(或UL＝wLIL)

juL＝j(luò)iL＋90°

以上結(jié)果表明，電壓uL和電流iL是同頻率的正弦量，并且電壓UL超前電流iL的相位為90°，即juL＝j(luò)iL＋90°，它們的最大值或有效值之間的關(guān)系為ULm＝wLILm或UL＝wLIL，它們有類(lèi)似歐姆定律的關(guān)系。圖4-4-2為電壓、電流的波形圖。

圖4-4-2電感元件電壓、電流波形電感元件兩端的電壓與通過(guò)它的電流有效值的比，反映了電感元件對(duì)電流的阻礙作用的大小，叫做電感元件的感抗，用XL表示，即

它具有與電阻相同的量綱，單位也是W(歐姆)。XL與頻率成正比，表明電感在高頻情況下有較大的感抗。當(dāng)w→∞時(shí)，XL→∞，電感相當(dāng)于開(kāi)路；當(dāng)w＝0時(shí)(即直流電路中)，XL＝０，電感相當(dāng)于短路。圖4-4-3所示為XL隨w變化的曲線(xiàn)，稱(chēng)為XL的頻率特性曲線(xiàn)。應(yīng)該注意，感抗只是電壓與電流的幅值或有效值之比，而不是它們的瞬時(shí)值之比。

如用相量表示電壓與電流的關(guān)系，則為

或

上式表示電壓的有效值等于電流的有效值與感抗的乘積，在相位上電壓比電流超前90°，其相量圖如圖4-4-4所示。

圖4-4-3感抗的頻率特性圖4-4-4電感元件電壓、電流相量圖4.4.2電感元件的功率

設(shè)電感元件上通過(guò)的電流(初相為零)為

iL＝ILmsinwt

在關(guān)聯(lián)方向下其端電壓超前電流90°，故電壓可表示為

uL＝ULmsin(wt＋90°)

則電感元件的瞬時(shí)功率

可見(jiàn)，電感元件的功率也是時(shí)間的正弦函數(shù)，其頻率為電流頻率的2倍，且可繪出瞬時(shí)功率的曲線(xiàn)，見(jiàn)圖4-4-5。

從圖中可見(jiàn)，在第一個(gè)1／4周期內(nèi)，電壓、電流均為正值，即它們的實(shí)際方向相同，因此，瞬時(shí)功率為正值，說(shuō)明電感元件吸收功率，把外電路供給的能量轉(zhuǎn)變?yōu)榇艌?chǎng)能量?jī)?chǔ)存起來(lái)。在第二個(gè)1／4周期內(nèi)，電流為正值，而電壓為負(fù)值，即電壓、電流的實(shí)際方向相反，瞬時(shí)功率為負(fù)值，說(shuō)明此時(shí)電感元件輸出能量，即把儲(chǔ)存的磁場(chǎng)能量釋放出來(lái)。以后的過(guò)程與此類(lèi)似。隨著電壓、電流的交變，電感元件不斷地進(jìn)行能量的“吞吐”。

圖4-4-5電感元件電壓、電流和瞬時(shí)功率的波形瞬時(shí)功率在電流的一個(gè)周期內(nèi)的平均值(即平均功率)為

平均功率為零，說(shuō)明電感元件不消耗能量，它是一個(gè)儲(chǔ)能元件。

瞬時(shí)功率的最大值反映了電感元件吞吐能量的規(guī)模，我們稱(chēng)之為無(wú)功功率，用QL表示，即

QL＝ULIL

將UL＝ILXL代入上式，可得到

上式為電感元件無(wú)功功率的計(jì)算公式，其數(shù)學(xué)形式與電阻元件有功功率的計(jì)算公式相同。

為區(qū)別于有功功率，無(wú)功功率的單位為var(乏)，1var＝1V×1Ａ。

電感元件不消耗能量，其感抗能限制交變電流，因此常用電感線(xiàn)圈作限流器、高頻扼流圈等。

例４-４-1

電感線(xiàn)圈的電感L＝0.0127H(電阻可忽略不計(jì))，接工頻f＝50Hz的交流電源，已知電源電壓U＝220V。

(1)求電感線(xiàn)圈的感抗XL、通過(guò)線(xiàn)圈的電流IL、線(xiàn)圈的無(wú)功功率QL和最大儲(chǔ)能WLm；

(2)設(shè)電壓的初相juL＝30°，且電壓、電流的參考方向關(guān)聯(lián)，畫(huà)出電壓、電流的相量圖；

(3)若頻率f＝5000Hz，線(xiàn)圈的感抗又是多少？

解

(1)

XL＝wL＝2pfL＝2×3.14×50×0.0127＝4W

QL＝ULIL＝220×55＝12100var

(2)

jiL＝j(luò)UL－90°＝30°－90°＝－60°

則

電壓、電流的相量圖見(jiàn)圖4-4-6。

圖4-4-6例4-4-1電壓、電流相量圖

(3)若頻率f＝5000Hz，則感抗為

XL＝2pfL＝2×3.14×5000×０.0127＝400W

4-4-1指出下列各式哪些是對(duì)的，哪些是錯(cuò)的。

思考與練習(xí)4-4-2在圖４-４-1的電感元件的正弦交流電路中，L＝100mH，f＝50Hz。

(1)已知iL＝72sinwtA，求電壓UL；

(2)已知L＝157∠－30°V，求，并畫(huà)出相量圖。

學(xué)習(xí)任務(wù)：

(1)交流電路中電容元件電壓和電流之間的關(guān)系及其相量式；

(2)交流電路中電容元件的功率。

獲取能力：

(1)理解容抗的概念，掌握容抗與頻率的關(guān)系；

(2)掌握交流電路中電容元件電壓和電流之間大小和相位關(guān)系，并能準(zhǔn)確寫(xiě)出相量式；

(3)理解交流電路中電容元件的瞬時(shí)功率、有功功率和無(wú)功功率，并能正確計(jì)算功率。4.5電容元件的交流電路4.5.1電容元件的電壓與電流

設(shè)電容元件電壓、電流的參考方向關(guān)聯(lián)，如圖４-5-1所示，其兩端電壓為

UC＝UCmsin(wt＋juC)

