中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)壓軸題培優(yōu)專練專題19 方程思想在壓軸題中的應(yīng)用（原卷版）

專題19方程思想在壓軸題中的應(yīng)用方程思想在中考壓軸題中的應(yīng)用非常廣泛，主要表現(xiàn)在幾何壓軸題中的動點(diǎn)問題，幾何、函數(shù)壓軸題中的存在性問題以及面積問題和相似問題等。通過設(shè)出未知數(shù)，并用未知數(shù)表示出各線段的長度，再根據(jù)勾股定理、相似三角形的性質(zhì)以及各幾何圖形的判定，列出方程，進(jìn)行求解。 （2022·上?！そy(tǒng)考中考真題）平行四邊形SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，①證明SKIPIF1<0為菱形；②若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長．(2)以SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0為半徑，SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0為半徑作圓，兩圓另一交點(diǎn)記為點(diǎn)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，求SKIPIF1<0的值．（1）①連接AC交BD于O，證△AOE≌△COE(SSS)，得∠AOE=∠COE，從而得∠COE=90°，則AC⊥BD，即可由菱形的判定定理得出結(jié)論；②先證點(diǎn)E是△ABC的重心，由重心性質(zhì)得BE=2OE，然后設(shè)OE=x，則BE=2x，在Rt△AOE中，由勾股定理，得OA2=AE2-OE2=32-x2=9-x2,在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2=AB2-OB2=52-(3x)2=25-9x2,從而得9-x2=25-9x2，解得：x=SKIPIF1<0,即可得OB=3x=3SKIPIF1<0，再由平行四邊形性質(zhì)即可得出BD長；（2）由⊙A與⊙B相交于E、F，得AB⊥EF，點(diǎn)E是△ABC的重心，又SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，則CG是△ABC的中線，則AG=BG=SKIPIF1<0AB，根據(jù)重心性質(zhì)得GE=SKIPIF1<0CE＝SKIPIF1<0AE，CG=CE+GE=SKIPIF1<0AE，在Rt△AGE中，由勾股定理，得AG2=AE2-GEE=AE2-(SKIPIF1<0AE)2=SKIPIF1<0AE2,則AG=SKIPIF1<0AE,所以AB=2AG=SKIPIF1<0AE，在Rt△BGC中，由勾股定理，得BC2=BG2+CG2=SKIPIF1<0AE2+（SKIPIF1<0AE）2=5AE2，則BC=SKIPIF1<0AE，代入即可求得SKIPIF1<0的值．【答案】(1)①見解析；②SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】(1)①證明：如圖，連接AC交BD于O，∵平行四邊形SKIPIF1<0，∴OA=OC，∵AE=CE，OE=OE，∴△AOE≌△COE(SSS)，∴∠AOE=∠COE，∵∠AOE+∠COE=180°，∴∠COE=90°，∴AC⊥BD，∵平行四邊形SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0是菱形；②∵OA=OC，∴OB是△ABC的中線，∵SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，∴AP是△ABC的中線，∴點(diǎn)E是△ABC的重心，∴BE=2OE，設(shè)OE=x，則BE=2x，在Rt△AOE中，由勾股定理，得OA2=AE2-OE2=32-x2=9-x2,在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2=AB2-OB2=52-(3x)2=25-9x2,∴9-x2=25-9x2，解得：x=SKIPIF1<0,∴OB=3x=3SKIPIF1<0，∵平行四邊形SKIPIF1<0，∴BD=2OB=6SKIPIF1<0；(2)解：如圖，∵⊙A與⊙B相交于E、F，∴AB⊥EF，由（1）②知點(diǎn)E是△ABC的重心，又SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，∴CG是△ABC的中線，∴AG=BG=SKIPIF1<0AB，GE=SKIPIF1<0CE，∵CE=SKIPIF1<0AE，∴GE=SKIPIF1<0AE，CG=CE+GE=SKIPIF1<0AE，在Rt△AGE中，由勾股定理，得AG2=AE2-GEE=AE2-(SKIPIF1<0AE)2=SKIPIF1<0AE2,∴AG=SKIPIF1<0AE,∴AB=2AG=SKIPIF1<0AE，在Rt△BGC中，由勾股定理，得BC2=BG2+CG2=SKIPIF1<0AE2+（SKIPIF1<0AE）2=5AE2，∴BC=SKIPIF1<0AE，∴SKIPIF1<0．本題考查平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定，重心的性質(zhì)，勾股定理，相交兩圓的公共弦的性質(zhì)，本題屬圓與四邊形綜合題目，掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬是考?？碱}目．（2022·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）一個(gè)玻璃球體近似半圓SKIPIF1<0為直徑，半圓SKIPIF1<0上點(diǎn)SKIPIF1<0處有個(gè)吊燈SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的中點(diǎn)為SKIPIF1<0(1)如圖①，SKIPIF1<0為一條拉線，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0求SKIPIF1<0的長度．(2)如圖②，一個(gè)玻璃鏡與圓SKIPIF1<0相切，SKIPIF1<0為切點(diǎn)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上一點(diǎn)，SKIPIF1<0為入射光線，SKIPIF1<0為反射光線，SKIPIF1<0求SKIPIF1<0的長度．