《電子設(shè)備可靠性工程》課件第3章

第3章

典型系統(tǒng)的可靠性分析3.1可靠性框圖

3.2串聯(lián)系統(tǒng)的可靠性

3.3并聯(lián)系統(tǒng)的可靠性3.4網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)

3.1可靠性框圖

1.流體系統(tǒng)

圖3－1（a）表示控制管中流體的兩個(gè)閥門(mén)1和2，在結(jié)構(gòu)上它們是串聯(lián)在一起的。

如果其功能是為了使液體流通，則兩個(gè)閥門(mén)有任何一個(gè)打不開(kāi)（關(guān)閉），系統(tǒng)就不能正常工作，其可靠性框圖（功能模型）表示為一個(gè)串聯(lián)系統(tǒng)，如圖3－1（b）所示。

如果該結(jié)構(gòu)的功能是為了截住流體，則任一閥門(mén)能關(guān)閉，就能保證系統(tǒng)的正常，只有兩個(gè)閥門(mén)均不能關(guān)閉時(shí)，系統(tǒng)才失效，所以其可靠性框圖表示為一個(gè)并聯(lián)系統(tǒng)，如圖3－1（c）所示。圖3－1流體系統(tǒng)

2.電容器系統(tǒng)

電路中經(jīng)常使用并聯(lián)電容器，如圖3－2（a）所示，對(duì)于這個(gè)系統(tǒng)，從可靠性角度來(lái)討論就有兩種分析結(jié)果。

如果所設(shè)計(jì)的系統(tǒng)在電容器短路時(shí)失效，顯然，任何一個(gè)電容器失效均會(huì)導(dǎo)致該電路系統(tǒng)失效，從功能關(guān)系來(lái)看，該電容器系統(tǒng)的可靠性框圖應(yīng)表示為一個(gè)串聯(lián)系統(tǒng)，如圖3－2（b）所示。

若系統(tǒng)的失效模式定義為開(kāi)路，電容器以開(kāi)路失效為其失效模式，則此時(shí)系統(tǒng)的可靠性框圖就表示為一個(gè)并聯(lián)系統(tǒng)，如圖3－2（c）所示。圖3－2電容器系統(tǒng)

3.振動(dòng)系統(tǒng)

振動(dòng)系統(tǒng)的力學(xué)模型如圖3－3（a）所示。振動(dòng)系統(tǒng)中各要素有：彈簧剛度K、系統(tǒng)阻尼C、外摩擦f、外載荷F?？梢愿鶕?jù)其力學(xué)特性，利用各要素間的相互關(guān)系，建立振動(dòng)方程，也就是系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。從力學(xué)模型看，各要素之間是并聯(lián)關(guān)系，但從可靠性角度看，系統(tǒng)中任一要素失效，系統(tǒng)即喪失工作能力，因此其功能邏輯關(guān)系為串聯(lián)形式，如圖3－3（b）所示。圖3－3振動(dòng)系統(tǒng)

3.2串聯(lián)系統(tǒng)的可靠性

串聯(lián)系統(tǒng)是指系統(tǒng)中只要有一個(gè)單元失效就會(huì)導(dǎo)致整個(gè)系統(tǒng)失效的系統(tǒng)，或者說(shuō)只有當(dāng)系統(tǒng)中所有單元都正常工作時(shí)，系統(tǒng)才能正常工作的系統(tǒng)。

串聯(lián)系統(tǒng)的可靠性框圖如圖3－4所示。該系統(tǒng)由n個(gè)相互獨(dú)立的單元組成，很容易看出，若要求整個(gè)系統(tǒng)正常工作，則各單元都必須正常工作。圖3－4串聯(lián)系統(tǒng)的可靠性框圖假設(shè)第i個(gè)單元的壽命為

，可靠度為

，根據(jù)串聯(lián)系統(tǒng)的定義，系統(tǒng)壽命

為于是系統(tǒng)的可靠度Rs(t)為（3-1）

例如圖3－5所示的某一測(cè)量雷達(dá)系統(tǒng)，以分系統(tǒng)為單元，其可靠度可表示為（3-2）概率密度函數(shù)為（3-3）

下面從式（3－1）出發(fā)開(kāi)始討論，得出一些等效的關(guān)系式來(lái)。易得到系統(tǒng)失效分布Fs(t)與各單元失效分布Fi(t)的關(guān)系為圖3－5所示的某一測(cè)量雷達(dá)系統(tǒng)當(dāng)?shù)趇個(gè)單元的失效率為λi(t)時(shí)，系統(tǒng)的可靠度為（3-4）系統(tǒng)失效率