則通過(guò)C的電流為

＝wCUCmsin(wt＋juC＋90°)＝ICmsin(wt＋jiC)

圖4-5-1電容元件式中

上式表明，電容元件在正弦交流電路中，電流iC和電壓UC是同頻率的正弦量，iC和UC的波形如圖4-5-2所示。電流iC超前電壓UC的相位為90°，即jiC＝j(luò)uC＋90°，它們之間大小關(guān)系為IC＝wCuC，同樣有類(lèi)似歐姆定律的關(guān)系。

圖4-5-2電容元件電壓、電流的波形電容元件兩端的電壓與通過(guò)它的電流有效值的比，反映了電容元件對(duì)電流的阻礙作用的大小，叫做電容元件的容抗，用XC表示，即

容抗同樣具有與電阻相同的量綱，單位也是W(歐姆)。XC與頻率成反比，當(dāng)頻率w→∞時(shí)，XC→0，電容相當(dāng)于短路；當(dāng)w＝0(即直流)時(shí)，XC→∞，電容相當(dāng)于開(kāi)路，此即電容的隔直性能。對(duì)于給定的電容元件(即參數(shù)C一定)，容抗XC的頻率特性曲線(xiàn)如圖4-5-3所示。

如用相量表示電壓與電流的關(guān)系，則為

或

其相量圖如圖4-5-4所示。

圖4-5-3容抗的頻率特性圖4-5-4電容元件電壓、電流的相量圖4.5.2電容元件的功率

知道了電壓和電流的變化規(guī)律與相互關(guān)系后，便可找出瞬時(shí)功率的變化規(guī)律，如電容元件電流的初相為零，即

iC＝ICmsinwt

在關(guān)聯(lián)方向下其端電壓滯后電流90°，故電壓可表示為

uC＝UCmsin(wt－90°)＝－UCmsin(wt＋90°)

則電容元件的瞬時(shí)功率

顯然，電容元件的瞬時(shí)功率同樣是以2倍(電流的)頻率隨時(shí)間變化的正弦函數(shù)。可繪出瞬時(shí)功率的曲線(xiàn)，見(jiàn)圖4-5-5。

圖4-5-5電容元件電壓、電流和瞬時(shí)功率的波形從圖中可看出，在第一個(gè)1/4周期，電流為正值，而電壓為負(fù)值，即電壓、電流的實(shí)際方向相反，瞬時(shí)功率也為負(fù)值，說(shuō)明電容元件輸出功率，把在此之前儲(chǔ)存于電場(chǎng)中的能量釋放出來(lái)。第二個(gè)1/4周期，電壓、電流均為正值，即它們的實(shí)際方向相同；瞬時(shí)功率也為正值，說(shuō)明電容元件吸收功率，把外電路供給的能量又變成電場(chǎng)能量加以?xún)?chǔ)存。以后的過(guò)程與此類(lèi)似。隨著電壓、電流的交變，電容元件不斷地進(jìn)行能量的“吞吐”。把電容和電感兩種元件的瞬時(shí)功率曲線(xiàn)加以比較，可以發(fā)現(xiàn)，如果它們通過(guò)的電流同相，則當(dāng)電容吸收能量時(shí)，電感在釋放能量。瞬時(shí)功率在一個(gè)周期內(nèi)的平均值，即平均功率為

同電感一樣，電容元件的平均功率也為零，它不消耗能量，也是一個(gè)儲(chǔ)能元件。

正弦交流電路中電容元件吞吐能量的規(guī)模也用無(wú)功功率來(lái)衡量。電容元件的無(wú)功功率用QC表示。為了反映同一正弦交流電路中電容和電感在能量“吞吐”方面的相反作用，電容的無(wú)功功率定義為瞬時(shí)功率最大值的相反數(shù)，即

此式即為電容元件無(wú)功功率的計(jì)算公式。這里，負(fù)號(hào)是無(wú)功功率的標(biāo)志，用以區(qū)別電感的無(wú)功功率。

例4-5-1

電容元件的電容為C＝100mF，接工頻f＝50Hz的交流電源，已知電源電壓 。

(1)求電容元件的容抗XC和通過(guò)電容的電流iC，并畫(huà)出電壓、電流的相量圖；

(2)求電容的無(wú)功功率QC和iC＝0時(shí)電容的儲(chǔ)能WC。

解

(1)電容的容抗

電容的電流

所以

電壓、電流的相量圖見(jiàn)圖4-5-6。

圖4-5-6電壓、電流相量圖

(2)無(wú)功功率

QC＝－UCIC＝－UIC＝－220×6.9＝－1518var

由于電容的電壓與電流正交(即相位差90°)，當(dāng)電流iC＝0時(shí)，電壓UC恰為正或負(fù)的最大值，故此時(shí)電容的儲(chǔ)能為

4-5-1把一個(gè)25mF的電容元件接到頻率為50Hz，電壓有效值為10V的正弦電源上，則電流是多少？如保持電壓值不變，而電源頻率改為5000Hz，這時(shí)電流將為多少？

4-5-2通過(guò)100mF電容的正弦電流i＝200sin(5000t－45°)mA，求：

(1)電容兩端的電壓；

(2)電容的無(wú)功功率；

(3)電流為零的瞬間電容儲(chǔ)存的能量。思考與練習(xí)

