考點04 指對冪函數(shù) 2023年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講與練（原卷版）

高中數(shù)學(xué)精編資源2/2指對冪函數(shù)（講與練）1.冪函數(shù)(1)冪函數(shù)的定義一般地,形如y＝xα的函數(shù)稱為冪函數(shù),其中x是自變量,α為常數(shù).(2)常見的5種冪函數(shù)的圖象(3)冪函數(shù)的性質(zhì)①冪函數(shù)在(0,＋∞)上都有定義；②當(dāng)α>0時,冪函數(shù)的圖象都過點(1,1)和(0,0),且在(0,＋∞)上單調(diào)遞增；③當(dāng)α<0時,冪函數(shù)的圖象都過點(1,1),且在(0,＋∞)上單調(diào)遞減.2.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪(1)規(guī)定：正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是aeq\f(m,n)＝eq\r(n,am)(a>0,m,n∈N+,且n>1)；正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是a－eq\f(m,n)＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0,m,n∈N+,且n>1)；0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0；0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義.(2)有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr,其中a>0,b>0,r,s∈Q.3.指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1)概念：函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù),其中指數(shù)x是自變量,函數(shù)的定義域是R,a是底數(shù).(2)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象定義域R值域(0,＋∞)性質(zhì)過定點(0,1),即x＝0時,y＝1當(dāng)x>0時,y>1；當(dāng)x<0時,0<y<1當(dāng)x<0時,y>1；當(dāng)x>0時,0<y<1在(－∞,＋∞)上是增函數(shù)在(－∞,＋∞)上是減函數(shù)4.對數(shù)的概念一般地,對于指數(shù)式ab＝N,我們把“以a為底N的對數(shù)b”記作logaN,即b＝logaN(a>0,且a≠1).其中,數(shù)a叫做對數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù),讀作“b等于以a為底N的對數(shù)”.5.對數(shù)的性質(zhì)、換底公式與運算性質(zhì)(1)對數(shù)的性質(zhì)：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0,且a≠1).(2)對數(shù)的運算法則如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④logamMn＝eq\f(n,m)logaM(m,n∈R,且m≠0).(3)換底公式：logbN＝eq\f(logaN,logab)(a,b均大于零且不等于1).6.對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1)概念：函數(shù)y＝logax(a＞0,且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù),其中x是自變量,函數(shù)的定義域是(0,＋∞).(2)對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象性質(zhì)定義域：(0,＋∞)值域：R當(dāng)x＝1時,y＝0,即過定點(1,0)當(dāng)x>1時,y>0；當(dāng)0<x<1時,y<0當(dāng)x>1時,y<0；當(dāng)0<x<1時,y>0在(0,＋∞)上是增函數(shù)在(0,＋∞)上是減函數(shù)7.指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)模型性質(zhì)比較函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0,＋∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)方法技巧1.冪函數(shù)y＝xα(α∈R)圖象的特征α>0時,圖象過原點和(1,1)點,在第一象限的部分“上升”；α<0時,圖象不過原點,經(jīng)過(1,1)點在第一象限的部分“下降”,反之也成立.2.判斷指數(shù)函數(shù)圖象上底數(shù)大小的問題,可以先通過令x＝1得到底數(shù)的值再進(jìn)行比較.3.指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性取決于底數(shù)a的大小,當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時應(yīng)分0<a<1和a>1兩種情況分類討論.4.對數(shù)值取正、負(fù)值的規(guī)律當(dāng)a>1且b>1或0<a<1且0<b<1時,logab>0；當(dāng)a>1且0<b<1或0<a<1且b>1時,logab<0.5.利用單調(diào)性可解決比較大小、解不等式、求最值等問題,其基本方法是“同底法”,即把不同底的對數(shù)式化為同底的對數(shù)式,然后根據(jù)單調(diào)性來解決.6.比較冪、對數(shù)大小有兩種常用方法：(1)數(shù)形結(jié)合；(2)找中間量結(jié)合函數(shù)單調(diào)性.7.多個對數(shù)函數(shù)圖象比較底數(shù)大小的問題,可通過比較圖象與直線y＝1交點的橫坐標(biāo)進(jìn)行判定.考點練考向一指數(shù)函數(shù)一、單選題1．（2022·江蘇·金陵中學(xué)模擬預(yù)測）已知是正實數(shù),函數(shù)的圖象經(jīng)過點,則的最小值為（

