基于HPM視角-“用二元一次方程組解相遇與追及問題”的教學案例

基于HPM視角——“用二元一次方程組解相遇與追及問題”的教學設計目錄TOC\o"1-3"\h\u1引言 11.1研究背景 11.2研究問題 11.3研究意義 11.4選題的研究現(xiàn)狀 21.5研究方法 31.6HPM視角教學 32教學設計的準備與形成 52.1教材分析 52.1.1二元一次方程組的應用 52.1.2相遇與追及問題 62.2史料的選組與加工 62.2.1《九章算術(shù)》盈不足章 62.2.2意大利數(shù)學家斐波那契《計算之書》 72.2.3相遇與追及問題古代名題 82.3基于HPM視角下的教學設計 82.3.1基于HPM視角——“用二元一次方程組解相遇與追及問題”的教學設計 92.3.2教學設計的反思 122.4中學教師訪談 123數(shù)學史融入課堂教學的價值 143.1選擇數(shù)學史，數(shù)學文化滲透教學 143.2借助數(shù)學史，進行課堂“再構(gòu)建” 15 15 16

摘要：本文旨在以“HPM視角”為指導，進行用二元一次方程組解相遇與追及問題的教學設計，旨在通過結(jié)合HPM視角的教學理念，充分挖掘和發(fā)展學生的解決實際問題的能力。在研究背景中數(shù)學史與數(shù)學教育關系的研究發(fā)展。研究問題為在HPM視角下用二元一次方程組解相遇及追及問題題型的可行性。本研究的意義在于提高學生的學習效果和學習興趣，促進其發(fā)展邏輯思維和創(chuàng)新能力。本文對二元一次方程組的應用和相遇與追及問題進行了教材分析和史料的選擇與加工，在此基礎上設計了“基于HPM視角——用二元一次方程組解相遇與追及問題”的教學方案。根據(jù)訪談結(jié)果探討了教學設計的可行性。最后，小結(jié)數(shù)學史融入課堂教學的價值以及在教學中借助數(shù)學史進行課堂“再構(gòu)建”的思路。本論文旨在為數(shù)學教學提供思路和借鑒。關鍵詞：HPM視角；數(shù)學史；二元一次方程組；相遇與追及問題引言1.1研究背景從19世紀到20世紀，對數(shù)學史與數(shù)學教育關系的研究經(jīng)歷了由被倡導到被認可的演變過程。西方自19世紀起，研究者開始探討在數(shù)學教育中引入數(shù)學史，并取得了良好的效果。這體現(xiàn)在激發(fā)學生學習數(shù)學知識的興趣、發(fā)展學生的認知思維、改變學生的數(shù)學觀、樹立學生的自信心、幫助學生理解和欣賞數(shù)學，以及掌握數(shù)學中的社會文化信息等方面。我國教育工作者將數(shù)學史融入到數(shù)學教學中的起步較晚，但近年來也引起了數(shù)學老師的高度關注。新課標表示希望能對如今應試教育的局面做出改變，讓學生不再為了分數(shù)而學習數(shù)學。因此，數(shù)學史融入數(shù)學教學的研究背景主要集中在如何更好地激發(fā)學生的學習興趣，改變學生的學習態(tài)度，以及如何通過數(shù)學史的教學，幫助學生樹立正確的數(shù)學觀，培養(yǎng)他們的數(shù)學素養(yǎng)。近幾十年來，將數(shù)學史融入數(shù)學教學已逐漸成為教學中的重要方法之一。在國內(nèi)，HPM領域的發(fā)展也十分迅速，涉及數(shù)學史融入教學的案例層出不窮。1.2研究問題本研究的主要目的在于通過查閱搜集資料，設計融入數(shù)學史的二元一次方程組的應用教案，分析在此教學情境下用二元一次方程組解相遇及追及問題題型的可行性。從而更好的改進教學，尋找對學生有利的創(chuàng)新的教學方式。針對以上目的，本文主要有以下研究問題：問題1：如何在課堂上將二元一次方程組與數(shù)學史相關聯(lián)，并將數(shù)學史融入到其教學中呢？在本文中，教學設計是至關重要的核心內(nèi)容。所以找到合適的適合學生且適合課堂的數(shù)學史料很關鍵。