學(xué)習(xí)任務(wù)：

(1)正弦交流電路中，電阻、電感與電容元件串聯(lián)時(shí)，電壓和電流之間的關(guān)系及其相量式；

(2)交流電路中的復(fù)阻抗。4.6電阻、電感與電容元件串聯(lián)的交流電路

獲取能力：

(1)掌握正弦交流電路中，電阻、電感與電容串聯(lián)連接時(shí)，各元件電壓、電流的相位關(guān)系及相量形式；

(2)掌握復(fù)阻抗的定義、復(fù)阻抗的模及輻角的計(jì)算；

(3)理解電路的特性與輻角的關(guān)系；

(4)理解電壓三角形與阻抗三角形的關(guān)系。4.6.1電阻、電感與電容串聯(lián)電路

電阻R、電感L、電容C的串聯(lián)電路如圖4-6-1(a)所示，設(shè)各元件電壓UR、UL、UC的參考方向均與電流的參考方向關(guān)聯(lián)，由KVL得

u＝uR＋uL＋uC

(4-6-1)

圖4-6-1RLC串聯(lián)電路及其相量模型由于都是線(xiàn)性元件，因此各電壓uR、uL和uC以及電路端電壓U、端電流i都是同頻率的正弦量，故各電壓和電流都可以用相量表示，如圖4-6-1(b)所示。于是有

(4-6-2)

其中(4-6-3)

由于電阻上電壓與電流同相，電感電壓超前于電流90°，電容電壓滯后于電流90°。若以電流相量為參考相量，即 ，繪出電壓、電流的相量圖如圖4-6-2所示。圖中 與

組成一個(gè)直角三角形，稱(chēng)為電壓三角形，其中yZ＝j(luò)u－ji為電壓超前于電流的相位差。

圖4-6-2RLC串聯(lián)電路的電壓、電流相量圖通過(guò)電壓三角形得到

(4-6-4)

當(dāng)UL－UC＞０，即UL＞UC時(shí)，yZ＞０，電壓超前于電流，電路呈電感性，如圖4-6-2(a)所示。當(dāng)UL－UC＜０，即UL＜UC時(shí)，yZ＜０，電壓滯后于電流，電路呈電容性，如圖4-6-2(b)所示。

當(dāng)UL－UC＝０，即UL＝UC時(shí)，yZ＝０，電壓與電流同相，電路呈電阻性，如圖4-6-2(c)所示。

將式(4-6-3)中各元件電壓、電流的相量形式代入式(4-6-2)，得

(4-6-5)

其中，X＝XL－XC稱(chēng)為電路的電抗。這就是RLC串聯(lián)電路VCR的相量形式。4.6.2復(fù)阻抗

1.復(fù)阻抗的定義

在關(guān)聯(lián)參考方向下，正弦交流電路中任一線(xiàn)性無(wú)源單口的端口電壓相量 與電流相量的比稱(chēng)為該單口的復(fù)阻抗，用Ｚ表示，即

(4-6-6)

顯然，復(fù)阻抗也是一個(gè)復(fù)數(shù)，但它不再是表示正弦量的復(fù)數(shù)，因而不是相量。在電路圖中用電阻的圖形符號(hào)表示復(fù)阻抗，見(jiàn)圖4-6-3。

圖4-6-3復(fù)阻抗的電路符號(hào)

1)復(fù)阻抗的?！杩?/p>

由式(4-6-6)知，復(fù)阻抗的模|Z|等于電壓與電流有效值的比，即

顯然，當(dāng)電壓有效值U一定時(shí)，復(fù)阻抗的模|Z|越大，電流Ｉ越小，即|Z|反映了電路對(duì)電流的阻礙作用，故稱(chēng)為阻抗。

2)復(fù)阻抗的輻角——阻抗角

由式(4-6-6)知，復(fù)阻抗的輻角為電壓超前于電流的相位差，即

yZ＝j(luò)u－ji

稱(chēng)為阻抗角。

2.RLC串聯(lián)電路的復(fù)阻抗

由RLC串聯(lián)電路VCR的相量形式和復(fù)阻抗的定義式，可得RLC串聯(lián)電路的復(fù)阻抗與電源頻率及元件參數(shù)的關(guān)系為

復(fù)阻抗是復(fù)數(shù)，因而可以用復(fù)平面上的有向線(xiàn)段來(lái)表示，見(jiàn)圖4-6-4。圖中復(fù)阻抗Ｚ與R、jX組成一個(gè)直角三角形，稱(chēng)為阻抗三角形。顯然，阻抗三角形與電壓三角形是相似三角形。由阻抗三角形得到下面的關(guān)系：

R＝|Z|cosyZ

X＝XL－XC＝|Z|sinyZ

不難看出，當(dāng)X＞０，即XL＞XC時(shí)，yZ＞０，電壓超前于電流，電路呈電感性，如圖4-6-4(a)所示；當(dāng)X＜０，即XL＜XC時(shí)，yZ＜０，電壓滯后于電流，電路呈電容性，如圖4-6-4(b)所示；若X＝０，即XL＝XC時(shí)，yZ＝０，電壓與電流同相，電路呈電阻性，如圖4-6-4(c)所示。

圖4-6-4RLC串聯(lián)電路的復(fù)阻抗

3.任意無(wú)源串聯(lián)單口的復(fù)阻抗

任意個(gè)(無(wú)源)元件或復(fù)阻抗串聯(lián)時(shí)，串聯(lián)單口的等效復(fù)阻抗

即串聯(lián)單口的等效復(fù)阻抗等于串聯(lián)的各復(fù)阻抗之和。若串聯(lián)的各復(fù)阻抗分別為

Z1＝R1＋jX1，Z2＝R2＋jX2，Z3＝R3＋jX3，…

則等效復(fù)阻抗

Z＝Z1＋Z2＋Z3＋…

＝(R1＋jX1)＋(R2＋jX2)＋(R3＋jX3)＋…

＝(R1＋R2＋R3＋…)＋j(X1＋X2＋X3＋…)

