《電工基礎(chǔ)及測量》課件第3章

第3章動態(tài)電路的時域分析3.1動態(tài)電路的方程及其初始條件3.2一階電路的零輸入響應(yīng)3.3一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)3.4一階電路的全響應(yīng)習(xí)題 3.1動態(tài)電路的方程及其初始條件

3.1.1動態(tài)電路的過渡過程

含有動態(tài)元件的電路稱之為動態(tài)電路。動態(tài)元件則是指描述其端口上電壓、電流的關(guān)系的方程是微分方程或積分方程的元件，前面學(xué)過的電容元件和電感元件及后面將學(xué)的耦合電感元件等都是動態(tài)元件。

動態(tài)元件的一個典型特征就是當(dāng)電路的結(jié)構(gòu)或元件的參數(shù)發(fā)生變化時(例如電路中電源或無源元件的斷開或接入，信號的突然注入等)，可能使電路改變原來的工作狀態(tài)，轉(zhuǎn)變到另一個工作狀態(tài)，這種轉(zhuǎn)變往往需要經(jīng)歷一個過程，在工程上稱為過渡過程。上述電路結(jié)構(gòu)或參數(shù)變化引起的電路變化統(tǒng)稱為換路。動態(tài)電路與電阻電路的重要區(qū)別在于：電阻電路不存在過渡過程而動態(tài)電路存在過渡過程。如圖3-1所示，當(dāng)閉合開關(guān)S時，會發(fā)現(xiàn)電阻支路的燈泡L1立即發(fā)光，且亮度不再變化，說明這一支路沒有經(jīng)歷過渡過程，立即進入了新的穩(wěn)態(tài)；電感支路的燈泡L2由暗漸漸變亮，最后達到穩(wěn)定，說明電感支路經(jīng)歷了過渡過程；電容支路的燈泡L3由亮變暗直到熄滅，說明電容支路也經(jīng)歷了過渡過程。圖3-1過渡過程這是因為動態(tài)(儲能)元件換路時能量的儲存和釋放需要一定時間來完成。表現(xiàn)在以下兩方面：

(1)要滿足電荷守恒，即換路瞬間，若電容電流保持為有限值，則電容電壓(電荷)在換路前后保持不變。

(2)要滿足磁鏈?zhǔn)睾?，即換路瞬間，若電感電壓保持有限值，則電感電流(磁鏈)在換路前后保持不變。

3.1.2換路定則

通常我們認(rèn)為換路是在t=0時刻進行的。為了敘述方便，把換路前的最終時刻記為t=0－，把換路后的最初時刻記為t=0+，換路經(jīng)歷的時間為0－到0+。

1.具有電感的電路

從能量的角度出發(fā)，由于電感電路換路的瞬間，能量不能發(fā)生躍變，即t=0+時刻，電感元件所儲存的能量為

與t=0－時刻電感元件所儲存的能量 相等。則有

iL(0+)=iL(0－) (3-1)

結(jié)論：在換路的一瞬間，電感中的電流應(yīng)保持換路前一瞬間的原有值，不能躍變。

等效原則：在換路的一瞬間，流過電感的電流iL(0+)=iL(0－)=0，電感相當(dāng)于開路；iL(0+)=iL(0－)≠0，電感相當(dāng)于直流電流源，其電流大小和方向與電感換路瞬間的電流一致。

2.具有電容的電路

從能量的角度出發(fā)，由于電容電路換路的瞬間，能量不能發(fā)生躍變，即t=0+時刻，電容元件所儲存的能量

與t=0－時刻電容元件所儲存的能量 相等。則有

uC(0+)=uC(0－) (3-2)

結(jié)論：在換路的一瞬間，電容的兩端電壓應(yīng)保持換路前一瞬間的原有值而不能躍變。

等效原則：在換路的一瞬間，電容兩端電壓uC(0+)=uC(0－)=0，電容相當(dāng)于短路；uC(0+)=uC(0－)≠0，電容相當(dāng)于直流電壓源，其電壓大小和方向與電容換路瞬間的電壓一致。3.1.3初始值的計算