為4（3-5）式(3－5)表明，由獨(dú)立單元組成的串聯(lián)系統(tǒng)的失效率是所有單元失效率之和。

當(dāng)n個(gè)單元（部件）的壽命服從λi(t)=λi（常數(shù)）的指數(shù)分布時(shí)，系統(tǒng)的可靠度和平均壽命分別為（3-6）（3-7）特殊地，若各單元失效率相等，即當(dāng)

時(shí)，系統(tǒng)的失效率和可靠度分別為式中:定義

為單元的平均失效時(shí)間

,。從上面的分析可見(jiàn)：

（1）串聯(lián)系統(tǒng)的可靠度比組成系統(tǒng)的每個(gè)單元的可靠度低；

（2）串聯(lián)系統(tǒng)的平均壽命MTTFs比單元的MTTFi要下降；

（3）串聯(lián)系統(tǒng)的失效率

比單元失效率

增大。

例3－1某系統(tǒng)由三個(gè)單元串聯(lián)構(gòu)成，若各單元的平均失效時(shí)間（單位：h）為250，100，350，求系統(tǒng)的平均失效時(shí)間，并比較系統(tǒng)和各單元在30h的可靠度（設(shè)各單元均服從指數(shù)分布）。

解系統(tǒng)的平均失效時(shí)間為當(dāng)t=30h時(shí)，則因此有

例3－2

10個(gè)獨(dú)立和相同的分系統(tǒng)組成一個(gè)串聯(lián)系統(tǒng)。每個(gè)分系統(tǒng)的失效時(shí)間服從指數(shù)分布，其MTTFi(i=1，2，…，10)為2000h。假定在時(shí)刻t=0時(shí)系統(tǒng)開(kāi)始工作，計(jì)算當(dāng)t=50h時(shí)該串聯(lián)系統(tǒng)的可靠度。 3.3并聯(lián)系統(tǒng)的可靠性

并聯(lián)系統(tǒng)又稱(chēng)并聯(lián)冗余系統(tǒng)。為了使系統(tǒng)工作更保險(xiǎn)可靠，往往在系統(tǒng)的工作過(guò)程中使所需要的零件、部件有一定的儲(chǔ)備，以用來(lái)改進(jìn)系統(tǒng)可靠性。為了完成某一工作目的所設(shè)置的設(shè)備除了滿(mǎn)足運(yùn)行的需要外，還有一定冗余的儲(chǔ)備，就稱(chēng)為并聯(lián)冗余系統(tǒng)。例如將某些控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)成兩套并聯(lián)系統(tǒng)，或設(shè)計(jì)成同時(shí)具有機(jī)械式、電氣式和液壓式的系統(tǒng)，只要有一套在正常工作，就能維持系統(tǒng)正常工作。

并聯(lián)系統(tǒng)可分為工作儲(chǔ)備系統(tǒng)和非工作儲(chǔ)備系統(tǒng)，它們又分別稱(chēng)為平行冗余和開(kāi)關(guān)系統(tǒng)。

工作儲(chǔ)備系統(tǒng)是使用多個(gè)零部件來(lái)完成同一任務(wù)的組合。在該系統(tǒng)中，所有的單元一開(kāi)始就同時(shí)工作，但其中任一個(gè)單元（零部件）都能單獨(dú)地支持整個(gè)系統(tǒng)工作，也就是說(shuō)，在系統(tǒng)中只要不是全部單元都失效，系統(tǒng)就可以正常運(yùn)行。有的工作儲(chǔ)備系統(tǒng)要求同時(shí)有兩個(gè)以上的單元正常工作，系統(tǒng)才能正常工作。例如飛機(jī)有四個(gè)發(fā)動(dòng)機(jī)，只要有兩個(gè)發(fā)動(dòng)機(jī)正常工作就能飛行，這就稱(chēng)為“n中取k”或“表決”系統(tǒng)。

非工作儲(chǔ)備系統(tǒng)是指系統(tǒng)中有一個(gè)或多個(gè)單元處于工作狀態(tài)，其余單元?jiǎng)t處于“待命”狀態(tài)，當(dāng)工作的某單元出現(xiàn)故障后，處于“待命”狀態(tài)的單元立即轉(zhuǎn)入工作狀態(tài)。轉(zhuǎn)入工作狀態(tài)時(shí)，必須經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)換開(kāi)關(guān)，而這時(shí)就存在一個(gè)能否及時(shí)發(fā)現(xiàn)故障的監(jiān)測(cè)問(wèn)題和轉(zhuǎn)換開(kāi)關(guān)本身的可靠性問(wèn)題。那么，在這里所說(shuō)的“理想”開(kāi)關(guān)是指開(kāi)關(guān)本身完全可靠，不發(fā)生故障，且監(jiān)測(cè)可靠安全。

