2022北京五中高一（上）期末數(shù)學(xué)（教師版）

1/12022北京五中高一（上）期末數(shù)學(xué)一、單項選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）1．（4分）全集，，，0，1，2，3，4，，集合，，則A．，，2，3，4， B．，3，4， C．，4， D．，，0，1，2．（4分）在直角坐標系中，，，則角的終邊與單位圓的交點坐標為A．， B．， C．， D．，3．（4分）已知實數(shù)，滿足，則的最大值為A． B．1 C． D．24．（4分）函數(shù)且與函數(shù)在同一坐標系內(nèi)的圖象可能是A． B． C． D．5．（4分）已知，則A． B． C． D．6．（4分）函數(shù)的零點所在的區(qū)間為A． B． C． D．7．（4分）設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為A． B． C． D．8．（4分）甲：“是第一象限的角”，乙：“是增函數(shù)”，則甲是乙的A．充分但不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件9．（4分）已知函數(shù)，，的部分圖象如圖所示，下列結(jié)論正確的個數(shù)是)①；②將的圖象向右平移1個單位，得到函數(shù)的圖象；③的圖象關(guān)于直線對稱；④若，則．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個10．（4分）已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是，那么函數(shù)在區(qū)間上A．當(dāng)時，有最小值無最大值 B．當(dāng)時，無最小值有最大值 C．當(dāng)時，有最小值無最大值 D．當(dāng)時，無最小值也無最大值二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）11．（5分）函數(shù)的最小值為．12．（5分）已知冪函數(shù)過點，若，則．13．（5分）已知上的奇函數(shù)是增函數(shù)，若（a），則的取值范圍是．14．（5分）已知函數(shù)且關(guān)于的方程有四個不等實根，寫出一個滿足條件的值．15．（5分）設(shè)函數(shù)，則是（填“奇函數(shù)”或“偶函數(shù)”；對于一定的正數(shù)，定義，則當(dāng)時，函數(shù)的值域為．三、解答題（共6小題，共85分）16．（14分）已知集合，，．（Ⅰ）當(dāng)時，求；（Ⅱ）當(dāng)時，求實數(shù)的值．17．（14分）已知函數(shù)，的最小正周期為，再從下列兩個條件中選擇一個作為已知條件：條件①：的圖象關(guān)于于對稱；條件②：的圖象關(guān)于直線對稱．（1）請寫出你選擇的條件，并求的解析式；（2）在（1）的條件下，當(dāng)，時，求的最大值和最小值，并指出相應(yīng)的取值．18．（14分）進入六月，青海湖特有物種湟魚自湖中逆流而上，進行產(chǎn)卵．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)魚的游速可以表示為函數(shù)，單位是，是表示魚的耗氧量的單位數(shù)．（1）當(dāng)一條湟魚的耗氧量是500個單位時，求它的游速是多少？（2）某條湟魚想把游速提高，求它的耗氧量的單位數(shù)是原來的多少倍？19．（14分）已知定義在上的函數(shù)滿足：①對任意實數(shù)，，均有；②（1）；③對任意，，．（1）求（2）的值，并判斷的奇偶性；（2）對任意的，證明：；（3）直接寫出的所有零點（不需要證明）．20．（14分）已知函數(shù)．（1）指出的單調(diào)區(qū)間，并用定義證明當(dāng)時，的單調(diào)性；（2）設(shè)，關(guān)于的方程有兩個不等實根，，且，當(dāng)時，求的取值范圍．21．（15分）已知函數(shù)，（其中．（1）求函數(shù)的值域；（2）如果函數(shù)在，恰有10個零點，求最小正周期的取值范圍．

參考答案一、單項選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）1．【分析】求出集合，利用補集定義能求出．【解答】解：全集，，，0，1，2，3，4，，集合，，，，0，1，，則，3，4，．故選：．【點評】本題考查集合的運算，考查補集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．2．【分析】由題意，利用任意角的三角函數(shù)的定義，計算求得結(jié)果．【解答】解：直角坐標系中，，，則角的終邊與單位圓的交點坐標為，，故選：．【點評】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．3．【分析】利用基本不等式即可求出結(jié)果．【解答】解：實數(shù)，滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即，，故的最大值為，故選：．【點評】本題考查了基本不等式的性質(zhì)，也可以利用橢圓的參數(shù)方程求解，三角函數(shù)的最值求解，屬于基礎(chǔ)題．4．【分析】討論的范圍，判斷函數(shù)的單調(diào)性，和二次函數(shù)的開口方向和對稱軸的位置，從而得出答案．【解答】解：若，則指數(shù)函數(shù)是減函數(shù)，二次函數(shù)開口向下，對稱軸為，排除；若，則指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，二次函數(shù)開口向上，對稱軸為，排除；故選：．【點評】本題考查了指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的圖象，屬于基礎(chǔ)題．5．【分析】由題意，利用誘導(dǎo)公式，計算求得結(jié)果．【解答】解：，則，故選：．【點評】本題主要考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．6．【分析】在為減函數(shù)，結(jié)合（1），（2），可得答案．【解答】解：函數(shù)的定義域為，而在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，又，所以由零點存在性定理可知，函數(shù)在區(qū)間有零點．故選：．【點評】本題主要考查函數(shù)零點存在性定理的運用，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．7．【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出：，，，然后即可得出，，的大小關(guān)系．【解答】解：，，．故選：．【點評】本題考查了指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，增函數(shù)的定義，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．8．【分析】由正弦函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合充分必要條件的判定得答案．【解答】解：由是第一象限的角，不能得到是增函數(shù)，反之，由是增函數(shù)，也不一定是第一象限角．故甲是乙的既不充分又不必要條件．故選：．【點評】本題考查充分必要條件的判定，考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，是基礎(chǔ)題．