換路后的最初一瞬間(即t=0+時刻)的電流、電壓值統(tǒng)稱為初始值。研究線性電路的過渡過程時，電容電壓的初始值uC(0+)及電感電流的初始值iL(0+)可按換路定律來確定。其他可以躍變的量的初始值要根據(jù)uC(0+)、iL(0+)和應(yīng)用KVL、KCL及歐姆定律來確定。其確定初始值的步驟為：

(1)根據(jù)換路前的電路，確定uC(0－)、iL(0－)。

(2)依據(jù)換路定則確定uC(0+)、iL(0+)。

(3)根據(jù)已求得的uC(0+)和iL(0+)，依據(jù)前述的等效原則，畫出t=0+時刻的等效電路圖。

(4)再根據(jù)等效電路，運用KVL、KCL及歐姆定律來確定其他躍變的量的初始條件。

例3-1

如圖3-2(a)所示電路，在開關(guān)閉合前t=0－時刻處于穩(wěn)態(tài)，t=0時刻開關(guān)閉合。求初始值iL(0+)、uC(0+)、u1(0+)、uL(0+)、iC(0+)。

解

(1)開關(guān)閉合前t=0－時刻，電路是直流穩(wěn)態(tài)，于是求得

(2)開關(guān)閉合時t=0－時刻，由換路定則得

iL(0+)=iL(0－)=1.2A，uC(0+)=uC(0－)=7.2V圖3-2例3-1圖

(3)根據(jù)上述結(jié)果，畫出t=0+時的等效電路圖，如圖3-2(b)所示，對其列節(jié)點電壓方程為

將iL(0+)=1.2A代入上式，求得：u1(0+)=2.4V。

根據(jù)KVL、KCL求得

uL(0+)=u1(0+)－uC(0+)=2.4－7.2=－4.8V

3.2一階電路的零輸入響應(yīng)

3.2.1

RC電路的零輸入響應(yīng)

在圖3-3所示電路中，開關(guān)S閉合前，電容C已充電，其電壓uC=uC(0－)。開關(guān)閉合后，電容儲存的能量將通過電阻以熱能形式釋放出來?，F(xiàn)把開關(guān)動作時刻取為計時起點(t=0)。開關(guān)閉合后，即當(dāng)t≥0+時，根據(jù)KVL可得：

uR－uC=0 (3-3)

由于電流iC與uC參考方向為非關(guān)聯(lián)參考方向，則

，又uR=RiC，代入上述方程，有(3-4)圖3-3

RC電路的零輸入響應(yīng)這是一階齊次微分方程，當(dāng)t=0+時，uC=uC(0+)=uC(0－),求得滿足初始值的微分方程的解為

這就是放電過程中電容電壓uC的表達式。

電容電流為(3-6)(3-5)從以上表達式可以看出，電容電壓uC、電流iC都是按照同樣的指數(shù)規(guī)律衰減的。它們衰減的快慢取決于指數(shù)中

的大小。

令

t

=RC (3-7)

式中，t稱為RC電路的時間常數(shù)，當(dāng)電阻的單位為歐姆(W),電容的單位為法(F)時，t的單位為秒(s)。

引入時間常數(shù)t后，電容電壓uC和電流iC可以分別表示為(3-9)(3-8)時間常數(shù)t的大小反映了一階電路過渡過程的進展速度，它是反映過渡過程特征的一個重要的量。通過計算得表3-1。表3-1電容電壓隨時間變化的規(guī)律從表3-1可見，經(jīng)過一個時間常數(shù)t后，電容電壓uC衰減了63.2%，或為原值的36.8%。在理論上要經(jīng)歷無限長的時間uC才能衰減到零值。但工程上一般認(rèn)為換路后，經(jīng)過3t～5t時間過渡過程基本結(jié)束。