除常見(jiàn)的串、并聯(lián)系統(tǒng)外，還有網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)和其他更復(fù)雜的系統(tǒng)，將在本章后兩節(jié)介紹。

綜上所述，可將系統(tǒng)分類(lèi)如下：

一般來(lái)說(shuō)，非工作儲(chǔ)備系統(tǒng)的可靠度要高于工作儲(chǔ)備系統(tǒng)。這是因?yàn)殡m然工作儲(chǔ)備系統(tǒng)的每個(gè)單元均在不滿(mǎn)負(fù)荷狀態(tài)下運(yùn)行，但它們畢竟是在運(yùn)行，設(shè)備的損耗總是不可避免地存在。而非工作儲(chǔ)備系統(tǒng)就不存在這個(gè)問(wèn)題，但非工作儲(chǔ)備系統(tǒng)存在著何時(shí)啟用“待命單元”的監(jiān)測(cè)及“待命單元”啟動(dòng)投入運(yùn)行的“開(kāi)關(guān)”可靠性問(wèn)題。因此，“非工作儲(chǔ)備”比“工作儲(chǔ)備”可靠性高的結(jié)論是假定單元在儲(chǔ)備期不失效，并且在系統(tǒng)監(jiān)測(cè)故障完全準(zhǔn)確及時(shí)和轉(zhuǎn)換開(kāi)關(guān)“理想”的條件下得出的。實(shí)際上，開(kāi)關(guān)的可靠度問(wèn)題總是存在的。3.3.1純并聯(lián)系統(tǒng)

圖3－6為n個(gè)相互獨(dú)立的單元組成的純并聯(lián)系統(tǒng)。在圖示系統(tǒng)中，只要有一個(gè)單元正常工作，系統(tǒng)就能正常運(yùn)行；反之，只有當(dāng)系統(tǒng)的n個(gè)單元全部失效，系統(tǒng)才失效。

設(shè)第i個(gè)單元的壽命為ξi，可靠度為Ri(t)(i=1，2，…，n)，并已知ξ1，ξ2，…，ξn相互獨(dú)立。在初始時(shí)刻t=0，所有單元都是新的，且同時(shí)開(kāi)始工作，由定義知，純并聯(lián)（通常稱(chēng)并聯(lián)）系統(tǒng)的壽命ξ在各單元壽命ξi中是最大者，即圖3－6純并聯(lián)系統(tǒng)則系統(tǒng)的可靠度Rs(t)為可得系統(tǒng)的失效分布為（3－9）即并聯(lián)系統(tǒng)的不可靠度等于各單元不可靠度的連乘積。系統(tǒng)的失效分布密度為＝

例3-3

由四個(gè)零件A，B，C，D組成的工作儲(chǔ)備系統(tǒng)，四個(gè)零件的可靠度分別為RA=0.9，RB=0.8，RC=0.7，RD=0.6，求該系統(tǒng)的可靠度Rs。

解根據(jù)式（3-8）得：由結(jié)果可以看出，工作儲(chǔ)備系統(tǒng)將大大提高系統(tǒng)的可靠度。

例3－4已知可靠度相同的三單元并聯(lián)工作系統(tǒng)，每個(gè)單元的平均壽命為2500h，試確定使系統(tǒng)可靠度達(dá)到0.9962所允許的系統(tǒng)工作時(shí)間。

即使系統(tǒng)可靠度滿(mǎn)足要求的系統(tǒng)工作時(shí)間為424.15h。3.3.2串并聯(lián)系統(tǒng)

如圖3－7所示，若各單元的可靠度函數(shù)分別為R

ij(t)(i=1，2，…，n；j=1，2，…，mi)，且所有單元壽命都相互獨(dú)立，則按串聯(lián)和并聯(lián)公式得

圖3－7串并聯(lián)系統(tǒng)示意圖3.3.3并串聯(lián)系統(tǒng)

如圖3－8所示，若各單元的可靠度函數(shù)分別為Rij(t)(i

=1，2，…，m；j=1，2，…，ni)，且所有單元壽命都相互獨(dú)立，則同樣依串聯(lián)和并聯(lián)公式得圖3-8并串聯(lián)系統(tǒng)示意圖圖3－9復(fù)合系統(tǒng)可靠性框圖