(3)如圖③，SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0上的動點(diǎn)，SKIPIF1<0為入射光線，SKIPIF1<0為反射光線交圓SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0從SKIPIF1<0運(yùn)動到SKIPIF1<0的過程中，求SKIPIF1<0點(diǎn)的運(yùn)動路徑長．（1）由SKIPIF1<0，可得出SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中位線，可得出D為SKIPIF1<0中點(diǎn)，即可得出SKIPIF1<0的長度；（2）過N點(diǎn)作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點(diǎn)D，可得出SKIPIF1<0為等腰直角三角形，根據(jù)SKIPIF1<0,可得出SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0，即可求得SKIPIF1<0，再根據(jù)勾股定理即可得出答案；（3）依題意得出點(diǎn)N路徑長為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，推導(dǎo)得出SKIPIF1<0，即可計(jì)算給出SKIPIF1<0，即可得出答案．【答案】(1)2；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0【詳解】（1）∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中位線∴D為SKIPIF1<0的中點(diǎn)∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0（2）過N點(diǎn)作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點(diǎn)D，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0為等腰直角三角形，即SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0；（3）如圖，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)O重合時(shí)，點(diǎn)N也與點(diǎn)O重合．當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動至點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)N運(yùn)動至點(diǎn)T，故點(diǎn)N路徑長為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴N點(diǎn)的運(yùn)動路徑長為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0．本題考查了圓的性質(zhì)，弧長公式、勾股定理、中位線，利用銳角三角函數(shù)值解三角函數(shù)，掌握以上知識，并能靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．（2022·遼寧盤錦·中考真題）如圖，拋物線y＝﹣SKIPIF1<0x2+bx+c與x軸交于A（﹣3，0），B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，9），點(diǎn)D在y軸正半軸上，OD＝4，點(diǎn)P是線段OB上的一點(diǎn)，過點(diǎn)B作BE⊥DP，BE交DP的延長線于點(diǎn)E．(1)求拋物線解析式；(2)若SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)F為第一象限拋物線上一點(diǎn)，在（2）的條件下，當(dāng)∠FPD＝∠DPO時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．（1）將A(﹣3，0)，C(0，9)代入拋物線y＝﹣SKIPIF1<0x2+bx+c，建立方程組，求解即可；（2）易證△DPO∽△BPE，所以SKIPIF1<0，設(shè)OP＝t（0＜t＜6），所以BP＝6﹣t，由相似比可得，BE2＝SKIPIF1<0，PE2＝SKIPIF1<0，在Rt△BPE中，利用勾股定理建立方程可求出t的值，即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如過點(diǎn)D作DG⊥PF于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作GN⊥x軸于點(diǎn)N，過點(diǎn)D作DM⊥GN交NG的延長線于點(diǎn)M，易證△DPO≌△DPG（AAS），所以O(shè)D＝GD＝4，OP＝PG＝2，由一線三等角可得△MDG∽△NGP，所以DG：GP＝MD：GN＝MG：PN＝2：1，設(shè)PN＝m，則MG＝2m，所以GN＝4﹣2m，DM＝8﹣4m，由平行四邊形的性質(zhì)可得8﹣4m＝2+m，解得m＝SKIPIF1<0，可得GSKIPIF1<0，由待定系數(shù)法可求得直線PF的解析式為：SKIPIF1<0，聯(lián)立直線PF的解析式和拋物線的解析式可得出點(diǎn)F的坐標(biāo)．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)P(2，0)(3)F(5，4)【詳解】(1)將A(﹣3，0)，C(0，9)代入拋物線y＝﹣SKIPIF1<0x2+bx+c，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．∴拋物線的解析式為：y＝﹣SKIPIF1<0x2+SKIPIF1<0x+9．