問題2:數(shù)學史融入課堂的基礎上，怎樣結(jié)合相遇及追及問題進行教學？本文的主要目的是研究數(shù)學史融入應用教學的適配度及二元一次方程組和相遇及追及問題題型結(jié)合教學的影響。1.3研究意義本研究的意義在于探索基于HPM視角的數(shù)學教學方法，通過教授二元一次方程組解決相遇問題，達到以下幾個方面的目標：1、提高學生的數(shù)學學習興趣：通過將數(shù)學與歷史數(shù)學問題相結(jié)合，激發(fā)學生的學習興趣和動機，使他們對數(shù)學產(chǎn)生積極的情感體驗。2、培養(yǎng)學生的解決具體問題的能力：通過分析實際問題，培養(yǎng)學生把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的能力，使他們在日常生活中運用數(shù)學知識解決問題。3、加深對二元一次方程組的理解和應用：通過教授相遇問題，使學生深入理解二元一次方程組的概念、解法和應用，提高他們的數(shù)學思維和解決實際問題的能力。4、推進HPM視角的應用研究：本研究將探索HPM視角下的教學設計，豐富基于HPM視角的教學研究，為教師提供新的教學方案及思路。因此，本研究具有一定的實踐價值和理論意義，對于促進學生的數(shù)學學習效果和數(shù)學教育的發(fā)展都具有重要意義。近年來，由于研究中數(shù)學史融入課堂教學的現(xiàn)實意義日益凸顯，相關教學案例不斷增多。如汪曉勤教授在HPM融入課堂方面發(fā)表許多相關研究，同時也做出教學實踐。但如今中國數(shù)學課堂上，基于HPM視角的教學實踐未能普及。在進行二元一次方程組應用教學的同時，結(jié)合相遇與追及問題題型，整理相關數(shù)學史，將適當?shù)膬?nèi)容融入到方程組課堂教學中。設計出更符合學生認知、更適合教師實施的教學設計，為實際教學提供思路和參考。1.4選題的研究現(xiàn)狀目前關于將數(shù)學史融入二元一次方程組教學的研究相對較少。在數(shù)學教學過程中，二元一次方程組是重要的知識點，但是傳統(tǒng)的教學方式往往讓學生感到枯燥無味，難以產(chǎn)生興趣。因此，如何將數(shù)學史融入二元一次方程組的教學中，提高學生的學習興趣和理解能力，是一個值得研究的課題。一些學者已經(jīng)探索了將數(shù)學史融入二元一次方程組教學的方法。例如，汪曉勤有些研究者通過介紹二元一次方程組的起源和發(fā)展歷程，幫助學生了解數(shù)學知識的產(chǎn)生背景，從而激發(fā)學生的學習興趣。另外，還有學者通過設置與二元一次方程組相關的歷史故事或案例，來幫助學生理解方程組的實際應用，提升他們的理解能力。然而，目前關于數(shù)學史融入二元一次方程組教學的研究還相對有限。大多數(shù)研究仍處于理論階段，缺乏實踐性和可操作性。因此，如何將數(shù)學史融入二元一次方程組的課堂教學，以提高學生的學習興趣和理解能力，是一個迫切需要深入研究的課題。1.5研究方法(1)文獻研究法查閱文獻的主要途徑為中國知網(wǎng)，找到合適的涉及二元一次方程組和相遇追及問題的數(shù)學史的文章和書籍，查找HPM在國內(nèi)外的研究現(xiàn)狀。此外，在這過程中研究基于HPM視角的教學設計和實踐案例，類比教學方法及思路。(2)調(diào)查訪問法在研究過程中，通過對兩位中學教師進行訪談，了解二元一次方程組應用這節(jié)課的教學現(xiàn)狀，以及教師基于HPM視角開展教學的學情。同時，還探討了將二元一次方程組與相遇及追及問題題型結(jié)合起來進行教學的可行性。1.6HPM視角教學（1）概念解釋HPM（InternationalStudyGroupontheRelationsbetweenHistoryandPedagogyofMathematics）即為是數(shù)學史與數(shù)學教學關系國際研究小組的縮寫的縮寫，國際數(shù)學史與教學法研究小組致力于研究數(shù)學史與數(shù)學教育之間的關系。