其實(shí)部R＝R1＋R2＋R3＋…和虛部X＝X1＋X2＋X3＋…分別稱(chēng)為該單口的等效電阻和等效電抗。在電路圖中，等效復(fù)阻抗Z可以表示成R與jX兩部分串聯(lián)，見(jiàn)圖4-6-3。

例4-6-1

電阻R、電感L、電容C的串聯(lián)電路如圖4-6-1所示，已知R＝15W，L＝60mH，C＝25mF，接正弦電壓U＝1002sin1000tV，求電路中的電流i和各元件的電壓UR、UL和UC。

解

各元件的復(fù)阻抗分別為

ZR＝R＝15W

ZL＝j(luò)XL＝j(luò)wL＝j(luò)×1000×60×10－3＝j(luò)60W

電路的復(fù)阻抗

Z＝ZR＋ZL＋ZC＝15＋j60－j40＝15＋j20

＝25∠53.1°W

則電路中電流相量為

各元件電壓的相量

由以上計(jì)算結(jié)果繪出各電流、電壓的相量圖，見(jiàn)圖4-6-5。

圖4-6-5例4-6-1的電壓、電流相量圖各電流、電壓的瞬時(shí)值表示式分別為

例4-6-2

電感線(xiàn)圈的電路模型為一電感元件L和電阻元件R串聯(lián)的電路。為測(cè)定電感線(xiàn)圈的參數(shù)L和R，將其與一電阻R￠串聯(lián)后，接頻率f＝50Hz的正弦電源，如圖4-6-6所示。當(dāng)電源電壓U＝50V時(shí)，測(cè)得電阻R￠兩端電壓U1＝20V，線(xiàn)圈兩端電壓U2＝40V，且電路中的電流I＝1A，求線(xiàn)圈的電感L和電阻R。

解相量圖在正弦電路中常作為一種輔助的分析工具，如果使用得法，可根據(jù)相量圖的幾何關(guān)系進(jìn)行簡(jiǎn)單運(yùn)算，以簡(jiǎn)化電路的求解過(guò)程。今以本題為例說(shuō)明使用相量圖的分析方法。

圖4-6-6例4-6-2的電路和電壓、電流相量圖先畫(huà)出圖(a)的電壓和電流的相量圖，如圖(b)所示。以電路中的電流作為參考相量，R￠兩端電壓 與同相，線(xiàn)圈上的電壓含有兩個(gè)分量：

也與同相，

超前于90°。于是可得

則

所以

4-6-1復(fù)阻抗是怎樣定義的？它的模和輻角的物理意義是什么？阻抗的大小取決于它兩端的電壓和通過(guò)它的電流的大小嗎？

4-6-2繪出關(guān)聯(lián)方向下RLC串聯(lián)電路的電流、電壓相量圖，并說(shuō)明如何從相量圖看電路的性質(zhì)。

4-6-3繪出RLC串聯(lián)電路的“阻抗三角形”，并說(shuō)明如何從“阻抗三角形”看電路的性質(zhì)。參數(shù)一定的電路，性質(zhì)也一定嗎？為什么？

思考與練習(xí)

學(xué)習(xí)任務(wù)：

(1)正弦交流電路中，電阻、電感與電容元件并聯(lián)時(shí)，電壓和電流之間的關(guān)系及其相量式；

(2)交流電路中的復(fù)導(dǎo)納。

獲取能力：

(1)掌握正弦交流電路中，電阻、電感與電容并聯(lián)連接時(shí)，各元件電壓、電流的相位關(guān)系及相量形式；

(2)掌握復(fù)導(dǎo)納的定義、復(fù)導(dǎo)納的模及導(dǎo)納角的計(jì)算；

(3)理解電路的特性與導(dǎo)納角的關(guān)系；

(4)理解電流三角形與導(dǎo)納三角形的關(guān)系。*4.7GCL并聯(lián)電路和復(fù)導(dǎo)納4.7.1GCL并聯(lián)電路的電流

設(shè)RCL并聯(lián)電路各電流的參考方向均與電壓的參考方向關(guān)聯(lián)，如圖4-7-1所示，其中，電阻元件以其電導(dǎo)參數(shù)Ｇ標(biāo)注，二者的關(guān)系為

根據(jù)KCL，并聯(lián)電路的總電流

i＝iG＋iC＋iL

相應(yīng)的有

(4-7-1)

圖4-7-1GCL并聯(lián)電路

各元件VCR的相量形式可表示為

(4-7-2)

其中， 和 分別為電容的容納和電感的感納，它們的單位和電導(dǎo)Ｇ相同，都是S(西門(mén)子)(1S＝1W－1)。由式(4-7-1)和式(4-7-2)可得

其中，B＝BC－BL稱(chēng)為電路的電納。這就是GCL并聯(lián)電路VCR的相量形式。

式(4-7-2)表明，電阻的電流與電壓同相，電容電流超前于電壓90°，電感電流滯后于電壓90°。以電壓為參考正弦量，即 ，繪出電流、電壓相量圖，見(jiàn)圖4-7-2。圖中與 組成一個(gè)直角三角形，稱(chēng)為電流三角形，其中，yY為電流超前于電壓的相位差。

圖4-7-2GCL并聯(lián)電路的電壓、電流相量圖由電流三角形不難得到下面的關(guān)系：

IG＝IcosyY

IC－IL＝IsinyY

顯然，當(dāng)IC－IL＞0，即IC＞IL時(shí)，yY＝j(luò)i－ju＞0，電流超前于電壓，電路呈容性，如圖4-7-2(a)所示；

當(dāng)IC－IL＜0，即IC＜IL時(shí)，yY＝j(luò)i－ju＜0，電流滯后于電壓，電路呈感性，如圖4-7-2(b)所示；

當(dāng)IC－IL＝0，即IC＝IL時(shí)，yY＝j(luò)i－ju＝0，電流與電壓同相，電路呈電阻性，如圖4-7-2(c)所示。4.7.2復(fù)導(dǎo)納