時間常數(shù)t=RC僅由電路的參數(shù)決定。在一定的uC(0+)下，當(dāng)R越大時，電路放電電流就越小，放電時間就越長；當(dāng)C越大時，儲存的電荷就越多，放電時間就越長。實際應(yīng)用中合理選擇RC的值，可控制放電時間的長短。

例3-2供電局向某一企業(yè)供電電壓為10kV，在切斷電源瞬間，電網(wǎng)上遺留電壓有kV。已知送電線路長L=30km，電網(wǎng)對地絕緣電阻為500MW，電網(wǎng)的分布每千米電容為C0=0.08mF/km。問：

(1)拉閘后1min，電網(wǎng)對地的殘余電壓為多少？

(2)拉閘后10min，電網(wǎng)對地的殘余電壓為多少？

解電網(wǎng)拉閘后，儲存在電網(wǎng)電容上的電能逐漸通過對地絕緣電阻放電，這是一個RC串聯(lián)電路零輸入響應(yīng)問題。

由題意可知，長30km的電網(wǎng)總電容量為

C=C0L=0.08×30=2.4μF=2.4×10－6F

放電電阻為：R=500MΩ=5×108Ω

時間常數(shù)為：τ=RC＝5×108×2.4×10－6=1200s電容上初始電壓為：

在電容放電過程中，電容電壓(即電網(wǎng)電壓)的變化規(guī)律為

故

由此可見，電網(wǎng)斷電，電壓并不是立即消失。此電網(wǎng)斷電了1min時，仍有13.5kV的高壓；在斷電10min時電網(wǎng)上仍有8.6kV的電壓。3.2.2

RL電路的零輸入響應(yīng)

在圖3-4所示電路中，開關(guān)S閉合前，電感中的電流已經(jīng)恒定不變，其電流iL=iL(0－)。開關(guān)閉合后，電感儲存的能量將通過電阻以熱能形式釋放出來?，F(xiàn)把開關(guān)動作時刻取為計時起點(t=0)。開關(guān)閉合后，即t≥0+時，根據(jù)KVL可得：

uR+uL=0

(3-10)

由于電流iL與uL參考方向為關(guān)聯(lián)參考方向，則

，又uR=RiL，代入上述方程，有：(3-11)這是一階齊次微分方程，t=0+時，iL=iL(0+)=iL(0－)，求得滿足初始值的微分方程的解為

這就是放電過程中電感電流iL的表達式。

電感電壓為(3-13)(3-12)從以上表達式可以看出，電感電壓uL、電感電流iL都是按照同樣的指數(shù)規(guī)律衰減的。它們衰減的快慢取決于指數(shù)中

的大小。

令

式(3-14)稱為RL電路的時間常數(shù)，則上述各式可以寫為(3-14)(3-15)(3-16)

例3-3

圖3-5所示是一臺300kW汽輪發(fā)電機的勵磁回路。已知勵磁繞組的電阻R=0.189Ω，電感L=0.398H，直流電壓U=35V。電壓表的量程為50V，內(nèi)阻RV=5kΩ。開關(guān)未斷開時，電路中電流已經(jīng)恒定不變。在t=0時，斷開開關(guān)。求：

(1)電阻、電感回路的時間常數(shù)。

(2)電流i的初始值和開關(guān)斷開后電流i的最終值。

(3)電流i和電壓表處的電壓UV。

(4)當(dāng)開關(guān)斷開時，電壓表處的電壓。

解

(1)時間常數(shù)為圖3-5例3-3圖

(2)開關(guān)斷開前，由于電流已恒定不變，電感L兩端電壓為零，故

由于電感中電流不能躍變，因此電流的初始值

iL(0+)=iL(0－)=185.2A

(3)按 可得：

i=185.2e－12560tA

電壓表處的電壓為

UV=－RVi=－5×103×185.2e－12560t=－926e－12560tkV

(4)開關(guān)斷開時，電壓表處的電壓為

UV(0+)=－926kV

3.3一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)

3.3.1

RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)