該組織認為，數(shù)學教育的研究不能孤立于數(shù)學史之外。數(shù)學教師需要知道如何組織學習內(nèi)容，并選擇富含數(shù)學思想和歷史啟發(fā)的內(nèi)容。通過探究數(shù)學史融入課堂，以此激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣。因此，HPM旨在通過研究數(shù)學史和改進教學法，提高數(shù)學教育的質(zhì)量，幫助學生更好地理解和掌握數(shù)學知識。故HPM視角教學即為根據(jù)一定的原則和方法，將數(shù)學史作為輔助內(nèi)容融入到教學設計中，并且有意識地將其與教學內(nèi)容相結(jié)合。（2）HPM理論國外研究自1972年成立以來，HPM（國際數(shù)學史與教學法研究小組）在數(shù)學教育研究領域產(chǎn)生了重要影響。ICME-14會議的HPM相關報告，共有19個報告，其中包括兩個IL報告、4個AO報告和13個TSG報告。其中，中國研究者的占比最高。這體現(xiàn)了國內(nèi)的HPM研究的發(fā)展。19個報告包含HPM理論探討、HPM教學實踐、數(shù)學文化與數(shù)學教育、數(shù)學教育史、HPM與教師專業(yè)發(fā)展、HPM的歷史和教材中的數(shù)學史七個主題。前兩類的報告占比較多。在數(shù)學史融入數(shù)學教學的方法方面，國外學者的研究主要集中在數(shù)學史料的收集、篩選和加工上。Tzanakis和Arcavi將教學中使用的數(shù)學史料分為三種：一為選取歷史文獻的原文；二為闡釋和重構(gòu)歷史的二手資料；三是從前兩種中提煉總結(jié)出的教學材料。他們還提出了：提供直接的數(shù)學史料、歷史啟發(fā)法和形成數(shù)學意識的數(shù)學史融入教學課堂的三種方法。Jahnkeke把數(shù)學史融入教學的實踐效果用替換、重新定向和文化理解三個思想概括。Furinghetti認為教師在準備數(shù)學史融入的課堂時，需要經(jīng)歷瀏覽資料、挑選與教學知識內(nèi)容相關的片段、深入研究相關文獻，以及設計課堂教學素材這四個步驟。此外，國外對數(shù)學史的教育價值的研究也取得了重要成果。數(shù)學史作為教師教育課程的一部分在美國出現(xiàn)，史密斯、哈斯勒、卡約黎、克萊因等數(shù)學史家肯定了數(shù)學史對教師教育的重要價值。瓊斯從教師和學生的角度總結(jié)了數(shù)學史的教育價值，包括提供生動的教學素材、成為改進教學的工具、幫助學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學學習的新思想和新概念等。HPM理論在數(shù)學教育研究領域取得了重要成果。國外學者在數(shù)學史料的收集、篩選和加工、數(shù)學史融入教學課堂的方法、以及數(shù)學史的教育價值等方面進行了大量研究，為我國HPM研究提供了有益借鑒。（3）HPM理論國內(nèi)研究2005年標志著我國開始探索HPM理論。這一年，我國舉辦了全國首屆數(shù)學史與數(shù)學教育會議，正式引入HPM理論。此后，HPM理論在國內(nèi)的研究逐漸崛起，成為我國數(shù)學教育研究的重要分支。在國內(nèi)HPM理論的研究中，學者們聚焦于以下幾個方向：1、數(shù)學史與教學法：學者們廣泛研究了數(shù)學史在教學中的應用，涉及教學策略、方法、資源等方面。2、數(shù)學史與學生認知發(fā)展規(guī)律：研究者們探討了數(shù)學史對學生認知發(fā)展的影響，以及如何利用數(shù)學史促進學生的認知發(fā)展。3、基于數(shù)學史的教學設計：學者們研究了如何利用數(shù)學史進行教學設計，以提高教學效果。