1.復(fù)導(dǎo)納的定義

在關(guān)聯(lián)參考方向下，正弦交流電路中任一線(xiàn)性無(wú)源單口的端口電流相量與電壓相量的比，稱(chēng)為該單口的復(fù)導(dǎo)納。復(fù)導(dǎo)納用Y表示，即

顯然復(fù)導(dǎo)納也是一個(gè)復(fù)數(shù)，但它不再是表示正弦量的復(fù)數(shù)，因而不是相量。在電路圖中，復(fù)導(dǎo)納有時(shí)也用電阻的圖形符號(hào)表示，見(jiàn)圖4-7-3。

圖4-7-3復(fù)導(dǎo)納的電路符號(hào)

1)復(fù)導(dǎo)納的模——導(dǎo)納

由復(fù)導(dǎo)納的定義式可知，復(fù)導(dǎo)納的模等于電流與電壓有效值的比，即

顯然，當(dāng)電壓有效值U一定時(shí)，|Y|越大，電流Ｉ也越大，即|Y|反映了電路導(dǎo)通電流的“能力”，故稱(chēng)為導(dǎo)納。

2)復(fù)導(dǎo)納的輻角——導(dǎo)納角

復(fù)導(dǎo)納的輻角yY為電流超前于電壓的相位差，即

yY＝j(luò)i－ju

稱(chēng)為導(dǎo)納角。

2.GCL并聯(lián)電路的復(fù)導(dǎo)納

由GCL并聯(lián)電路VCR的相量關(guān)系式和復(fù)導(dǎo)納的定義式，可得GCL并聯(lián)電路的復(fù)導(dǎo)納與電源頻率及元件參數(shù)的關(guān)系為

復(fù)導(dǎo)納既是復(fù)數(shù)，當(dāng)然也可以用復(fù)平面上的有向線(xiàn)段來(lái)表示，如圖4-7-4所示。圖中，復(fù)導(dǎo)納Y與G、jB組成一個(gè)直角三角形，稱(chēng)為導(dǎo)納三角形。顯然，導(dǎo)納三角形與電流三角形是相似形。

圖4-7-4GCL并聯(lián)電路的復(fù)導(dǎo)納由導(dǎo)納三角形得到下面的關(guān)系：

G＝|Y|cosyY

B＝BC－BL＝|Y|sinyY

從上式可知，當(dāng)Ｂ＞０，即ＢC＞ＢL時(shí)，yY＞0，電流超前于電壓，電路呈容性，如圖4-7-4(a)所示；當(dāng)Ｂ＜０，即ＢC＜ＢL時(shí)，yY＜0，電流滯后于電壓，電路呈感性，如圖4-7-4(b)所示；當(dāng)Ｂ＝０，即ＢC＝ＢL時(shí)，yY＝0，電流和電壓同相，電路呈電阻性，如圖4-7-4(c)所示。

3.任意無(wú)源并聯(lián)單口的復(fù)導(dǎo)納

任意個(gè)(無(wú)源)元件或復(fù)導(dǎo)納并聯(lián)時(shí)，并聯(lián)單口的等效復(fù)導(dǎo)納

即并聯(lián)電路的等效復(fù)導(dǎo)納等于并聯(lián)的各復(fù)導(dǎo)納之和。若并聯(lián)的各復(fù)導(dǎo)納分別為

Y1＝G1＋jB1，Y2＝G2＋jB2，Y3＝G3＋jB3，…

則等效復(fù)導(dǎo)納

其實(shí)部G＝G1＋G2＋G3＋…和虛部B＝B1＋B2＋B3＋…分別稱(chēng)為該單口的等效電導(dǎo)和等效電納。在電路圖中，等效復(fù)導(dǎo)納Y可以表示成G與jB兩部分并聯(lián)，見(jiàn)圖4-7-3。同一線(xiàn)性無(wú)源單口網(wǎng)絡(luò)既可以用復(fù)阻抗表示，也可以用復(fù)導(dǎo)納表示，二者的關(guān)系為

即

例4-7-1

如圖4-7-5(a)所示電路，各元件復(fù)阻抗值標(biāo)注于圖中，已知總電流Ｉ＝2A，求各元件中的電流。

解由各元件的阻抗值可知它們的導(dǎo)納值分別為

|YR|＝2S，|YL|＝2S，|YC|＝4S

據(jù)此可繪出并聯(lián)電路的導(dǎo)納三角形，見(jiàn)圖4-7-5(b)，則有

由于電流三角形與導(dǎo)納三角形是相似形，根據(jù)對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例的規(guī)律可列出

圖4-7-5例4-7-1的電路及其導(dǎo)納三角形

即

根據(jù)同樣的道理不難求得

4-7-1復(fù)導(dǎo)納是怎樣定義的？它的模和輻角的物理意義是什么？

4-7-2繪出關(guān)聯(lián)方向下GCL并聯(lián)電路的電壓、電流相量圖，并說(shuō)明如何從相量圖看出電路的性質(zhì)。

4-7-3繪出GCL并聯(lián)電路的“導(dǎo)納三角形”，并說(shuō)明如何從“導(dǎo)納三角形”看電路的性質(zhì)。

思考與練習(xí)

學(xué)習(xí)任務(wù)：

(1)歐姆定律的相量形式；

(2)RLC混聯(lián)電路的分析。

獲取能力：

(1)掌握歐姆定律的相量形式；

(2)能正確將直流電路中的各種分析方法用于RLC混聯(lián)電路的分析當(dāng)中。

*4.8正弦交流電路的計(jì)算如上節(jié)所述，一個(gè)任意的線(xiàn)性無(wú)源單口網(wǎng)絡(luò)，都可以有復(fù)阻抗和復(fù)導(dǎo)納兩種形式的模型，其復(fù)阻抗的定義為