在圖3-6所示電路中，開關(guān)S閉合前，電路處于零初始狀態(tài)，其電壓uC=uC(0－)=0。開關(guān)S閉合后，電路接入直流電壓源US?，F(xiàn)把開關(guān)動作時刻取為計時起點(t=0)。開關(guān)閉合后,即當(dāng)t≥0+時，根據(jù)KVL可得：

uR+uC=US

(3-17)

由于電流iC與電壓uC參考方向為關(guān)聯(lián)參考方向，則

，又uR=RiC，代入上述方程，有(3-18)圖3-6

RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)這是一階非齊次微分方程，US其實也是電容充滿電后的穩(wěn)態(tài)電壓的UC(∞)，求得的微分方程的解為

這就是充電過程中電容電壓uC的表達式，其中，τ=RC。

電容電流為(3-19)(3-20)

RC電路接通直流電壓源的過程即是電源通過電阻對電容充電的過程。在充電過程中，電源供給的能量一部分轉(zhuǎn)換成電場能量儲存于電容中，一部分被電阻轉(zhuǎn)變?yōu)闊崮芟?，電阻消耗的電能?/p>

從上式可見，不論電路中電容C和電阻R的數(shù)值為多少,在充電過程中，電源提供的能量只有一半轉(zhuǎn)變成電場能量儲存于電容中，另一半則為電阻所消耗，也就是說，充電效率只有50%。

例3-4在圖3-6所示電路中，已知US=220V，R=200Ω，C=1μF，電容事先未充電，在t=0時合上開關(guān)S。

(1)求時間常數(shù)、最大充電電流；

(2)求uC、uR、i的表達式及各自1ms時的值。

解

(1)時間常數(shù)為：

τ=RC＝200×1×10－6=200μs

最大充電電流為：

(2)uC、uR、i的表達式：3.3.2

RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)

在圖3-7所示電路中，開關(guān)S閉合前，電感中沒有電流通過，其電流iL=iL(0－)=0。開關(guān)閉合后，電感中的電流逐漸增大到一個恒定值?，F(xiàn)把開關(guān)動作時刻取為計時起點(t=0)。開關(guān)閉合后，即當(dāng)t≥0+時，根據(jù)KVL可得：

uR+uL=US

(3-21)

由于電流iL與uL參考方向為關(guān)聯(lián)參考方向，則

，又uR=RiL，代入上述方程，有(3-22)圖3-7

RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)這是一階非齊次微分方程，其實也是電感充滿電后的穩(wěn)態(tài)電流的IL(∞)，求得的微分方程的解為

這就是充電過程中電感電流iL的表達式，其中。

電感電壓為(3-24)(3-23)

例3-5圖3-8所示電路為一直流發(fā)電機電路簡圖，已知勵磁繞組R=20Ω，勵磁電感L=20H，外加電壓為US=200V。

(1)試求當(dāng)S閉合后，勵磁電流的變化規(guī)律和達到穩(wěn)態(tài)值所需要的時間；

(2)如果將電源電壓提高到250V，求勵磁電流達到額定值所需要的時間。圖3-8例3-5圖

解

(1)這是一個RL串聯(lián)零狀態(tài)響應(yīng)的問題，可求得 ，則

一般認(rèn)為，當(dāng)t=(3~5)τ時，過渡過程基本結(jié)束，取t=5τ=5s，則合上開關(guān)S后，電流達到穩(wěn)態(tài)所需要的時間為5s，勵磁繞組的額定電流就認(rèn)為等于其穩(wěn)態(tài)值10A。

(2)由上述計算知是勵磁電流達到穩(wěn)態(tài)需要5s。為縮短勵磁時間常采用“強迫勵磁法”，就是在勵磁開始時提高電源電壓，當(dāng)電流達到額定值后，再將電壓調(diào)回到額定值。這種強迫勵磁所需要的時間t計算如下：

由額定電流值相等，得：

10=12.5(1－e－t)

解上式得：t=1.6s。

由此可見，采用電壓250V對勵磁繞組進行勵磁要比采用電壓200V時所需的時間短，這樣就縮短了起勵時間，有利于發(fā)電機盡快進入正常工作狀態(tài)。3.3.3響應(yīng)函數(shù)的參考波形