4、數(shù)學與其他學科的關聯(lián)：研究者們探討了數(shù)學與其他學科的聯(lián)系，如數(shù)學與哲學、數(shù)學與文化等。5、多元文化的數(shù)學：學者們研究了數(shù)學在不同文化背景下的發(fā)展，以及如何利用多元文化視角進行數(shù)學教學。在HPM研究方法方面，學者們提出了多種將數(shù)學史融入數(shù)學課堂的方式，包括附加式、復制式、順應式、重構(gòu)式等。同時，他們還探討了如何利用現(xiàn)代技術(shù)手段，如網(wǎng)絡資源、多媒體教學等，來進行數(shù)學史教學。綜上所述，HPM理論在我國的研究取得了顯著成果，為我國數(shù)學教育研究帶來了新的視角和思路。然而，與國外研究相比，我國在HPM理論研究方面仍有一定差距，需要進一步加強研究和交流。教學設計的準備與形成教材分析2.1.1二元一次方程組的應用二元一次方程組的應用是初中數(shù)學課程中一個重要的知識點，對于學生理解代數(shù)方程和解決實際問題具有重要意義。在我國人教版的初中數(shù)學教材中，二元一次方程組的應用主要出現(xiàn)在七年級下冊這一階段。在七年級下冊中，二元一次方程組的應用主要集中在第八章《二元一次方程組》第三節(jié)實際問題與二元一次方程組。這一節(jié)內(nèi)容是在學生已經(jīng)學習了一元一次方程和二元一次方程的概念以及等式的基本性質(zhì)的基礎上，探究如何用二元一次方程組解決實際問題，獨立分析題目中的數(shù)量關系，列出方程組，得到問題的解答。教材通過養(yǎng)牛場問題引入，幫助學生更直觀感受實際問題與數(shù)學問題間的轉(zhuǎn)化。教材通過一個具體的應用問題，讓學生列出二元一次方程組，并引導學生通過去分母、去括號、移項、合并同類項以及兩邊同時除以未知數(shù)的系數(shù)等步驟求解。以方程組為工具解決實際問題是本章的重點和難點；本章節(jié)需要留意本章內(nèi)容與前面內(nèi)容的聯(lián)系與區(qū)別，做好“一元”向“多元”的轉(zhuǎn)化，提高分析問題中數(shù)量關系才能。二元一次方程組的應用在初中數(shù)學教材中占有重要地位，是學生理解代數(shù)方程和解決實際問題的重要工具。通過學習二元一次方程組的應用，學生可以更好地理解和掌握代數(shù)方程的基本概念和方法，為后續(xù)學習更高階的代數(shù)方程打下堅實的基礎。在教材本章的閱讀與思考中講述了一次方程組的古今表示及解法，其中提到古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》中的“方程”章，教材把這一章中第一個問題譯為現(xiàn)代漢語向?qū)W生呈現(xiàn)。從數(shù)學文化的視角看，教材選擇有意義的歷史問題讓學生體驗方程的模型思想與轉(zhuǎn)化思想，對學生的學習是有意義的拓展。2.1.2相遇與追及問題馬小建老師提出相遇與追及問題可以分為以下四種類型：類型1：單一的直線型相遇問題、類型2：單一的環(huán)形問題、類型3：混合型直線問題、類型4：開放型行程問題。這一題型的考點有求兩個物體在一定時間內(nèi)相遇的路程、求共同行駛的路程、相遇時間和其中一個物體的運動速度等。在初中數(shù)學教材中，相遇與追及問題出現(xiàn)在人教版教材七年級下冊。在七年級下冊的“二元一次方程組”章節(jié)中，教材引入相遇問題的應用，復習題的綜合應用第6題：甲、乙二人都以不變的速度在環(huán)形跑道路上跑步，如果同時同地出發(fā)，反向而行，每隔2相遇一次；如果同時同地出發(fā)，同向而行，每隔6相遇一次.已知甲比乙跑得快，甲、乙二人每分鐘各跑多少圈？這屬于單一的環(huán)形問題，此類問題有相遇和追及兩種可能。在高中數(shù)學教材中，相遇與追及問題主要出現(xiàn)在解析幾何章節(jié)。