設(shè)圖3－9中各單元相互獨(dú)立，且可靠度均為R(t)，則系統(tǒng)可靠度為

從串、并聯(lián)系統(tǒng)的討論可知，對(duì)串聯(lián)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，元器件的可靠性水平及元器件數(shù)目的多少是系統(tǒng)可靠性的決定因素，故為提高串聯(lián)系統(tǒng)的可靠度，必須盡量減少串聯(lián)元件數(shù)并提高每個(gè)元件的可靠度。由圖3－10(a)可知，隨元件可靠度的提高，系統(tǒng)可靠度的增量變小。

通常認(rèn)為并聯(lián)系統(tǒng)可提高系統(tǒng)的可靠度，但這也是有一定限度的。由圖3－10(b)可以看出，對(duì)于并串聯(lián)系統(tǒng)，過(guò)多增加并聯(lián)支路數(shù)是無(wú)效的，當(dāng)m>4以后，系統(tǒng)可靠度的增量很有限。

于系統(tǒng)配置來(lái)講，要合理利用并聯(lián)冗余的優(yōu)點(diǎn)，又要綜合考慮其性能與成本的影響，特別對(duì)于機(jī)械系統(tǒng)，設(shè)計(jì)并聯(lián)系統(tǒng)通常使其結(jié)構(gòu)復(fù)雜化，且價(jià)格較昂貴。故采用并聯(lián)結(jié)構(gòu)時(shí)更應(yīng)慎重。圖3－10元件數(shù)與系統(tǒng)可靠度的關(guān)系

例3－5如圖3－11所示的由六個(gè)單元組成的系統(tǒng)，每個(gè)單元的可靠度相同，即R=0.9，試確定每個(gè)系統(tǒng)的可靠度并比較之。圖3－11六單元組成的系統(tǒng)解

從計(jì)算結(jié)果可以看出，同樣的六個(gè)元件，不同的配置下其可靠度相差很大，顯然串并聯(lián)系統(tǒng)（見(jiàn)圖3－11(d)）的系統(tǒng)可靠度最高。3.3.4

n中取k（表決）系統(tǒng)

n中取k系統(tǒng)用符號(hào)k/n(G)表示。它是這樣一種系統(tǒng)：在并聯(lián)的n個(gè)單元中，至少有k個(gè)單元正常工作時(shí)，系統(tǒng)才正常工作。顯然，n/n(G)系統(tǒng)為n單元串聯(lián)系統(tǒng)，1/n(G)系統(tǒng)為n單元純并聯(lián)系統(tǒng)。例如由總數(shù)為n的硅片組成的太陽(yáng)能電池系統(tǒng)，當(dāng)大于等于k片硅片工作時(shí)，系統(tǒng)即正常供電，就屬于這種表決系統(tǒng)。圖3－12即為表決系統(tǒng)的可靠性框圖。

現(xiàn)以圖3－13所示的3中取2系統(tǒng)為例，來(lái)說(shuō)明這種系統(tǒng)可靠度的計(jì)算方法。圖3－12表決系統(tǒng)的可靠性框圖圖3－13

3中取2系統(tǒng)的可靠性框圖

裝有三臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)的飛機(jī)至少有兩臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)正常工作時(shí)，飛機(jī)才能正常飛行。如果三臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)的壽命分別為ξi(i=1，2，3)，且相互獨(dú)立，其可靠度Ri(t)=P{ξi>t}，則系統(tǒng)正常工作有四種可能組合：三臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)都正常；兩臺(tái)正常一臺(tái)失效。因此系統(tǒng)的可靠度為（3-20）若發(fā)動(dòng)機(jī)壽命服從指數(shù)分布，即

則

（3－21）系統(tǒng)的平均壽命為（3-22）如果三個(gè)單元的壽命同分布，可靠度相同，即R1(t)=R2(t)=R3(t)=R(t)，則

同樣，對(duì)于由n個(gè)獨(dú)立單元組成的k/n(G)系統(tǒng)，假設(shè)所有單元壽命同分布，可靠度相同，則系統(tǒng)的可靠度為（3-25）系統(tǒng)平均壽命為（3-26）（3-27）

例3-6

—架具有三臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)的噴氣式飛機(jī)，至少要有兩臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)正常工作才能飛行。設(shè)飛機(jī)事故僅由發(fā)動(dòng)機(jī)事故引起，發(fā)動(dòng)機(jī)的失效率為常數(shù)