而復(fù)導(dǎo)納的定義為

式中：——網(wǎng)絡(luò)端口的電壓；

——從端口流入的電流。

圖4-8-1線(xiàn)性無(wú)源單口網(wǎng)絡(luò)和的參考方向相關(guān)聯(lián)，如圖4-8-1所示。由于同一單口網(wǎng)絡(luò)的復(fù)阻抗和復(fù)導(dǎo)納互為倒數(shù)，因此在計(jì)算電阻、電感、電容混聯(lián)的電路時(shí)，可以交替使用復(fù)阻抗和復(fù)導(dǎo)納這兩種形式進(jìn)行等效變換或者化簡(jiǎn)。

圖4-8-2例4-8-1用圖

例4-8-1

計(jì)算圖4-8-2所示電路ab端口的復(fù)阻抗Zab。

解先計(jì)算cb端并聯(lián)部分的復(fù)導(dǎo)納Ycb：

則cb端并聯(lián)部分的復(fù)阻抗為

于是ab端的復(fù)阻抗為

根據(jù)上述復(fù)阻抗和復(fù)導(dǎo)納的定義，任一線(xiàn)性無(wú)源單口網(wǎng)絡(luò)的電壓與電流的關(guān)系均可表示為

或

以上兩式即是歐姆定律的相量形式。至此，基爾霍夫定律和歐姆定律在正弦交流電路中都有了相應(yīng)的相量形式。只要把直流電路的電壓、電流換成交流電路電壓、電流的相量，把直流電路的電阻、電導(dǎo)換成交流電路的復(fù)阻抗、復(fù)導(dǎo)納，那么，在基爾霍夫定律和歐姆定律基礎(chǔ)上建立的直流電路的所有公式、定理和分析方法，就全都適用于正弦交流電路的分析計(jì)算了。

例4-8-2

圖4-8-2所示電路為RC振蕩器的選頻反饋網(wǎng)絡(luò)，適當(dāng)選擇參數(shù)，可使其在某一頻率下輸出電壓uo與輸入電壓ui同相。若R1＝R2＝250kW，C1＝0.01mF，f＝1000Hz，試求C2為何值時(shí)uo與ui同相。

解對(duì)任一頻率w，有

依題意

即

故

例4-8-3

試分別用節(jié)點(diǎn)法、戴維南定理和疊加定理求圖4-8-3所示電路中的電流。

解

(1)節(jié)點(diǎn)法。參考點(diǎn)如圖4-8-4所示，列出節(jié)點(diǎn)方程為

解得

j＝30－j10(V)

所以

圖4-8-3例4-8-3的電路圖4-8-4求開(kāi)路電壓的電路

(2)應(yīng)用戴維南定理。去掉電流所在支路，并設(shè)開(kāi)路電壓oc的參考方向如圖4-8-4所示，則

＝(－10＋6＋j8)(5＋j5)＋100＝40＋j20V

輸出阻抗為

所以

(3)應(yīng)用疊加定理。

①100∠0°V電壓源單獨(dú)作用時(shí)的電路如圖4-8-5所示，求得

②100∠53.1°V電壓源單獨(dú)作用時(shí)的電路如圖4-8-6所示，求得

所以

圖4-8-5100∠0°V電壓源單獨(dú)作用時(shí)的電路圖4-8-6100∠53.1°V電壓源單獨(dú)作用時(shí)的電路

例4-8-4

圖4-8-7(a)所示為RC移相電橋電路。其四個(gè)橋臂中有兩個(gè)相同的電阻R1，另兩個(gè)分別為可調(diào)電阻R和固定電容C。若ab端的輸入電壓

一定，調(diào)節(jié)電阻R可使cd端的輸出電壓相位(相對(duì)于輸入電壓

)在0°～180°的范圍內(nèi)變動(dòng)，而輸出電壓的有效值Uo不變，故稱(chēng)之為移相電橋。試分析電路的工作原理。

圖4-8-7移相電橋電路的工作原理

解純電阻支路acb的電壓

則電流 ，與輸入電壓

同相，因而電壓

，， ，均與輸入電壓

同相。

容性支路adb電壓

其中電流超前于輸入電壓

，電壓

與電流同相。而 滯后于電流90°，輸出電壓為

根據(jù)以上分析可畫(huà)出電壓、電流相量圖如圖4-8-7(b)所示。從圖4-8-7(b)不難看出，調(diào)節(jié)電阻R將改變adb支路的阻抗，使電流、電壓的大小和相位都隨之而變，但

與始終保持正交關(guān)系，并且與

(即)構(gòu)成直角三角形。當(dāng)直角三角形的斜邊即輸入電壓

一定時(shí)，斜邊上中線(xiàn)的長(zhǎng)即輸出電壓的有效值Uo也是一定的，且Uo＝Ui/2。

的變化只是使直角三角形的頂點(diǎn)，也就是輸出電壓相量

的末端在以斜邊為直徑的半圓周上移動(dòng)，從而在0°～180°的范圍內(nèi)改變

與的夾角，達(dá)到移相的目的。當(dāng)R增大時(shí)，Uad增大，的末端沿半圓周向右移動(dòng)，其與

的夾角減??；若R→∞，則與

同相。當(dāng)R減小時(shí)，Uad減小，的末端沿半圓周向左移動(dòng)，其與

的夾角增大；若R＝0，則與

反相。

4-8-1已知某線(xiàn)性無(wú)源單口網(wǎng)絡(luò)的復(fù)阻抗Z＝R＋jX，設(shè)其復(fù)導(dǎo)納Y＝G＋jB，則G＝1/R，B＝1/X，對(duì)嗎？

4-8-2圖４-8-2所示電路中，若R1＝R2＝R，C1＝C2＝C，則當(dāng)頻率與電路參數(shù)滿(mǎn)足怎樣的關(guān)系時(shí)uo與ui同相？此時(shí)uo和ui在大小上有怎樣的關(guān)系？思考與練習(xí)