(2)∵拋物線的解析式為：y＝﹣SKIPIF1<0x2+SKIPIF1<0x+9，∴B(6，0)，∵BE⊥DP，∴∠E＝∠DOP＝90°，∵∠DPO＝∠BPE，∴△DPO∽△BPE，∴SKIPIF1<0，，設(shè)OP＝t（0＜t＜6），∴BP＝6﹣t，∴BE2＝SKIPIF1<0，PE2＝SKIPIF1<0，在Rt△BPE中，由勾股定理可得，BE2+PE2＝PB2，∴SKIPIF1<0+SKIPIF1<0＝（6﹣t）2，解得t＝58（舍）或t＝2，∴P(2，0)；(3)如圖，過點(diǎn)D作DG⊥PF于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作GN⊥x軸于點(diǎn)N，過點(diǎn)D作DM⊥GN交NG的延長線于點(diǎn)M，∴∠DOP＝∠DGP＝90°，∵∠FPD＝∠DPO，DP＝DP，∴△DPO≌△DPG（AAS），∴OD＝GD＝4，OP＝PG＝2，∵GN⊥x軸，DM⊥GN，∴∠M＝∠GNP＝90°，∵∠DGM+∠MDG＝∠DGM+∠PGN＝90°，∴∠MDG＝∠PGN，∴△MDG∽△NGP，∴DG：GP＝MD：GN＝MG：PN＝2：1，設(shè)PN＝m，則MG＝2m，∴GN＝4﹣2m，∴DM＝8﹣4m，∴8﹣4m＝2+m，解得m＝SKIPIF1<0，∴ON＝2+SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，GN＝4﹣2×SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，∴G(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0)，設(shè)直線PF的解析式為：y＝kx+b′，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴直線PF的解析式為：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，解得x＝5或x＝SKIPIF1<0（舍），∴F(5，4)．本題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，二次函數(shù)上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識，第（2）問關(guān)鍵是利用相似三角形的面積比等于相似比的平方表達(dá)出BE2和PE2；第（3）問關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形，建立方程．1．（2022·山東菏澤·菏澤一中?？寄M）如圖1，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的度數(shù)；(2)如圖2，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于E，連接SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0；(3)如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)G為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)F，若SKIPIF1<0，求線段SKIPIF1<0的長．2．（2022·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)校聯(lián)考模擬）如圖①，在正方形SKIPIF1<0中，點(diǎn)E、F、G、H分別在邊SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上，若SKIPIF1<0，(1)求證：SKIPIF1<0；(2)如果把題目中的“正方形”改為“長方形”、若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（如圖②），求SKIPIF1<0的值；(3)如果把題目中的“SKIPIF1<0”改為“SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為45°”（如圖③），若正方形SKIPIF1<0的邊長為2，SKIPIF1<0的長為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長．3．（2022·河南洛陽·統(tǒng)考二模）如圖1，在四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在邊SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．作SKIPIF1<0，交線段SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，連結(jié)SKIPIF1<0．(1)求證：SKIPIF1<0；(2)如圖2，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長；(3)如圖3，若SKIPIF1<0的延長線經(jīng)過SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．4．（2022·寧夏吳忠·?？家荒＃┮阎喝鐖D，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0從點(diǎn)SKIPIF1<0出發(fā)，沿SKIPIF1<0向點(diǎn)SKIPIF1<0勻速運(yùn)動，速度為SKIPIF1<0；過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，同時(shí)，點(diǎn)SKIPIF1<0從點(diǎn)SKIPIF1<0出發(fā)，沿SKIPIF1<0向點(diǎn)SKIPIF1<0勻速運(yùn)動，速度為SKIPIF1<0；當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動，連接SKIPIF1<0．設(shè)運(yùn)動時(shí)間為SKIPIF1<0，解答下列問題：(1)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形？(2)設(shè)四邊形SKIPIF1<0的面積為y（cm2），試確定y與t的函數(shù)關(guān)系式；(3)在運(yùn)動過程中，是否存在某一時(shí)刻t，使SKIPIF1<0？若存在，請說明理由，若存在，求出t的值．5．（2022·山東青島·?？级＃┮阎?，如圖，矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0以每秒SKIPIF1<0個(gè)單位從點(diǎn)SKIPIF1<0向點(diǎn)SKIPIF1<0運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)SKIPIF1<0沿著SKIPIF1<0以每秒SKIPIF1<0個(gè)單位從SKIPIF1<0向SKIPIF1<0運(yùn)動，在點(diǎn)SKIPIF1<0運(yùn)動的同時(shí)，作SKIPIF1