，

，試計(jì)算飛行10h末和100h末飛機(jī)的可靠度。

解

這是3中取2系統(tǒng)，由式（3-25）得：

由已知條件

得

在10h末：

在100h末：

可見(jiàn)使用10h飛機(jī)發(fā)生事故的可能性為萬(wàn)分之一，100h后就降為千分之一了

例3-7

設(shè)計(jì)一臺(tái)設(shè)備的電源，要求平日最大供電為6kW，緊急情況下為12kW。若利用發(fā)電機(jī)作為電源，可提供以下三種方案：①一臺(tái)12kW發(fā)電機(jī)；②二臺(tái)6kW發(fā)電機(jī)；③三臺(tái)4kW發(fā)電機(jī)。設(shè)各種發(fā)電機(jī)的可靠度相同，均等于R，且它們的失效相互獨(dú)立，試比較這三種方案。圖3-14各種系統(tǒng)的可靠度比較

3.3.5非工作儲(chǔ)備系統(tǒng)圖3-15非工作儲(chǔ)備系統(tǒng)1.冷儲(chǔ)備系統(tǒng)

冷儲(chǔ)備系統(tǒng)的備用部件在備用狀態(tài)下不會(huì)發(fā)生失效，不劣化，儲(chǔ)備期的長(zhǎng)短對(duì)以后的使用壽命沒(méi)有影響，即備用故障率η=0。

冷儲(chǔ)備系統(tǒng)中，依開(kāi)關(guān)K的性質(zhì)又分為理想轉(zhuǎn)換開(kāi)關(guān)和非理想轉(zhuǎn)換開(kāi)關(guān)兩種。

1)理想轉(zhuǎn)換開(kāi)關(guān)的可靠度

有理想開(kāi)關(guān)條件下的兩部件冷儲(chǔ)備系統(tǒng)如圖3－16所示，現(xiàn)在來(lái)求系統(tǒng)的可靠度和平均壽命。圖3－16兩部件冷儲(chǔ)備系統(tǒng)狀態(tài)圖在(0，t)內(nèi)，部件1正常工作的概率為部件2在（t1，t）內(nèi)正常工作的概率為

所以，在（0，t）內(nèi)系統(tǒng)正常工作的概率為

（3-28）

可以證明，由兩個(gè)指數(shù)型部件組成的冷儲(chǔ)備系統(tǒng)的可靠度Rs(t)為

（3-29）兩個(gè)部件冷儲(chǔ)備系統(tǒng)的平均壽命為

（3-30）若系統(tǒng)是由n個(gè)指數(shù)型部件組成的冷儲(chǔ)備系統(tǒng)，則其系統(tǒng)壽命為ξ=ξ1+ξ2+…+ξn。同樣可以證明，系統(tǒng)的可靠度為（3-31）系統(tǒng)的平均壽命為（3-32）在n個(gè)部件組成的系統(tǒng)中，各部件失效率相等且相互獨(dú)立，即λ1=λ2=…=λn=λ，則（3-33）系統(tǒng)的平均壽命為

（3-34）

2)轉(zhuǎn)移開(kāi)關(guān)不完全可靠的系統(tǒng)可靠度

設(shè)轉(zhuǎn)移開(kāi)關(guān)的可靠度為RK(t)，則式(3－28)變成

（3-35）

（3－36）這時(shí)系統(tǒng)的平均壽命為

（3-37）若轉(zhuǎn)換開(kāi)關(guān)的可靠度為常數(shù)，即RK(t)=RK，則式(3－36)和式(3－37)變?yōu)?/p>

（3－38）（3－39）

2.熱儲(chǔ)備系統(tǒng)

熱儲(chǔ)備系統(tǒng)的部件在備用狀態(tài)可能會(huì)發(fā)生故障，因此分析它的可靠性比分析冷儲(chǔ)備系統(tǒng)要復(fù)雜得多。這里，只研究最簡(jiǎn)單的情形。

假設(shè)系統(tǒng)是由兩個(gè)指數(shù)型部件組成的熱儲(chǔ)備系統(tǒng)，其工作壽命分別為ξ1和ξ2，且相互獨(dú)立，失效率分別為λ1和λ2。假設(shè)備用件的儲(chǔ)備壽命為η，也服從參數(shù)為μ的指數(shù)分布，并且轉(zhuǎn)入工作狀態(tài)后的失效率仍為λ2。

設(shè)有隨機(jī)變量x，當(dāng)ξ1<η時(shí)，儲(chǔ)備有效；當(dāng)ξ1>η時(shí)，儲(chǔ)備無(wú)效，即

則系統(tǒng)的壽命可表示為

其可靠度為

或

當(dāng)轉(zhuǎn)換開(kāi)關(guān)完全可靠時(shí)，系統(tǒng)的可靠度為

（3-40）系統(tǒng)的平均壽命為

（3-41）當(dāng)轉(zhuǎn)換開(kāi)關(guān)不完全可靠且RK(t)=RK時(shí)，系統(tǒng)的可靠度為

（3-42）而平均壽命為

（4－43）當(dāng)

