2023-2024學(xué)年山西省長(zhǎng)治市上黨好教育聯(lián)盟高一上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山西省長(zhǎng)治市上黨好教育聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意知，則．故選：A．2.當(dāng)時(shí)，的最小值為（）A. B.1 C.2 D.【答案】C【解析】由，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為2．故選：C．3.函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由函數(shù)，令，解得，令，可得，所以函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心有，其它不是對(duì)稱(chēng)中心.故選：B．4.若為奇函數(shù)，則的值為（）A. B.0 C.1 D.2【答案】D【解析】由函數(shù)為奇函數(shù)，可得，可得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，，滿(mǎn)足，符合題意，所以.故選：D.5.“”是“函數(shù)的定義域?yàn)椤钡模ǎ〢.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由于函數(shù)的定義域?yàn)?，則在上恒成立，故滿(mǎn)足，解得，由成立得一定成立，反之成立時(shí)，不一定成立，所以“”是“函數(shù)的定義域?yàn)椤钡谋匾怀浞謼l件.故選：B.6.已知，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，即，解方程得或（舍?因?yàn)?，所以，，所?故選：D.7.高斯是德國(guó)著名數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱(chēng)號(hào)，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則稱(chēng)為高斯函數(shù)．例如，，已知函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，；，當(dāng)時(shí)，，；此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，，故，則的值域?yàn)椋蔬x：A．8.已知函數(shù)在區(qū)間上恰有一個(gè)最大值點(diǎn)與一個(gè)最小值點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，有，而函數(shù)在區(qū)間上恰有一個(gè)最大值點(diǎn)與一個(gè)最小值點(diǎn)，因此，可得．故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說(shuō)法中正確的是（）A.B.第一象限角都是銳角C.在半徑為2的圓中，弧度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為D.終邊在直線(xiàn)上的角的集合是【答案】AC【解析】，A正確；角也是第一象限角，不是銳角，B錯(cuò)誤；在半徑為圓中，弧度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為，C正確；終邊在上的角的集合是，D錯(cuò)誤．故選：AC.10.若，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】由知，，則，A正確；取滿(mǎn)足，此時(shí)，，BD錯(cuò)誤；由，得，C正確.故選：AC.11.已知，則下列說(shuō)法正確是（）A. B.C.若，則 D.若，則【答案】BCD【解析】由題意得，A錯(cuò)誤，B正確；當(dāng)時(shí)，，C正確；若，則，D正確．故選：BCD．12.已知正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】由題目可知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故A正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故B錯(cuò)誤；因?yàn)椋瑒t，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故C正確；當(dāng)時(shí)，，D錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_______________.【答案】【解析】令，則或，解得或，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.14.已知函數(shù)，則不等式的解集為_(kāi)____________．【答案】【解析】在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則由得，解得，即不等式的解集為．故答案為：.15.已知函數(shù)的最大值為2，則_____________．【答案】6【解析】因?yàn)楹瘮?shù)由與復(fù)合而成，而在定義域上單調(diào)遞增，所以當(dāng)取最大值時(shí)，函數(shù)取得最大值，由二次函數(shù)的性質(zhì)易知當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以，解得．故答案為：.16.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若是偶函數(shù)，則_____________．【答案】【解析】由函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則，又由是偶函數(shù)，則有，解得，因?yàn)?，可得．故答案為?