）A． B．9 C． D．22．（2022·江西上饒·二模（理））函數(shù)的大致圖像為（

）A． B．C． D．3．（2022·河北秦皇島·二模）設(shè),,,則（

）A． B． C． D．4．（2022·浙江嘉興·二模）已知集合,,則（

）A． B． C． D．二、多選題5．（2022·廣東汕頭·二模）設(shè)a,b,c都是正數(shù),且,則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．三、填空題6．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測）若,則的最小值為_________．7．（2022·遼寧錦州·一模）已知函數(shù)的值域為R,則實數(shù)a的取值范圍是___________.8．（2022·山西·二模（理））已知函數(shù)給出下列結(jié)論：①是偶函數(shù)；②在上是增函數(shù)；③若,則點與原點連線的斜率恒為正．其中正確結(jié)論的序號為______．9．（2022·福建龍巖·一模）已知函數(shù),若方程有解,則實數(shù)的取值范圍是_________．10．（2022·海南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域為,則_________．考向二對數(shù)函數(shù)一、單選題1．（2022·遼寧錦州·一模）若,,則x,y,z的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．2．（2022·廣東惠州·一模）中國的5G技術(shù)領(lǐng)先世界,5G技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式：,它表示：在受噪聲干擾的信道中,最大信息傳遞速率C取決于信道帶寬W?信道內(nèi)信號的平均功率S?信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小,其中叫做信噪比.當(dāng)信噪比比較大時,公式中真數(shù)中的1可以忽略不計,按照香農(nóng)公式,若不改變帶寬W,而將信噪比從1000提升至5000,則C大約增加了（

）（附：）A．20% B．23% C．28% D．50%3．（2022·北京順義·二模）函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．4．（2022·河南新鄉(xiāng)·二模（文））函數(shù)的部分圖象大致為（

）A． B．C． D．5．（2021·吉林·東北師大附中模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)在上為減函數(shù),則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．6．（2022·山西·二模（理））已知是的一個零點,是的一個零點,,則（

）A． B．C． D．或二、多選題7．（2021·河北石家莊·模擬預(yù)測）已知函數(shù)是偶函數(shù),則（

）A． B．在上是單調(diào)函數(shù)C．的最小值為1 D．方程有兩個不相等的實數(shù)根8．（2020·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù),若,且,則（

）A． B．C． D．三、雙空題9．（2022·河北石家莊·二模）已知函數(shù),若存在實數(shù).滿足,且,則___________,的取值范圍是___________.四、填空題10．（2022·海南·模擬預(yù)測）若對任意的且,函數(shù)的圖象恒過定點P,則點P的坐標(biāo)為___________.11．（2022·江西贛州·二模（理））若函數(shù)在上是減函數(shù),則的取值范圍是___________.五、解答題12．（2020·全國·一模（文））（1）已知,,,證明：；（2）已知,,,且,若恒成立,求實數(shù)k的最大值.考向三冪函數(shù)一、單選題1．（2022·北京·一模）下列函數(shù)中,定義域與值域均為R的是（

）A． B． C． D．2．（2021·河北衡水中學(xué)模擬預(yù)測）已知冪函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù),則（

）A．8 B．4 C．2 D．13．（2021·江西·模擬預(yù)測）已知冪函數(shù)的圖象過點,則（

）A．0 B．2 C．4 D．54．（2021·四川·樂山市教育科學(xué)研究所一模（理））已知冪函數(shù)和,其中,則有下列說法：①和圖象都過點；②和圖象都過點；③在區(qū)間上,增長速度更快的是；④在區(qū)間上,增長速度更快的是.則其中正確命題的序號是（

）A．①③ B．②③ C．①④ D．②④5．（2022·全國·貴陽一中二模（文））下列函數(shù)中是減函數(shù)的為（

）A． B． C． D．6．（2022·陜西寶雞·三模（理））若,則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．二、多選題7．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知實數(shù),且,則下列判斷正確的是（