時(shí)，則有

假設(shè)系統(tǒng)是由n個(gè)相同部件組成的熱儲(chǔ)備系統(tǒng)，一個(gè)部件在工作時(shí)，另外n-1個(gè)部件備用，工作時(shí)部件失效率為λ，儲(chǔ)備時(shí)失效率為μ，轉(zhuǎn)換開(kāi)關(guān)完全可靠，圖3－17顯示了失效率的變化情況。圖3－17熱儲(chǔ)備系統(tǒng)狀態(tài)變化圖（理想開(kāi)關(guān)）（3-45）例3－8某兩單元組成的非工作冷儲(chǔ)備系統(tǒng)，各單元的失效率為λ1=λ2=0.0001h-1，求系統(tǒng)工作到1000h的可靠度。設(shè)開(kāi)關(guān)的可靠度為1。

解根據(jù)式(3－33)得該系統(tǒng)的可靠度計(jì)算式為

將

代入上式即可求得系統(tǒng)可靠度為0.9953。 3.4網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)

3.4.1概述

可靠性工程中系統(tǒng)的概念是由系統(tǒng)和單元之間的功能關(guān)系定義的。在實(shí)際問(wèn)題中，系統(tǒng)與單元之間的關(guān)系錯(cuò)綜復(fù)雜，除串聯(lián)、并聯(lián)、儲(chǔ)備、混聯(lián)等系統(tǒng)外，還有大型的非串聯(lián)、非并聯(lián)系統(tǒng)構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)。例如在一臺(tái)大型自動(dòng)機(jī)床上，綜合了機(jī)械、液壓、氣動(dòng)、電子線(xiàn)路等，構(gòu)成一個(gè)復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)。在電氣系統(tǒng)中，也會(huì)經(jīng)常遇到通信網(wǎng)絡(luò)、電路網(wǎng)絡(luò)、計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)等。再如圖3－18(a)所示的并網(wǎng)供電系統(tǒng)，當(dāng)開(kāi)關(guān)K不完全可靠時(shí)，其可靠性框圖如圖3－18(b)所示。顯然，它不屬于前面定義過(guò)的任何一種系統(tǒng)，為此，要引入新的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)概念。簡(jiǎn)單講，網(wǎng)絡(luò)是一些節(jié)點(diǎn)以及連接某些節(jié)點(diǎn)對(duì)之間的弧組成的圖。設(shè)節(jié)點(diǎn)是

的集合，弧是

的有限集合，對(duì)于V滿(mǎn)足非空集，而且每一個(gè)

，與V中有序或無(wú)序元素

相對(duì)應(yīng)，且

，則稱(chēng)(V，E)組成一個(gè)網(wǎng)絡(luò)圖G。V中的元素是G的節(jié)點(diǎn)，E中的元素是G的弧。連接兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的弧是有向的，稱(chēng)為有向孤；連接兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的弧若沒(méi)有方向（或是雙向的），則稱(chēng)為無(wú)向弧。若在G中同時(shí)存在有向弧和無(wú)向弧，則稱(chēng)G為混合型網(wǎng)絡(luò)。網(wǎng)絡(luò)分析中，還常用到“路”的概念。任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)間由有向弧或無(wú)向弧組成的弧序列稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)間的一條路。路中所包含的弧的數(shù)目稱(chēng)為路的長(zhǎng)度。兩個(gè)節(jié)點(diǎn)間有許多條路，對(duì)于某一條路，如果從其序列中除去任意一條弧，它就不再是連接兩個(gè)節(jié)點(diǎn)間的路了，則稱(chēng)此路為該兩節(jié)點(diǎn)間的最小路。

如圖3－19所示的橋形網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)混合型網(wǎng)絡(luò)。在節(jié)點(diǎn)1和2間有四條最小路｛a，b｝,｛c，d｝,｛a，e，d｝,｛c，e，b｝。圖3－19橋形網(wǎng)絡(luò)3.4.2狀態(tài)枚舉法（真值表法）