2.2史料的選擇與加工汪曉勤教授提出，用于教學的數(shù)學史料的選取原則需要具有：趣味性、可學性、有效性、人文性和科學性。能夠確保數(shù)學史教育價值的最大化，保證數(shù)學史教育價值的產(chǎn)生，以及數(shù)學史料的真實性。考慮到初中學生的認知水平、從小學初次接觸相遇問題到七年期下學期相隔時間較久、連續(xù)學習新課可能導致學生的學習積極性不高等因素，筆者基于數(shù)學史以《九章算術(shù)》盈不足章、意大利數(shù)學家斐波那契《計算之書》為問題史料，通過變式設置與歷史背景來進行本節(jié)課的教學設計。2.2.1《九章算術(shù)》盈不足章在秦漢時期，我國古代數(shù)學教育奠定了堅實的基礎，這一基礎延續(xù)并傳承了以《九章算術(shù)》為代表的數(shù)學教育體系。數(shù)學教材采用了開放式結(jié)構(gòu)，以解決實際應用問題為導向，體現(xiàn)了我國“經(jīng)世致用”的數(shù)學教育理念。教育內(nèi)容體系以算法為核心，注重實用技能的培養(yǎng)。數(shù)字化和模型化的計算工具思想也對我國古代數(shù)學教育的發(fā)展產(chǎn)生了影響?！毒耪滤阈g(shù)》“方程”章中共計18道題目，其中有8道題涉及到二元一次方程組，其中一題最典型：今有上禾七秉,損實一斗,益之下禾二秉，而實一十斗;下禾八秉,益實一斗與上禾二秉，而實一十斗.上、下禾實一秉各幾何?文中“損實”指減，“益實”指加。根據(jù)題意:設上禾每捆打谷斗,下禾每捆打谷斗,則據(jù)題意可得方程組，解為.2.2.2意大利數(shù)學家斐波那契《計算之書》意大利數(shù)學家斐波那契的重要著作是《計算之書》，完成于1225年。該書主要研究了兩個齊次方程：和。斐波那契在書中運用了代數(shù)、幾何、無理數(shù)運算等多種數(shù)學方法。這部著作對后世數(shù)學的發(fā)展產(chǎn)生了深遠的影響，特別是斐波那契數(shù)列的發(fā)現(xiàn)。斐波納契在計算之書第13章中設題：“甲乙二人各有錢幣若干，甲對乙說，如果把你的錢幣的給我，我就有14第納爾；乙對甲說，如果把你的錢幣的給我，我就有17第納爾。問甲、乙各有多少錢？”由題目可設甲的錢幣為，乙的錢幣為，則據(jù)題意可得方程組，解為.斐波那契在計算之書第12章中設題:若甲得乙之7第納爾，則甲的錢是乙的5倍；若乙得甲之5第納爾，則乙的錢是甲的7倍。問甲、乙各有多少錢？由題目可設甲的錢幣為，乙的錢幣為，則據(jù)題意可得方程組，解為.2.2.3相遇與追及問題古代名題相遇與追及問題的數(shù)學研究可以追溯到古代，在古希臘和古印度，人們已經(jīng)開始研究一些簡單的相遇和追及問題。例如，數(shù)學家歐幾里得在其著作《幾何原本》中探討了兩個物體在同一直線上行駛的問題。在中國古代，也有許多關于相遇和追及問題的歷史記載。隨著數(shù)學的發(fā)展，相遇和追及問題的研究逐漸深入。17世紀，瑞士數(shù)學家歐拉在研究一些物理問題時，引入了相遇和追及的概念，并建立了相應的數(shù)學模型。此后，數(shù)學家們對相遇和追及問題的研究逐漸增多，并發(fā)展出了許多解決這類問題的方法。在《九章算術(shù)》盈不足章中有：“今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日長七寸；瓠生其下，蔓日長一尺，問幾何日相逢”，均輸章中有：“今有鳧起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海，今鳧、雁俱起，問幾日相逢”。其次，斐波那契《計算之書》中有3個問題：①塔高100尺，塔底有一蛇，每天向上爬三分之一尺，又向下爬四分之一尺；塔頂另一條蛇，每天向下爬五分之一尺，向上爬六分之一尺。問幾天后兩蛇相遇。②兩只螞蟻相距100步，朝同一點同向而行。