四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟．17.已知命題．（1）寫(xiě)出命題的否定；（2）判斷命題的真假，并說(shuō)明理由．解：（1）由命題，可得命題的否定為.（2）命題為假命題，理由如下：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，故命題為假命題．18.已知．（1）若為銳角，求的值；（2）求的值．解：（1）由，得，因?yàn)殇J角，，所以，可得.（2）由得，則．19.已知，.（1）當(dāng)時(shí)，求的最小值；（2）當(dāng)時(shí)，求的最小值.解：（1）當(dāng)時(shí)，，即，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為9.（2）當(dāng)時(shí)，，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為5.20.某大學(xué)科研小組自2023年元旦且開(kāi)始監(jiān)測(cè)某實(shí)驗(yàn)水域中綠球藻的生長(zhǎng)面積的變化情況，并測(cè)得最初綠球藻的生長(zhǎng)面積為（單位：），此后每隔一個(gè)月（每月月底）測(cè)量一次，一月底測(cè)得綠球藻的生長(zhǎng)面積比最初多了，二月底測(cè)得綠球藻的生長(zhǎng)面積為，科研小組成員發(fā)現(xiàn)該水域中綠球藻生長(zhǎng)面積的增長(zhǎng)越來(lái)越慢，綠球藻生長(zhǎng)面積（單位：）與時(shí)間（單位：月）的關(guān)系有兩個(gè)函數(shù)模型可供選擇，一個(gè)是；另一個(gè)是，記2023年元旦最初測(cè)量時(shí)間的值為0.（1）請(qǐng)你判斷哪個(gè)函數(shù)模型更適合，說(shuō)明理由，并求出該函數(shù)模型的解析式；（2）該水域中綠球藻生長(zhǎng)面積在幾月底達(dá)到其最初的生長(zhǎng)面積的7倍？解：（1）函數(shù)模型在上都是增函數(shù)，的函數(shù)值增加得越來(lái)越快，而的函數(shù)值增加得越來(lái)越慢，因?yàn)樵撍蛑芯G球藻生長(zhǎng)面積的增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢，所以第二個(gè)函數(shù)模型滿(mǎn)足要求，由題意知，解得，所以.（2）由題意，解得，所以該水域中綠球藻生長(zhǎng)的面積在9月底達(dá)到其最初的生長(zhǎng)面積的7倍.21已知函數(shù)滿(mǎn)足.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）求函數(shù)的值域.解：（1），由題意有，化簡(jiǎn)得，解得（舍去）或，故.（2）由（1）可知，所以，令（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以所求函數(shù)為，由函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即函數(shù)的值域?yàn)?22.函數(shù)的部分圖象如圖所示，該圖象與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)為最高點(diǎn)，的面積為．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若對(duì)任意的，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）由題意可知：的面積，可得，所以周期，則，由，得，又，于是，所以.（2）由，則，得，即．由，得，即在上恒成立，亦即，因?yàn)?，所以，解得，即?shí)數(shù)的取值范圍是．山西省長(zhǎng)治市上黨好教育聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意知，則．故選：A．2.當(dāng)時(shí)，的最小值為（）A. B.1 C.2 D.【答案】C【解析】由，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為2．故選：C．3.函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由函數(shù)，令，解得，令，可得，所以函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心有，其它不是對(duì)稱(chēng)中心.故選：B．4.若為奇函數(shù)，則的值為（）A. B.0 C.1 D.2【答案】D【解析】由函數(shù)為奇函數(shù)，可得，可得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，，滿(mǎn)足，符合題意，所以.故選：D.5.“”是“函數(shù)的定義域?yàn)椤钡模ǎ〢.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由于函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t在上恒成立，故滿(mǎn)足，解得，由成立得一定成立，反之成立時(shí)，不一定成立，所以“”是“函數(shù)的定義域?yàn)椤钡谋匾怀浞謼l件.故選：B.6.已知，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，即，解方程得或（舍?因?yàn)?，所以，，所?故選：D.7.高斯是德國(guó)著名數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱(chēng)號(hào)，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則稱(chēng)為高斯函數(shù)．