狀態(tài)枚舉法是把復(fù)雜系統(tǒng)內(nèi)各單元可靠與失效兩種狀態(tài)的所有不同組合狀態(tài)全部排列出來(lái)的方法。系統(tǒng)的可靠或失效狀態(tài)，就是這些相應(yīng)不同組合狀態(tài)的邏輯和。因此，求系統(tǒng)的可靠度或失效概率就是求這些相應(yīng)組合狀態(tài)邏輯和的概率。由于這些狀態(tài)彼此互不相容，即系統(tǒng)出現(xiàn)了某一種狀態(tài)，就不可能同時(shí)出現(xiàn)另一種組合狀態(tài)，由概率論加法定理可知，不同組合狀態(tài)邏輯和的概率等于各個(gè)組合狀態(tài)概率之和。

對(duì)于一個(gè)由n條弧組成的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，假設(shè)單元均為正常和失效兩種狀態(tài)，分別用“1”和“0”表示，系統(tǒng)正常這一事件用s=1表示，系統(tǒng)故障用s=0表示，則可列出2n種不同的組合狀態(tài)。從中找出使s=1的所有狀態(tài)，于是可求出系統(tǒng)可靠度。例3－9求如圖3－19所示的橋形網(wǎng)絡(luò)的可靠度。假定每條弧正常的概率為0.7，且每條弧間相互獨(dú)立。

解每條孤及系統(tǒng)正常用“1”表示，失效用“0”表示。依次列出并分析各種組合狀態(tài)，以判斷系統(tǒng)的狀態(tài)，如表3－1所示。

將系統(tǒng)處于s=1的狀態(tài)組合列出，即

由獨(dú)立性假定得到：上式中pa=pb=pc=pd=pe=0.7，qa=qb=qc=qd=qe=1-0.7=0.3，帶入后的系統(tǒng)可靠度為Rs=0.80164。

表3-1橋形網(wǎng)絡(luò)真值表3.4.3概率圖法

如圖3－20所示，用二進(jìn)制表示2n個(gè)狀態(tài)，使圖中每一個(gè)小方格表示一個(gè)n位的二進(jìn)制數(shù)，此二進(jìn)制數(shù)又表示弧的一種狀態(tài)，如在n=5中，“*”與“**”分別表示01110與11110，只有首位不同。圖3－20概率圖構(gòu)造示意圖（1）構(gòu)圖要求：相鄰兩個(gè)方格的二進(jìn)制數(shù)，僅在一位上有差別。

（2）二進(jìn)制數(shù)不是由小到大排列，而是采用格雷碼的二進(jìn)制數(shù)。求格雷碼的方法是：當(dāng)b1b2…bn為n位二進(jìn)制數(shù)，c1c2…cn為對(duì)應(yīng)的格雷碼時(shí)，有

例如三位的二進(jìn)制數(shù)由小到大排列為000，001，010，011，100，101,110，111，對(duì)應(yīng)的格雷碼則為000，001，011，010，110，111，101，100。

例3－10對(duì)例3－9的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，利用概率圖法求解其系統(tǒng)可靠度。

解如圖3－19所示為一個(gè)五單元網(wǎng)絡(luò)，依上述方法構(gòu)造其概率圖，如圖3－21所示。將系統(tǒng)正常時(shí)ab、cde分別對(duì)應(yīng)狀態(tài)的小格作陰影標(biāo)志。

按如圖3－21(a)所示方式劃分方塊后，可直接寫(xiě)出系統(tǒng)正常時(shí)的事件和為

則系統(tǒng)的可靠度為

圖3-21網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的概率圖3.4.4路徑枚舉法

1.直接觀察法

對(duì)于比較簡(jiǎn)單的網(wǎng)絡(luò)，可采用直接觀察法列出路徑。例如圖3－22所示是一高壓氧供給系統(tǒng)的簡(jiǎn)化網(wǎng)絡(luò)圖，通過(guò)觀察可以直接列出四條最小路徑：AD、CD、BE、CE，于是系統(tǒng)的可靠工作狀態(tài)為

式中：sT——以路徑表示系統(tǒng)的可靠狀態(tài)；

Ai——系統(tǒng)中的第i條路徑。圖3-22高壓氧供給系統(tǒng)的簡(jiǎn)化網(wǎng)絡(luò)

2.聯(lián)絡(luò)矩陣

對(duì)于比較復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)，采用直接觀察法容易把有些路徑漏掉，聯(lián)絡(luò)矩陣法就可避免遺漏?，F(xiàn)在以如圖3－23所示的橋形網(wǎng)絡(luò)為例說(shuō)明這種方法（實(shí)際可采用直接觀察法，這里僅僅作為例子加以說(shuō)明）。先對(duì)圖上的節(jié)點(diǎn)標(biāo)注序號(hào)，然后順序?qū)懗?～n階聯(lián)絡(luò)矩陣。圖3-23橋形網(wǎng)絡(luò)定義一階聯(lián)絡(luò)矩陣為

