點擊解決最值問題的常用方法

PAGE2PAGE5點擊解決最值問題的常用方法建湖縣顏單中學(xué)陳國華[內(nèi)容提要]在生活實際中常要考慮在一定條件下怎樣使成本最低，消耗最少，使收益最大，方案最優(yōu)，行走路徑最短，周長面積最小等問題。這類生活問題一般可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)或線段的最小值或最大值的數(shù)學(xué)問題，此類問題涉及知識面廣，綜合性強，解法有一定技巧性。通過這類問題的解決可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。本文舉例介紹解決初中數(shù)學(xué)中有關(guān)最值問題一些常用方法?！娟P(guān)鍵詞】生活問題數(shù)學(xué)問題最值數(shù)學(xué)思想方法數(shù)學(xué)思維能力一、配方法配方法是數(shù)學(xué)中的一種重要解題思想方法，將已知代數(shù)式（等式）配成若干個完全平方式的形式，結(jié)合非負數(shù)性質(zhì)，從而使問題得到解決。例1設(shè)x、y為實數(shù)，代數(shù)式5x2+4y2－8xy+2x+4的最小值為_______。解析：配方得原式=2（x2－2xy+y2）+x2+2x+4=4（x－y）2+（x+1）2+3顯見，當(dāng)x=－1，y=－1時，原式有最小值3。二、分類討論法當(dāng)解決的問題存在一些不確定因素，這時常用分類討論法按一定的標準或原則分為若干類、然后逐類求解，再綜合這幾點的結(jié)論從而求解。例2已知0≤a≤4，那么的最大值等于（）（A）1（B）5（C）8（D）3解析：根據(jù)已知條件采用取零點分段討論法求最大值。根據(jù)絕對值的幾何意義，a=2,a=3是兩個零點，結(jié)合0≤a≤4分成0≤a≤2，2＜a≤3，3＜a≤4三段討論：①當(dāng)0≤a≤2時，原式=5－2a，當(dāng)a=0時達到最大值5；②當(dāng)2＜a≤3時，原式=1；③當(dāng)3＜a≤4時，原式=2a－5，當(dāng)a=4時達到最大值3.綜合①②③在0≤a≤4范圍，原式的最大值為5，所以選B。三、數(shù)形結(jié)合法有些代數(shù)問題條件中的數(shù)量關(guān)系有明顯的幾何意義，或以某種方式與幾何圖形相關(guān)聯(lián)，則可以通過作出與其相關(guān)的幾何圖形，將代數(shù)問題的條件及數(shù)量關(guān)系直接在圖形中表現(xiàn)出來，從而利用幾何關(guān)系來求解。例3使取最小值的實數(shù)x的值為_________。解析：通過觀察不難發(fā)現(xiàn)，題設(shè)條件中有明顯的幾何意義。即可將、分別視為x、2和（8－x）、4為直角邊的直角三角形的斜邊，進而構(gòu)造如圖所示的幾何圖形。AC⊥AB，BD⊥AB，且AC=2，BD=4，AB=8。（2）設(shè)點Q的坐班為（m，0），過點E作EG⊥x軸于點G。由，得∴B的坐標為（－2，0），∴AB=6，BQ=m+2.∵QE∥AC，∴△BQE~△BAC，∴，即∴EG=，∴S△CQE=S△CBQ－S△EBQ=×CO－×EG=（m+2）()=∵a=－＜0，∴S△CQE有最大值。即當(dāng)m=1時，S△CQE有最大值為3，此時Q（1，0）。五、不等式法一些要求最大利潤，最優(yōu)方案生活問題，可根據(jù)題意把實際問題轉(zhuǎn)化為不等式模型，從而求出某些量的取值范圍，再結(jié)合函數(shù)性質(zhì)求解。例6：某加工廠以每噸3000元的價格購進50噸原料進行加工，若進行粗加工，每噸加工費為600元，需天，每噸售價4000元；若進行精加工，每噸加工費用為900元，需天，每噸售價為4500元，現(xiàn)將這50噸原料全部加工完。（1）設(shè)其中粗加工x噸，獲利y元，求y與x的函數(shù)關(guān)系式。（2）如果必須在20天內(nèi)完，如何安排生產(chǎn)才能獲得最大利潤？最大利潤是多少？解析：粗加工x噸，則細加工為（50－x）噸，粗加工每噸利潤為（4000－3000）元，細加工每噸利潤為（4500－3000）元。