學(xué)習(xí)任務(wù)：

(1)瞬時(shí)功率、有功功率、無(wú)功功率、視在功率和功率因數(shù)；

(2)復(fù)功率和功率三角形。

獲取能力：

(1)理解瞬時(shí)功率、有功功率、無(wú)功功率、視在功率和功率因數(shù)的概念，并會(huì)計(jì)算；

(2)掌握復(fù)功率的組成，以及功率三角形與電壓三角形、阻抗三角形的關(guān)系。4.9正弦交流電路的功率

圖4-9-1線(xiàn)性無(wú)源單口網(wǎng)絡(luò)任一線(xiàn)性無(wú)源單口網(wǎng)絡(luò)如圖4-9-1所示，設(shè)其電壓、電流的參考方向關(guān)聯(lián)，且電流為參考正弦量，即

i＝Imsinwt

則電壓可表示為

u＝Umsin(wt＋y)

式中，y為電壓u與電流i的相位差，亦即該網(wǎng)絡(luò)的阻抗角。4.9.1網(wǎng)絡(luò)吸收的瞬時(shí)功率

網(wǎng)絡(luò)吸收的瞬時(shí)功率

p＝ui＝Imsinwt·Umsin(wt＋y)＝UIcosy－UIcos(2wt＋y)

圖4-9-2為一電感性無(wú)源單口網(wǎng)絡(luò)電壓、電流和功率的波形圖。從波形圖中不難看出：電壓、電流同為正值或同為負(fù)值時(shí)，瞬時(shí)功率為正值，網(wǎng)絡(luò)吸收功率；若電壓和電流一正一負(fù)，則瞬時(shí)功率為負(fù)值，網(wǎng)絡(luò)發(fā)出功率。這說(shuō)明網(wǎng)絡(luò)與外電路有能量的交換。含儲(chǔ)能元件的單口網(wǎng)絡(luò)一般情況下(除非端口電壓與電流同相)對(duì)外都會(huì)有能量的交換。從波形圖中還可看到：功率曲線(xiàn)與橫軸所圍成的圖形，在橫軸上方部分的面積比橫軸下方部分的大，說(shuō)明網(wǎng)絡(luò)吸收的能量多于釋放的能量，即網(wǎng)絡(luò)與外電路交換能量的同時(shí)，內(nèi)部(由于電阻的存在)也要消耗一部分能量。

圖4-9-2任意線(xiàn)性無(wú)源單口網(wǎng)絡(luò)電壓、電流和功率的波形4.9.2有功功率、無(wú)功功率、視在功率和功率因數(shù)

1.有功功率

將瞬時(shí)功率的表示式代入有功功率的定義式

不難得到網(wǎng)絡(luò)吸收的有功功率

P＝UIcosy

對(duì)于RLC串聯(lián)單口，可知電路的有功功率

P＝UIcosy＝URI＝PR

即等于電阻的有功功率。這是因?yàn)殡娐分兄挥须娮枋呛哪茉?；電感和電容都是?chǔ)能元件，它們只進(jìn)行能量的“吞吐”而不消耗能量?？梢宰C明，對(duì)于任意線(xiàn)性無(wú)源單口網(wǎng)絡(luò)，其有功功率等于該網(wǎng)絡(luò)內(nèi)所有電阻的有功功率之和。

2.無(wú)功功率

由于儲(chǔ)能元件的存在，網(wǎng)絡(luò)與外部一般會(huì)有能量的交換，能量交換的規(guī)模仍可用無(wú)功功率來(lái)衡量，其定義為

Q＝UIsiny

對(duì)于RLC串聯(lián)電路，可得

Q＝UIsiny＝(UL－UC)I＝QL＋QC

即電路的無(wú)功功率等于電感和電容的無(wú)功功率之和?？梢宰C明，對(duì)于任意線(xiàn)性無(wú)源單口網(wǎng)絡(luò)，其所吸收的無(wú)功功率等于該網(wǎng)絡(luò)內(nèi)所有電感和電容的無(wú)功功率之和。當(dāng)網(wǎng)絡(luò)為感性時(shí)，阻抗角y＞0，則無(wú)功功率Q＞0；若網(wǎng)絡(luò)為容性，阻抗角y＜0，則無(wú)功功率Q＜0。需要指出的是：無(wú)功功率的正負(fù)只說(shuō)明網(wǎng)絡(luò)是感性還是容性，其絕對(duì)值才體現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)對(duì)外交換能量的規(guī)模。電感和電容無(wú)功功率的符號(hào)相反，標(biāo)志它們?cè)谀芰客掏路矫娴幕パa(bǔ)作用。利用它們互相補(bǔ)償，可以限制網(wǎng)絡(luò)對(duì)外交換能量的規(guī)模。以RLC串聯(lián)電路為例，由于串聯(lián)電路各元件的電流相同，但電容和電感的電壓反相，因此兩元件的瞬時(shí)功率符號(hào)相反；當(dāng)其中一個(gè)元件吸收能量的同時(shí)，另一個(gè)元件恰恰在釋放能量，一部分能量只在兩元件之間往返轉(zhuǎn)移，電路整體與外部交換能量的規(guī)模也就相對(duì)縮小了。

3.視在功率

由于網(wǎng)絡(luò)對(duì)外有能量的交換，因此，使網(wǎng)絡(luò)吸收的有功功率小于電壓與電流有效值的乘積，即

P＝UIcosy＜UI

此時(shí)乘積UI雖不是已經(jīng)實(shí)現(xiàn)的有功功率，卻是一個(gè)有可能達(dá)到的“目標(biāo)”(有可能實(shí)現(xiàn)的最大有功功率)，故稱(chēng)電壓有效值與電流有效值的乘積為網(wǎng)絡(luò)的視在功率(apparentpower)，用S表示，即