例如，，已知函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，；，當(dāng)時(shí)，，；此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，，故，則的值域?yàn)椋蔬x：A．8.已知函數(shù)在區(qū)間上恰有一個(gè)最大值點(diǎn)與一個(gè)最小值點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，有，而函數(shù)在區(qū)間上恰有一個(gè)最大值點(diǎn)與一個(gè)最小值點(diǎn)，因此，可得．故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說(shuō)法中正確的是（）A.B.第一象限角都是銳角C.在半徑為2的圓中，弧度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為D.終邊在直線(xiàn)上的角的集合是【答案】AC【解析】，A正確；角也是第一象限角，不是銳角，B錯(cuò)誤；在半徑為圓中，弧度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為，C正確；終邊在上的角的集合是，D錯(cuò)誤．故選：AC.10.若，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】由知，，則，A正確；取滿(mǎn)足，此時(shí)，，BD錯(cuò)誤；由，得，C正確.故選：AC.11.已知，則下列說(shuō)法正確是（）A. B.C.若，則 D.若，則【答案】BCD【解析】由題意得，A錯(cuò)誤，B正確；當(dāng)時(shí)，，C正確；若，則，D正確．故選：BCD．12.已知正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】由題目可知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故A正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故C正確；當(dāng)時(shí)，，D錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_______________.【答案】【解析】令，則或，解得或，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.14.已知函數(shù)，則不等式的解集為_(kāi)____________．【答案】【解析】在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則由得，解得，即不等式的解集為．故答案為：.15.已知函數(shù)的最大值為2，則_____________．【答案】6【解析】因?yàn)楹瘮?shù)由與復(fù)合而成，而在定義域上單調(diào)遞增，所以當(dāng)取最大值時(shí)，函數(shù)取得最大值，由二次函數(shù)的性質(zhì)易知當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以，解得．故答案為：.16.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若是偶函數(shù)，則_____________．【答案】【解析】由函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則，又由是偶函數(shù)，則有，解得，因?yàn)?，可得．故答案為?四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟．17.已知命題．（1）寫(xiě)出命題的否定；（2）判斷命題的真假，并說(shuō)明理由．解：（1）由命題，可得命題的否定為.（2）命題為假命題，理由如下：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，故命題為假命題．18.已知．（1）若為銳角，求的值；（2）求的值．解：（1）由，得，因?yàn)殇J角，，所以，可得.（2）由得，則．19.已知，.（1）當(dāng)時(shí)，求的最小值；（2）當(dāng)時(shí)，求的最小值.解：（1）當(dāng)時(shí)，，即，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為9.（2）當(dāng)時(shí)，，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為5.20.某大學(xué)科研小組自2023年元旦且開(kāi)始監(jiān)測(cè)某實(shí)驗(yàn)水域中綠球藻的生長(zhǎng)面積的變化情況，并測(cè)得最初綠球藻的生長(zhǎng)面積為（單位：），此后每隔一個(gè)月（每月月底）測(cè)量一次，一月底測(cè)得綠球藻的生長(zhǎng)面積比最初多了，二月底測(cè)得綠球藻的生長(zhǎng)面積為，科研小組成員發(fā)現(xiàn)該水域中綠球藻生長(zhǎng)面積的增長(zhǎng)越來(lái)越慢，綠球藻生長(zhǎng)面積（單位：）與時(shí)間（單位：月）的關(guān)系有兩個(gè)函數(shù)模型可供選擇，一個(gè)是；另一個(gè)是，記2023年元旦最初測(cè)量時(shí)間的值為0.（1）請(qǐng)你判斷哪個(gè)函數(shù)模型更適合，說(shuō)明理由，并求出該函數(shù)模型的解析式；（2）該水域中綠球藻生長(zhǎng)面積在幾月底達(dá)到其最初的生長(zhǎng)面積的7倍？解：（1）函數(shù)模型在上都是增函數(shù)，的函數(shù)值增加得越來(lái)越快，而的函數(shù)值增加得越來(lái)越慢，因?yàn)樵撍蛑芯G球藻生長(zhǎng)面積的增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢，所以第二個(gè)函數(shù)模型滿(mǎn)足要求，由題意知，解得，所以.（2）由題意，解得，所以該水域中綠球藻生長(zhǎng)的面積在9月底達(dá)到其