21一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)教學(xué)教案

第2章一維勢(shì)場(chǎng)中的粒子引言本章主要是用Schr?dinger方程來(lái)處理一維粒子的能量本征態(tài)問(wèn)題.下面先討論一維粒子的能量本征態(tài)的一些共同的特點(diǎn).一維定態(tài)問(wèn)題數(shù)學(xué)處理簡(jiǎn)單，便于嚴(yán)格求解。作為量子體系，同樣可展現(xiàn)量子問(wèn)題的主要特征，因而是處理復(fù)雜問(wèn)題的基礎(chǔ)。

設(shè)質(zhì)量為m的粒子在一維勢(shì)場(chǎng)中(考慮定態(tài)的情況下)的能量本征方程為（1）為能量本征值.為相應(yīng)的能量本征態(tài).2.1一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)在上式中，(實(shí)數(shù)值)定理1也是方程(1)的一個(gè)解，對(duì)應(yīng)的能量也是則設(shè)應(yīng)的能量本征值為是能量本征方程(1)的一個(gè)解，對(duì)設(shè)，假設(shè)對(duì)應(yīng)于能量的某個(gè)本征值,方程(1)解無(wú)簡(jiǎn)并,(即只有一個(gè)獨(dú)立的解),則可取為實(shí)解(除了一個(gè)無(wú)關(guān)緊要的常數(shù)因子之外).證明：將Schr?dinger方程取復(fù)共軛即得證。對(duì)應(yīng)于能量的某個(gè)本征值，總可以找到方程(1)的一組實(shí)解,凡是屬于的任何解，均可表示為這一組實(shí)解的線性疊加。定理2

對(duì)于能級(jí)有簡(jiǎn)并的情況,要用到此定理.說(shuō)明證明：將用定理1和態(tài)疊加原理可證(見(jiàn)P.28)。定理3定義空間反射算符即把空間坐標(biāo)

設(shè)具有空間反射不變性，如是方程（1）的對(duì)應(yīng)于能量本征值的解，則也是方程（1）的對(duì)應(yīng)于能量的解.對(duì)于一維粒子有證明：對(duì)Schr?dinger方程做空間反射可證(P.28)。

偶宇稱(chēng)解(evenparity)

奇宇稱(chēng)解(oddparity)

一維諧振子和一維對(duì)稱(chēng)方勢(shì)阱都是具有空間反射對(duì)稱(chēng)性，它們的能量本征態(tài)都有確定的宇稱(chēng)。如果對(duì)應(yīng)于某能量方程(1)的解無(wú)簡(jiǎn)并,則解必有確定的宇稱(chēng)(parity).對(duì)于能級(jí)有簡(jiǎn)并的情況，能量本征態(tài)并不一定就具有確定宇稱(chēng)。此時(shí)，可以用定理（4）來(lái)處理。定理4

設(shè)則對(duì)應(yīng)于任何一個(gè)能量本征值總可以找到方程(1)的一組解(每個(gè)解都有確定的宇稱(chēng)),而屬于能量本征值的任何解，都可用它們來(lái)展開(kāi).證明：通過(guò)構(gòu)造奇偶函數(shù)即可證(P.29)。適用范圍

在坐標(biāo)表象中,涉及波函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性問(wèn)題,應(yīng)從能量本征方程(1)出發(fā),根據(jù)的性質(zhì)進(jìn)行討論.

如是的連續(xù)函數(shù),則與必為的連續(xù)函數(shù).

但是如不連續(xù),或有某種奇異性,則及其各階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性問(wèn)題需要具體分析.對(duì)于有限的階梯形方位勢(shì)（2）定理5對(duì)于一維有限深方勢(shì)阱，這個(gè)定理明顯成立.

能量本征函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)必定是連續(xù)的(但如，則定理不成立).證明：通過(guò)證明的導(dǎo)數(shù)連續(xù)而得證(P.29)。V2V(x)x0aV1（3）定理6注意

對(duì)于束縛態(tài)(boundstate),當(dāng)時(shí),所以式(3)中常數(shù)必為0.推論

因此,對(duì)于同屬于能量的任何兩個(gè)束縛態(tài)波函數(shù)與對(duì)于一維粒子，設(shè)與均為方程（1）的屬于同一能量的解，則證明：利用Schr?dinger方程并積分而得證(P.30)。定理7

對(duì)于常見(jiàn)的不規(guī)則勢(shì)阱(如無(wú)限深勢(shì)阱,勢(shì)阱等),在絕大多數(shù)情況下上述定理也成立.注意對(duì)于某些不規(guī)則勢(shì)阱,如一維氫原子除基態(tài)外，其他束縛態(tài)均為二重簡(jiǎn)并。其特征是波函數(shù)的節(jié)點(diǎn)出現(xiàn)在的奇異點(diǎn)處，兩個(gè)簡(jiǎn)并態(tài)具有不同宇稱(chēng)。設(shè)粒子在規(guī)則（regular）勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)(無(wú)奇點(diǎn))，如存在束縛態(tài)，則必定不簡(jiǎn)并。證明：利用定理（6）并積分而得證(P.30)。①由粒子運(yùn)動(dòng)實(shí)際情況正確寫(xiě)出勢(shì)函數(shù)V(x)②代入定態(tài)薛定諤方程③解方程④解出能量本征值和相應(yīng)的本征函數(shù)⑤求出概率密度分布及其他力學(xué)量▲量子力學(xué)解題的一般思路常見(jiàn)的理想位勢(shì)

①自由粒子②方勢(shì)阱方勢(shì)阱無(wú)限深方勢(shì)阱▲幾種勢(shì)函數(shù)方勢(shì)阱▲方勢(shì)阱是實(shí)際情況的極端化和簡(jiǎn)化分子束縛在箱子內(nèi)三維方勢(shì)阱金屬中的電子例如③勢(shì)壘梯形勢(shì)散射問(wèn)題勢(shì)壘隧道貫穿④其他形式超晶格諧振子﹟▲量子力學(xué)中常用的二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解對(duì)方程其特征方程為a金屬V(x)V=V0V=V0EV=0x極限V=0EV→∞V→∞V(x)x0a無(wú)限深方勢(shì)阱potentialwell▲一