S＝UI

為區(qū)別于有功功率，視在功率不用瓦(Ｗ)，而用伏安(VＡ)為單位。發(fā)電機(jī)、變壓器等電源設(shè)備的容量就是用視在功率來(lái)描述的，它等于額定電壓與額定電流的乘積。

有功功率和無(wú)功功率可分別用視在功率表示為

P＝UIcosy＝Scosy

Q＝UIsiny＝Ssiny

４．功率因數(shù)

有功功率與視在功率的比值稱(chēng)為網(wǎng)絡(luò)的功率因數(shù)(powerfactor)，用

表示，即

則可得

＝cosy

即無(wú)源單口網(wǎng)絡(luò)的功率因數(shù)

等于該網(wǎng)絡(luò)阻抗角(或電壓超前于電流的相位差角)y的余弦值，y角因此也被稱(chēng)做功率因數(shù)角。顯然，網(wǎng)絡(luò)為電阻性時(shí)，才有

＝1，P＝S；感性和容性情況下

都小于1，即P＜S。4.9.3復(fù)功率和功率三角形

視在功率、有功功率、無(wú)功功率和功率因數(shù)之間的關(guān)系，可用一復(fù)數(shù)來(lái)統(tǒng)一表示。令 ，這個(gè)復(fù)數(shù)稱(chēng)為復(fù)數(shù)功率，簡(jiǎn)稱(chēng)復(fù)功率。

若用I*表示網(wǎng)絡(luò)電流相量的共軛復(fù)數(shù)，即I*＝I∠－ji，則復(fù)數(shù)I*與網(wǎng)絡(luò)電壓相量的乘積為

圖4-9-3功率三角形顯然，乘積仍是一個(gè)復(fù)數(shù)，其模為網(wǎng)絡(luò)的視在功率，輻角即網(wǎng)絡(luò)的功率因數(shù)角；其實(shí)部為網(wǎng)絡(luò)的有功功率，而虛部則是網(wǎng)絡(luò)的無(wú)功功率，故稱(chēng)乘積為網(wǎng)絡(luò)的復(fù)功率。復(fù)功率既然是復(fù)數(shù)，當(dāng)然也可以用復(fù)平面上的有向線(xiàn)段來(lái)表示，如圖4-9-3所示。圖中，、P與jQ構(gòu)成一個(gè)直角三角形，稱(chēng)為功率三角形。顯然，同一無(wú)源單口網(wǎng)絡(luò)的功率三角形與電壓三角形、阻抗三角形都是相似形。

例4-9-1

RLC串聯(lián)電路接220V工頻電源，已知R＝30W，L＝382ｍH，C＝40mF，求電路的功率因數(shù)，并計(jì)算電路的電流及視在功率、有功功率和無(wú)功功率。

解

XL＝2pfL＝2×3.14×50×382×10－3＝120W

電路的復(fù)阻抗

Z＝R＋jX＝30＋j(120－80)＝30＋j40＝50∠53.1°W

電路的功率因數(shù)

電路的電流為

視在功率

S＝UI＝220×4.4＝968VA

有功功率：

P＝Scosy＝968×0.6＝580.8W

無(wú)功功率：

4-9-1線(xiàn)性無(wú)源單口網(wǎng)絡(luò)的有功功率、無(wú)功功率和網(wǎng)絡(luò)內(nèi)各元件的有功功率、無(wú)功功率有怎樣的關(guān)系？

4-9-2電感和電容的無(wú)功功率符號(hào)相反意味著什么？如何限制線(xiàn)性無(wú)源單口網(wǎng)絡(luò)對(duì)外交換能量的規(guī)模？

4-9-3什么是功率三角形？線(xiàn)性無(wú)源單口網(wǎng)絡(luò)的功率三角形和阻抗三角形、電壓三角形有怎樣的關(guān)系？思考與練習(xí)

4-9-4如圖4-9-4所示線(xiàn)性無(wú)源單口網(wǎng)絡(luò)接正弦電壓U，電阻R1已知，且電壓表V、V1、V2的讀數(shù)分別為U、U1、U2，試證明負(fù)載消耗的功率為

圖4-9-4題4-9-4圖

學(xué)習(xí)任務(wù)：

(1)提高功率因數(shù)的意義；

(2)提高功率因數(shù)的方法。

獲取能力：

(1)了解為什么要提高功率因數(shù)；

(2)掌握感性負(fù)載并聯(lián)電容提高功率因數(shù)的方法。

交流電力系統(tǒng)中的負(fù)載多為感性負(fù)載，功率因數(shù)普遍小于1。如廣泛使用的異步電動(dòng)機(jī)，功率因數(shù)在滿(mǎn)載時(shí)不過(guò)0.8左右，空載和輕載時(shí)僅為0.2～0.5；照明用的日光燈功率因數(shù)也只有0.3～0.5。4.10功率因數(shù)的提高4.10.1提高功率因數(shù)的意義

大家都知道，直流電路的功率等于電流與電壓的乘積，而交流電路則不然。在計(jì)算交流電路的平均功率時(shí)還要考慮電壓與電流間的相位差y，即

P＝UIcosy

式中的cosy是電路的功率因數(shù)。前面已介紹，電壓與電流間的相位差或電路的功率因數(shù)決定于電路(負(fù)載)參數(shù)。只有在電阻負(fù)載(例如白熾燈、電阻爐等)的情況下，電壓和電流才同相，其功率因數(shù)為1。對(duì)其它負(fù)載來(lái)說(shuō)，其功率因數(shù)均介于0與1之間。當(dāng)電壓與電流之間有相位差時(shí)，即功率因數(shù)不等于1，電路中發(fā)生能量互換，出現(xiàn)無(wú)功功率Q＝UIsiny。這樣就會(huì)引起下面