）A． B．C． D．8．（2021·山東·模擬預(yù)測）已知實數(shù),滿足,則下列不等式恒成立的是（

）A．B．若,,則C．D．若,,則9．（2021·全國·模擬預(yù)測）已知e為自然對數(shù)的底數(shù),則下列判斷正確的是（

）A．3e﹣2π＜3πe﹣2 B．πl(wèi)og3e＞3logπeC．logπe D．πe＜eπ10．（2021·山東濰坊·三模）已知函數(shù)（且）的圖象如下圖所示,則下列四個函數(shù)圖象與函數(shù)解析式對應(yīng)正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題11．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·模擬預(yù)測（文））寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)______．①；②當(dāng)時,；③；12．（2022·四川瀘州·模擬預(yù)測（文））已知當(dāng)時,函數(shù)的圖象與的圖象有且只有一個公共點,則實數(shù)的取值范圍是________.13．（2022·北京通州·一模）冪函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,能夠使是奇函數(shù)的一組整數(shù)m,n的值依次是__________．經(jīng)典真題一、單選題1．（2021·全國·高考真題）已知,,,則下列判斷正確的是（

）A． B． C． D．2．（2021·全國·高考真題（文））青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題,視力情況可借助視力表測量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù),五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù)V的滿足．已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為（

）（）A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.63．（2020·天津·高考真題）設(shè),則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．4．（2020·全國·高考真題（理））若,則（

）A． B． C． D．5．（2020·全國·高考真題（理））已知55<84,134<85．設(shè)a=log53,b=log85,c=log138,則（

）A．a(chǎn)<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b6．（2020·全國·高考真題（文））Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一,可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域．有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計確診病例數(shù)I(t)(t的單位：天)的Logistic模型：,其中K為最大確診病例數(shù)．當(dāng)I()=0.95K時,標(biāo)志著已初步遏制疫情,則約為（

）（ln19≈3）A．60 B．63 C．66 D．697．（2020·全國·高考真題（文））設(shè),,,則（

）A． B． C． D．8．（2020·全國·高考真題（文））設(shè),則（

）A． B． C． D．9．（2020·全國·高考真題（理））設(shè)函數(shù),則f(x)（

）A．是偶函數(shù),且在單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù),且在單調(diào)遞減C．是偶函數(shù),且在單調(diào)遞增 D．是奇函數(shù),且在單調(diào)遞減二、多選題10．（2020·海南·高考真題）信息熵是信息論中的一個重要概念.設(shè)隨機變量X所有可能的取值為,且,定義X的信息熵.（

）A．若n=1,則H(X)=0B．若n=2,則H(X)隨著的增大而增大C．若,則H(X)隨著n的增大而增大D．若n=2m,隨機變量Y所有可能的取值為,且,則H(X)≤H(Y)三、填空題11．（2020·山東·高考真題）若,則實數(shù)的值是______.12．（2020·北京·高考真題）函數(shù)的定義域是____________．13．（2020·江蘇·高考真題）已知y=f(x)是奇函數(shù),當(dāng)x≥0時,,則f(-8)的值是____.經(jīng)典變式練一、單選題1.（2022·全國·模擬預(yù)測）開普勒（JohannesKepler,1571~1630）,德國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家,他發(fā)現(xiàn)所有行星運行的軌道與公轉(zhuǎn)周期的規(guī)律：所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓,且所有行星軌道的半長軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比都相等.已知金星與地球的公轉(zhuǎn)周期之比約為2:3,地球運行軌道的半長軸為a,則金星運行軌道的半長軸約為（）A.0.66a B.0.70a C.0.76a D.0.96a2.（2022·全國·模擬預(yù)測）已知是函數(shù)的零點,則的值（）A.為正數(shù) B.為負(fù)數(shù) C.等于0 D.無法確定正負(fù)3.（2022·全國·模擬預(yù)測）已知,,,則（）A. B. C. D.4.（2022·廣東汕頭·一模）已知,,,則以下不等式正確的是（）A. B. C. D.5.（2022·河北·模擬預(yù)測）設(shè),,則,,的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.6.（2022·山東·模擬預(yù)測）已知非零實數(shù)m,n滿足,則下列關(guān)系式一定成立的是（）A. B.C. D.7.（2022·全國·模擬預(yù)測）分形幾何學(xué)的