在本章第二節(jié)、第三節(jié)及后續(xù)節(jié)次，講述了有關(guān)電路的各種響應(yīng)函數(shù)，其波形參考圖如圖3-9所示。圖3-9函數(shù)波形 3.4一階電路的全響應(yīng)

當(dāng)一個非零初始狀態(tài)的一階電路受到激勵時，電路的響應(yīng)稱為一階電路的全響應(yīng)。

在圖3-10所示電路中，開關(guān)S閉合前，電容已充電，其電壓uC=uC(0－)≠0。開關(guān)S閉合后，電路接入直流電壓源US?，F(xiàn)把開關(guān)動作時刻取為計時起點(t=0)。開關(guān)閉合后，即當(dāng)t≥0+時，根據(jù)KVL可得

uR+uC=US

(3-25)圖3-10一階電路的全響應(yīng)由于電流iC與uC參考方向為關(guān)聯(lián)參考方向，則

，又uR=RiC，代入上述方程，有

這是一階非齊次微分方程，US其實也是電容達到穩(wěn)態(tài)后的電壓UC(∞)，求得的微分方程的解為

這就是電容電壓在t≥0+時的全響應(yīng)，其中，τ=RC。(3-26)(3-27)可以看出，式(3-27)右邊的第一項是電路的零輸入響應(yīng)，右邊的第二項則是電路的零狀態(tài)響應(yīng)，這說明全響應(yīng)是零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的疊加。即

全響應(yīng)=(零輸入響應(yīng))+(零狀態(tài)響應(yīng))

將圖3-10一階電路全響應(yīng)分解成零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)，如圖3-11所示。

對式(3-27)稍作變形，還可進一步簡化為：(3-28)圖3-11一階電路全響應(yīng)的分解可以看出，式(3-28)右邊的第一項是恒定值，大小等于直流電壓源電壓，是換路后電容電壓達到穩(wěn)態(tài)后的量，右邊的第二項則是僅取決于電路參數(shù)τ，會隨著時間的增長按指數(shù)規(guī)律逐漸衰減到零，是電容電壓瞬態(tài)的量，所以又常將全響應(yīng)看做是穩(wěn)態(tài)分量和瞬態(tài)分量的疊加，即

全響應(yīng)=(穩(wěn)態(tài)分量)+(瞬態(tài)分量)

無論是把全響應(yīng)分解為零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng)，還是分解為穩(wěn)態(tài)分量和瞬態(tài)分量，都不過是從不同的角度去分析全響應(yīng)的。而全響應(yīng)總是由初始值f(0+)、穩(wěn)態(tài)分量f(∞)，時間常數(shù)τ三個要素決定的。在直流電源激勵下，仿式(3-28),則全響應(yīng)f(t)可寫為：

由式(3-29)可以看出，若已知初始值f(0+)、穩(wěn)態(tài)分量f(∞)，時間常數(shù)τ三個要素，就可以根據(jù)式(3-29)直接寫出直流激勵下一階電路的全響應(yīng)，這種方法稱為三要素法。而前面講述的通過微分方程求解的方式求得儲能元件響應(yīng)函數(shù)的方法稱為經(jīng)典法。(3-29)表3-2經(jīng)典法與三要素法求解一階電路比較表

例3-6如圖3-12所示的電路中，開關(guān)S斷開前電路處于穩(wěn)態(tài)。已知US=20V，R1=R2=1kΩ，C=1μF。求開關(guān)打開后uC和iC的解析式，并畫出其曲線圖。

解選定各電流電壓的參考方向，如圖3-12所示。

因為換路前電容上電流iC(0－)=0，故有

換路前電容上電壓為

uC(0－)=i2(0－)R2=10×10－3×1×103=10V圖3-12例3-6圖由于uC(0+)=uC(0－)<US，因此換路后電容將繼續(xù)充電，其充電時間常數(shù)為