則y=（4000－3000）x－600x+（4500－3000）（50－x）－900（50－x）=－200x+30000由題意知：x+（50－x）≤20，得x≥30，∴30≤x≤50。當(dāng)x=30時，最大值y=－200×30+3000=2400（元）。故粗加工=10（天），精加工=10（天）所以10天粗加工，10天精加工可獲得最大利潤，最大利潤是24000元。六、垂線段法在一些幾何問題中要求線段、周長、面積最小值時，可通過把相關(guān)線段特殊化，化為垂線段，根據(jù)垂線段最短的性質(zhì)從而得解。例7：邊長為a的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E是AD上異于A、D兩點的一個動點，F(xiàn)是CD上的動點，且滿足AE+CF=a，如圖。（1）證明：不論E、F怎樣移動，△BEF總是正三角形，求出△BEF面積最小值。解析：連結(jié)BD，可證△BED≌△BFC，易得∠EBF=60°，且EB=BF，故△BEF為正三角形。（2）由于△BEF面積大小是由BE邊所決定，根據(jù)垂線段最短，當(dāng)BE⊥AD時，BE最短，這時E為AD中點，因此，為所求最小值。S△BEF=×=七、判別式法求某些字母代數(shù)式的最值時可設(shè)整個代數(shù)式為一個新的字母再變形轉(zhuǎn)化為某個字母的一元二次方程，進而根據(jù)一元二次方程根的判別式去求出新字母的取值范圍，即確定原代數(shù)式的取值范圍，從而得解。例8：設(shè)a，b為實數(shù)，那么代數(shù)式的最小值是多少？解析：設(shè)t=，變形得關(guān)于a的一元二次方程，。因為a、b、t為實數(shù)，因此有，△=≥0，即4t≥∴4t≥－4，t≥－1.故當(dāng)a=0，b=1時，t有最小值，即代數(shù)式有最小值－1。八、對稱變換法求某些幾何圖形中的線段的和的最小值時，可采用軸對稱變換的方法將其中一條線段變換，進而把兩條線段合并成一條線段根從而求出最值。例9：如圖，正方形ABC的邊長為3，點E在BC上，且BE=2，點P在BD上移動，則PE+PC的最小值是多少？解析：作E點關(guān)于直線BD的對稱點E′，則E′點在AB上，且BE′=2，PE′=PE。又PE+PC=PE′+PC≥E′C（當(dāng)E′、P、C三點共線時取等號），所以PE+PC的最小值為：E′C==九、換元法對于形如的函數(shù)，一般可考慮用換元法將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，通過求二次函數(shù)的最值來達到求原函數(shù)的最值的目的。例10求函數(shù)y=x－的最值。解析：設(shè)，則，∴，∴當(dāng)t＝0，即x=時，y最大值＝，y無最小值。十、消元法對于有條件等式的多元問題，常通過消元法把多個元素轉(zhuǎn)化為以某一元素為主元的等式，再結(jié)合已知條件，經(jīng)過合理的運算，使問題逐步簡化，再求解。例11a、b、c是非負實數(shù)，并且滿足3a+2b+c=5,2a+b－3c=1,設(shè)m=3a解析：把視c為主元，由已知，求得a=7c－3,b=7－11c。由于a、b、c是非負實數(shù)，則有：從而有≤c≤又m＝3a+b－7c=3c－2∴－≤m≤于是x=－，y=－,∴xy=十一、枚舉法有些求最值問題可根據(jù)已知條件列舉所有可能出現(xiàn)的情形，再通過計算后進行比較結(jié)果從而求出。例12：若a、b、c、d是四個不相等的自然數(shù)，且abcd=2583，求S=a+b+c+d的最值。解析：∵2583=1×7×9×41=1×3×21×41=1×3×7×123，∴a、b、c、d的值為1，7，9，41或1，3，21，41或1，3，7，123.∴S=a+b+c+d=58或66或134，∴S最大值=134，S最小值=58十二、估算法對所要考察的代數(shù)式的取值情況，進行恰當(dāng)?shù)墓浪?，確定其范圍，可促使問題簡明快捷地獲解。例13：五個互不相等自然的平均數(shù)是15，中位數(shù)是18，這五個數(shù)中最大數(shù)的最大值為（）（A）35（B）36（C）37（D）38解析：設(shè)這五個數(shù)中其余四個數(shù)分別為a、b、c、