第一只螞蟻每天向前三分之一爬步，又向后退四分之一步；第二只螞蟻每天向前爬五分之一步，又向后退六分之一步。問第一只螞蟻幾天后追上第二只螞蟻。③兩船相隔若干距離，第一艘船需行5日，第二艘船需行7日。今兩船同時出發(fā)，問幾日后相遇。2.3基于HPM視角下的教學設計汪曉勤教授通過結(jié)合我國課堂教學特點把眾多分類進行了整合，整理出四種數(shù)學史融入教學的方式：附加式、復制式、順應式、重構(gòu)式。附加式為將數(shù)學家的照片、故事、生平和貢獻等內(nèi)容融入課堂教學，以增強學生對數(shù)學知識的理解和興趣。復制式是把歷史數(shù)學問題、解題方法和數(shù)學思想直接引入課堂，讓學生直接感受古代數(shù)學。順應式為在不影響正常教學活動的前提下，在課堂上展示經(jīng)過改編的數(shù)學問題，或選擇合適的歷史文獻，對問題進行重新改編，豐富教材內(nèi)容，提高教學效果。重構(gòu)式是借鑒數(shù)學知識的發(fā)生發(fā)展過程，展現(xiàn)數(shù)學知識誕生過程。2.3.1基于HPM視角——“用二元一次方程組解相遇與追及問題”的教學設計1.教學目標根據(jù)實際問題列出并解決方程組；分析古代名題，找出未知數(shù)和正確的等量關系；激發(fā)學生對于相關數(shù)學史的興趣；能夠通過數(shù)學史學習本節(jié)知識。2.教學重難點教學重點：分析具體問題列二元一次方程組教學難點：找出正確的等量關系3.教學過程（1）創(chuàng)設情景，課堂引入教師介紹斐波那契的生平和著作，并提出相關問題。師：今天給同學們介紹一個數(shù)學家斐波那契。斐波那契在1202年出版了他的著作《計算之書》。他對數(shù)學做出了重要貢獻，他的名字與許多數(shù)學概念和定理緊密相連，例如斐波那契數(shù)列、斐波那契矩陣等。斐波那契在他的著作中不僅提出了這個問題，還給出了詳細的計算方法。斐波那契出生在意大利的托斯卡納地區(qū)，后來在意大利和法國擔任過許多重要的數(shù)學和科學職位。他對數(shù)學和科學的熱情使他在那個時代取得了很高的成就。除了兔子繁殖問題，斐波那契還研究了許多其他數(shù)學問題，如代數(shù)、幾何和三角學等。雖然斐波那契在數(shù)學領域做出了巨大貢獻，但他的生活并不富裕。他在晚年時曾擔任法國國王的數(shù)學顧問，但由于與國王意見不合，他最終被解雇。盡管如此，斐波那契仍然繼續(xù)進行數(shù)學研究，并出版了許多重要的數(shù)學著作。（使用PPT展示斐波那契的照片、生平和成就）師：我們一起來看看斐波那契的《計算之書》有哪些有趣的題目。①塔高100尺，塔底有一蛇，每天向上爬三分之一尺，又向下爬四分之一尺；塔頂另一條蛇，每天向下爬五分之一尺，向上爬六分之一尺。問幾天后兩蛇相遇。師：給大家一點時間試著用所學的知識解答。學：設相遇時間為天，可列方程，解為.師：這是一個一元一次方程，在題目中有兩條蛇，分別在塔頂和塔底，它們的運動方向整體上是相互前進的，所以它們會相遇，相遇的時間是相同的，所以這里只有一個未知量，我們設相遇時間為天，列方程即可解答。師：大家發(fā)現(xiàn)這道題和一種題型很像？是什么？學：相遇問題。師：老師改編一下這道題，請同學們再動手試試。②塔高100尺，塔底蛇和塔頂蛇相向而爬，5天后它們相遇了；若它們同時從塔頂向塔底爬，8天后它們蛇追到了蛇。蛇的速度大于蛇，請問兩條蛇的速度分別是每天多少尺？學：設蛇的速度為，蛇的速度為，可列方程組，解為.師：這道題就是典型的相遇與追及問題，這類題目我們一定要先分析運動情況。師：本題我們是用二元一次方程組來解答的，通過分析題目，找出兩個未知量及正確的等量關系，列出方程組進而解答。在前幾節(jié)課我們學習了二元一次方程組的概念及解法，這節(jié)課需要同學們掌握如何使用二元一次方程組來解決實際問題。（2）新知講授，掌握重難點師：前面我們了解了外國的數(shù)學家及著作，請問同學們知道中國的古代數(shù)學著作嗎？