τ=R1C=1×103×1×10－6=10－3s=1ms

電容充滿電后的穩(wěn)態(tài)電壓U(∞)=US=20V，將上述數(shù)據(jù)代入式(3-28)，得

uC、iC隨時間變化的曲線圖如圖3-13所示。圖3-13

uC、iC隨時間變化曲線圖

例3-7如圖3-14(a)所示電路中，t=0－時處于穩(wěn)態(tài)，設(shè)US1=38V，US2=12V，R1=20Ω，R2=5Ω，R3=6Ω，L=0.2H。當(dāng)t≥0時，求電流iL。

解由圖3-14(a)計算換路前的電感電流：

由換路定律得：

iL(0+)=iL(0－)=1A

計算直流穩(wěn)態(tài)電流的電路如圖3-14(b)所示。圖3-14例3-7圖列網(wǎng)孔電流方程：

求得：i2=iL(∞)=－0.44A

令US1=US2=0，即直流電壓源等效為短路，而電感元件相當(dāng)于短路，根據(jù)戴維南等效電路的原則畫出等效電阻Req的電路圖如圖3-14(c)所示。

則

由三要素法公式得

例3-8如圖3-15(a)所示電路中，已知R1=100Ω，R2=400Ω，C=125μF，US=200V，在換路前電容上有電壓uC(0－)=50V。求當(dāng)S閉合后電容電壓和電流的變化規(guī)律。圖3-15例3-8圖

解用三要素法求解。

(1)畫當(dāng)t=0－時的等效電路，如圖3-15(b)所示。由題意已知uC(0－)=50V。

(2)畫當(dāng)t=0+時的等效電路，如圖3-15(c)所示。由換路定律可得，uC(0+)=uC(0－)=50V。

(3)畫當(dāng)t=∞時的等效電路，如圖3-15(d)所示。

(4)求電路時間常數(shù)τ。從圖3-15(d)電路可知，從電容兩端看進去的等效電阻為

于是

τ=R0C=80×125×10－6=0.01s

(5)由公式(3-29)得

畫出uC(t)和iC(t)的變化規(guī)律波形圖，如圖3-16所示。圖3-16例3-8波形圖

例3-9如圖3-17(a)所示電路中，已知R1=1W，R2=1W,R3=2W，L=3H，t=0時開關(guān)由a撥向b，試求iL和i的表達式,并繪出波形圖。(假設(shè)換路前電路已處于穩(wěn)態(tài))

解

(1)畫出當(dāng)t=0－時的等效電路，如圖3-17(b)所示。因換路前電路已處于穩(wěn)態(tài)，故電感L相當(dāng)于短路，于是iL(0－)=UAB/R2。圖3-17例3-9圖

(2)由換路定律iL(0+)=iL(0－)得 。

(3)畫出當(dāng)t=0+時的等效電路，如圖3-17(c)所示，求i(0+)。

對3V電源，R1、R3回路有

3=i(0+)R1+i2(0+)R3

對節(jié)點A有

i(0+)=i2(0+)+iL(0+)

將上式代入回路方程，得

3=i(0+)R1+［i(0+)－iL(0+)］R3

即解得

i(0+)=0.2A

(4)畫出當(dāng)t=∞時的等效電路，如圖3-17(d)所示，求i(∞)和iL(∞)。

(5)畫出電感開路時求等效內(nèi)阻的電路，如圖3-17(e)所示。

于是有

(6)代入三要素法表達式，得

畫出i(t)和iL(t)的波形圖，如圖3-17(f)所示。

習(xí)題

3.1在如圖3-18所示電路中，已知US=12V，R1=4kW,R2=8kW，C=1μF，當(dāng)t=0時，閉合開關(guān)S。試求：初始值iC(0+)，i1(0+)，i2(0+)和uC(0+)。圖3-18題3.1圖

3.2在如圖3-19所示電路中，已知US=60V，R1=20Ω，R2=30Ω，電路原先已達穩(wěn)態(tài)。當(dāng)t=0時，閉合開關(guān)S。試求：初始值iC(0+)，i1(0+)，i(0+)。圖3-19