二階聯(lián)絡(luò)矩陣定義為

r階矩陣為

系統(tǒng)的路集就是各階矩陣中以輸入節(jié)點(diǎn)序號(hào)為行，以輸出節(jié)點(diǎn)序號(hào)為列的元素xij的邏輯和。其中一階矩陣中的相應(yīng)元素x12表示路徑中僅包含一個(gè)單元，r階矩陣中的相應(yīng)元素xij表示僅包含有r個(gè)單元的路徑。根據(jù)上述規(guī)則，可列出圖3－23的各階矩陣（系統(tǒng)的輸入節(jié)點(diǎn)i=1，輸出節(jié)點(diǎn)j=2）。

一階矩陣為

一階矩陣中x12=0表示系統(tǒng)中不存在由單個(gè)單元組成的路徑。二階矩陣為

三階矩陣為

三階矩陣中的相應(yīng)元素x12=BCE+ADE，表示存在由三個(gè)單元組成的兩條路徑，即BCE與ADE。四階矩陣為

即不存在由四個(gè)單元組成的路徑。因此，如圖3－23所示橋形網(wǎng)絡(luò)存在四條路徑，即AC、BD、BCE、ADE。路徑枚舉法的第二步工作是計(jì)算系統(tǒng)的可靠度。由于各條最短路徑彼此之間是相容的，即一條路徑可靠工作并不排斥另一條路徑也同時(shí)可靠工作。因此，不像狀態(tài)枚舉法那樣，系統(tǒng)工作可靠狀態(tài)的概率等于各組合狀態(tài)可靠工作的概率之和。這時(shí)，可用下述方法計(jì)算系統(tǒng)可靠度。系統(tǒng)可靠度為

由概率加法定理得（3－47）例3－11設(shè)橋形網(wǎng)絡(luò)如圖3－24所示，已知各弧正常工作的概率pA=pB=pC=pD=pE=0.8，求該無(wú)向網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的可靠度。

解由以上分析，該無(wú)向網(wǎng)絡(luò)輸入、輸出節(jié)點(diǎn)之間有四條最小路：AB，CD，AED，CEB，所以有圖3－24無(wú)向橋形網(wǎng)絡(luò)

同樣，對(duì)圖3－25(b)網(wǎng)絡(luò)中n條弧的并聯(lián)結(jié)構(gòu)也可用一條等價(jià)弧來(lái)代替，此時(shí)，則

上式中qi=1-pi，i=1，2，…，n。圖3－25串、并聯(lián)簡(jiǎn)化

2.無(wú)向網(wǎng)絡(luò)的貝葉斯分解法

貝葉斯定理即是利用驗(yàn)前概率和條件概率來(lái)求驗(yàn)后概率。貝葉斯分解方法可以把非串、并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)分解轉(zhuǎn)化為若干個(gè)互不相容的串、并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)，以此求得系統(tǒng)的可靠度。這樣一來(lái)，求解非串、并聯(lián)復(fù)雜系統(tǒng)的可靠度就轉(zhuǎn)化為求串、并聯(lián)系統(tǒng)的可靠度了。此方法的關(guān)鍵是選取某些單元，在對(duì)這些單元做出可靠或失效處理后，進(jìn)行逐步簡(jiǎn)化。

下面討論二終端無(wú)向網(wǎng)絡(luò)G。x是G的任一弧，用x或

表示該弧正?；蚴?，由全概率公式得網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)s的可靠度為

（3－48）式中：P{s|x}為在x正常的條件下，網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)G正常工作的條件概率；為在x失效條件下，網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)正常工作的條件概率。

用G(x)記G中把x弧兩端節(jié)點(diǎn)合二為一后所得的子網(wǎng)絡(luò)，記為G中去掉x弧后所得的子網(wǎng)絡(luò)，故可得

所以網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的可靠度可寫(xiě)為

式中：px=P{x}表示弧x正常的概率，px+qs=1。（3－49）

例3-12

如圖3-26，給定無(wú)向網(wǎng)絡(luò)G。1，2分別為輸入、輸出節(jié)點(diǎn)，a，b，…，h表示弧。試對(duì)此無(wú)向網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行簡(jiǎn)化分解。

解（1）選e弧進(jìn)行分解。如圖3-27，相應(yīng)的子網(wǎng)絡(luò)G(e)，

如圖3-27(a)和(c)所示。對(duì)G(e)進(jìn)行串、并聯(lián)簡(jiǎn)化，如圖3-27(b)所示，故系統(tǒng)可靠度為

圖3－26