學：《九章算術(shù)》。師：我們一起來學一一下在《九章算術(shù)》中有什么我們可以解決的問題。③在《九章算術(shù)》盈不足章中有：“今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日長七寸；瓠生其下，蔓日長一尺，問幾何日相逢”，均輸章中有：“今有鳧起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海，今鳧、雁俱起，問幾日相逢”。這些問題可以直接用一元一次方程來解，那么老師再進行一個改編。④南海距北海白尺，今有鳧起南海，雁起北海，七日兩者相逢；今鳧、雁俱起，九日雁追及鳧。問兩者速度。學：設鳧速度為，雁速度為。列方程組為，解為.讓學生總結(jié)二元一次方程組解題的步驟。（3）課堂練習，鞏固強化師：接下來我們通過幾道練習鞏固一下所學的知識。人教課本P111頁綜合運用第6題：甲、乙二人都以不變的速度在環(huán)形跑道路上跑步，如果同時同地出發(fā)，反向而行，每隔2相遇一次；如果同時同地出發(fā)，同向而行，每隔6相遇一次.已知甲比乙跑得快，甲、乙二人每分鐘各跑多少圈？解：設甲速度為，乙速度為，列方程組，解得.斐波納契在計算之書第十三章中設題：“甲乙二人各有錢幣若干，甲對乙說，如果把你的錢幣的給我，我就有14第納爾；乙對甲說，如果把你的錢幣的給我，我就有17第納爾。問甲、乙各有多少錢？”由題目可設甲的錢幣為，乙的錢幣為，則據(jù)題意可得方程組，解為.斐波那契在計算之書第12章中設題:若甲得乙之7第納爾，則甲的錢是乙的5倍；若乙得甲之5第納爾，則乙的錢是甲的7倍。問甲、乙各有多少錢？由題目可設甲的錢幣為，乙的錢幣為，則據(jù)題意可得方程組，解為.《九章算術(shù)》盈不足章：今有上禾七秉,損實一斗,益之下禾二秉，而實一十斗;下禾八秉,益實一斗與上禾二秉，而實一十斗.上、下禾實一秉各幾何?（這里的“損實”指的是減去，“益實”指的是加上）設上禾每捆打谷斗,下禾每捆打谷斗,則據(jù)題意可得方程組，解為.（4）課堂小結(jié)①用二元一次方程組解決實際問題的步驟是什么？②通過對古代用方程組解題有什么想法？2.3.2教學設計的反思在課堂導入中使用了附加式的教學方法,引入了意大利數(shù)學家斐波那契及其著作《計算之書》，加深了學生對數(shù)學背景的認識。多次使用復制式呈現(xiàn)古代名題有助于學生更好地體會其中的數(shù)學思想和方法，從而更好地理解和掌握二元一次方程組的解題與應用。針對學生的實際情況，使用順應式改編原文為適合學生的題目，更加符合學生的認知水平和學習需求，一定程度上提升了教學效果。本節(jié)課以數(shù)學史為融入點，用相遇與追及問題為主要題型進行二元一次方程組的應用的教學設計。引導學生運用所學知識解決實際應用問題，有利于激發(fā)學生的興趣和潛力，加深對知識點的理解和記憶。未來，我需要進一步探索適合學生學習的教學方法和方案，不斷完善課堂教學，提高教學質(zhì)量和效果。2.4中學教師訪談為了更好的了解中學教師基于HPM視角教學的情況，學生在學習這節(jié)知識時可能遇到的困難的情況以及二元一次方程組與相遇與追及問題的適配度，對?？谑械膬晌怀踔袛?shù)學教師進行了訪談，為本研究的必要性提供了支撐。在進行教學設計之后，我找到兩位中學數(shù)學教師進行了訪談，為筆者的教學設計的效果提供一定的反饋。我將兩位教師的回答進行整理，內(nèi)容如下：問1：平時的課堂中您融入數(shù)學史內(nèi)容嗎？為什么？根據(jù)吳老師的回答，他平時會在教學中融入數(shù)學史的內(nèi)容，主要是根據(jù)學生對數(shù)學的了解來進行融入。在教材中一些重要的定理會有它的歷史背景，時間允許的情況下會做一些關于數(shù)學史的拓展。同時也會按照課標的要求來進行數(shù)學史的課堂融入。除此之外，在進行教學的時候，適當?shù)娜谌霐?shù)學史、數(shù)學的背景故事，還可以提高學生對課堂學習的興趣。荊老師回答：會在平時的課堂中加入數(shù)學史，特別是在華師大版教材中的數(shù)學活動，需要介紹一些數(shù)學家的時候是一定會給學生去介紹的，另外自己也會額外的閱讀數(shù)學知識的背景故事，增加個人的知識儲備。數(shù)學史融入課堂在增添課堂教學內(nèi)容趣味性的同時，也可以給學生拓展新的視野，讓學生知其然知其所以然，數(shù)學這個理性的學科最好能夠從根本上去理解它，知道它的來源，才讓學生能夠有本溯源，真正理解、學習。問2：您認為在實際問題與二元一次方程組這一節(jié)，學生在學習這節(jié)內(nèi)容時可能遇到的困難呢？吳老師認為，二元一次方程組的應用這一塊的教學，主要在于怎么把實際應用問題通過數(shù)學建模，用數(shù)學這個工具去解決實際問題。如何將實際具體的問題來進行應用，這個是學生學習的一個主要難點。關鍵在于問題的轉(zhuǎn)化，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題去解決，這里是學生可能遇到的最大的困難。荊老師回答：二元一次方程組的應用，重點在于應用，這一塊其實難點就是找到兩個等量關系。有一些難題，比較容易會找到一個等量關系，而第2個等量關系需要學生動腦去探索出來。問題3：您認為相遇與追及問題這類題型適合與二元一次方程組的應用結(jié)合進行教學嗎？在這個問題上，吳老師認為相遇與追及問題這一類的題型在初中很少有涉及到，更多是在小學有涉及到這一類的題型。在海南初中數(shù)學教學這一塊都很少有涉及到這類題型。海南中考近10年的題目中都沒有這一類的題型。若初中有涉及到這類的題型，更多是在一些課外的練習當中。所以也沒有過把這一類題型與二元一次方程組來進行結(jié)合教學的先例。根據(jù)吳老師的回答，他是認為兩者不適合結(jié)合教學的。荊老師回答：適合的，只要是存在兩個等量關系的實際問題，其實用二元一次方程組來解題還是比較直觀的。如果要是用一個等量關系來表示，另一個等量關系來列方程的話，也就是用一元一次方程來解決也是可以的。教材配套的同步練習冊里就有一道題是既有相遇問題，又有追及問題，兩個等量關系恰好包含了相遇和追擊，用二元一次方程組來解決，非常的簡便，如果要用一元一次方程的話是很復雜的。兩位老師都具有十多年的初中數(shù)學教學經(jīng)驗，區(qū)別在于吳老師是公立學校的教師，而荊老師在私立學校就職。筆者分別在兩位教師的帶領下進行過兩個月實習，對兩位教師的上課模式與風格有一定的了解。兩位老師都是優(yōu)秀的重點班的教師，在教學上的要求偏向不太一樣，吳老師對于海南中考的考點非常熟悉，在課堂上也是重點要求學生們掌握主要的考點重難點，對于課標的把控十分準確；荊老師所在的私立學校具有一種新鮮的教學模式，更偏向鼓勵學生自行探索知識點，在課堂上學生有很多機會上臺講解，表達學生自己的想法。由以上訪談內(nèi)容得出：目前的教學方式數(shù)學史融入課堂不是主流，主要是在教材或者課標的要求下完成，教師會在有余裕的情況下會給學生進行一些課外的知識補充。（1）對于學生在二元一次方程組的應用的學習，不能找出正確等量關系和難以轉(zhuǎn)化具體問題為數(shù)學問題是學生主要面臨的困難；（2）從內(nèi)容上看用二元一次方程組寫相遇及追及問題是可行的。（3）有必要將數(shù)學史融入到方程（組）的教學。3數(shù)學史融入課堂教學的價值1.激發(fā)學生興趣：數(shù)學史融入課堂數(shù)有助于學生更全面地了解數(shù)學知識的來源和發(fā)展歷程，激發(fā)他們的學習興趣。2.培養(yǎng)學生的思維方式：數(shù)學史蘊含著豐富的哲學思想和方法論，如歸納、演繹、類比等，這些思維方式有助于培養(yǎng)學生的邏輯思維和創(chuàng)新能力。學生