9．【分析】由函數(shù)的圖象的頂點坐標求出，由周期求出，可判斷①；由點的坐標代入求得，可得函數(shù)的解析式，再根據(jù)函數(shù)圖象的變換規(guī)律可判斷②；將代入解析式中驗證，可判斷③；根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)可判斷④．【解答】解：對于①，由函數(shù)的圖象得，函數(shù)的最小正周期，，將代入解析式中，，得，，，故①錯誤；對于②，由以分析得，將的圖象向右平移1個單位，得到函數(shù)的圖象，故②正確；對于③，將代入，得，故③錯誤；對于④，由于函數(shù)的最小正周期為8，而，，不會出現(xiàn)一個取到最大或最小值，另一個取到最小或最大的情況，故，故④正確．故選：．【點評】本題考查命題真假的判斷，考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于中檔題．10．【分析】依題意不等式的解集為，即可得到且，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計算在區(qū)間上的單調(diào)性，即可得到函數(shù)的最值．【解答】解：因為函數(shù)的定義域是，即不等式的解集為，所以且，即，令，所以，函數(shù)開口向上，對稱軸為，在上單調(diào)遞增，所以沒有最大值也沒有最小值，當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以沒有最大值也沒有最小值，當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以沒有最大值也沒有最小值，故選：．【點評】本題考查函數(shù)的最值，考查學(xué)生的邏輯思維能力，屬中檔題．二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）11．【分析】根據(jù)輔助角公式化簡，求出的最小值即可．【解答】解：函數(shù)，的最小值是，故答案為：．【點評】本題考查了三角函數(shù)求值問題，考查輔助角公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．12．【分析】利用待定系數(shù)法求出冪函數(shù)的解析式，從而求出的值即可．【解答】解：把點代入，得，，，，，，故答案為：．【點評】本題主要考查了冪函數(shù)的定義，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，函數(shù)求值問題，是基礎(chǔ)題．13．【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系將不等式進行轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：是奇函數(shù)，由（a），得（a），是增函數(shù)，，即，得，即實數(shù)的取值范圍是，故答案為：．【點評】本題主要考查不等式的求解，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)將不等式進行轉(zhuǎn)化求解是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．14．【分析】畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象可得答案．【解答】解：作出的圖象，如圖所示：如圖，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，當(dāng)時，，要使方程有四個不等實根，只需使即可，故答案為：2.2（答案不唯一）．【點評】本題考查了函數(shù)的零點，也考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．15．【分析】利用奇函數(shù)與偶函數(shù)的定義即可判斷；然后對與討論，分別求出函數(shù)的范圍，由此即可求解．【解答】解：因為恒成立，所以的定義域為，關(guān)于原點對稱，且，所以函數(shù)為偶函數(shù)；因為，，所以，若，則由題意可得當(dāng)時，，故，當(dāng)時，，綜上，函數(shù)的值域為．【點評】本題考查了函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)值域問題，涉及到分類討論思想的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運算轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．三、解答題（共6小題，共85分）16．【分析】（Ⅰ）可以求出，時，可以求出，然后進行補集、交集的運算即可；（Ⅱ）根據(jù)即可得出，是方程的實數(shù)根，代入方程即可求出．【解答】解：（Ⅰ），時，；，或；，或；（Ⅱ）；是方程的一個實根；；．【點評】考查不等式的性質(zhì)，描述法的定義，一元二次不等式的解法，交集、補集的運算，以及一元二次不等式的解和對應(yīng)一元二次方程的實根的關(guān)系．17．【分析】由最小正周期為，可得，選擇條件①：（1）由，，結(jié)合，即可得解；選擇條件②：（1）由，，，即可得解；（2）結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，即可得解．【解答】解：因為函數(shù)，的最小正周期為，所以，選擇條件①：（1）因為的圖象關(guān)于點，對稱，所以，，所以，，因為，所以，故的解析式為．選擇條件②：（1）因為的圖象關(guān)于直線對稱，所以，，所以，，因為，所以，故的解析式為．（2）由（1）得：，當(dāng)，時，，，令，，則的最大值是，最小值是，故的最大值和最小值分別是2，，此時對應(yīng)的的值分別是：，．【點評】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性和對稱性是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．18．【分析】（1）根據(jù)已知條件，將代入函數(shù)的解析式，即可求解．（2）設(shè)原來和現(xiàn)在耗氧量的單位數(shù)分別為，，根據(jù)條件，可得，然后求出即可．【解答】解：（1）由題意，可得．（2）設(shè)原來和現(xiàn)在耗氧量的單位數(shù)分別為，，則，即，所以，即它的耗氧量的單位數(shù)是原來的4倍．【點評】本題主要考查函數(shù)的實際應(yīng)用，掌握對數(shù)函數(shù)的公式是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．19．【分析】（1）令可求；令可求（2）；令可求奇偶性；（2）令即可證明；（3）（1），是以4為周期的周期函數(shù)，由偶函數(shù)的性質(zhì)可得，從而可得的所有零點．【解答】解：（1）對任意實數(shù)，，均有，令，則，可得，對任意，，，，；令，則（2）（1），（2），解得：（2），（2）；定義域為關(guān)于原點對稱，且令時，，，即，是上的偶函數(shù)；（2）令，則（1），即，則，，，即；（3）（1），且是以4為周期的周期的偶函數(shù)，由偶函數(shù)的性質(zhì)可得，從而可得（1）（3）（5），故的零點為奇數(shù)，即所有零點為，．【點評】本題考查了判斷抽象函數(shù)的奇偶性、周期性及零點，難點在于根據(jù)題目需要給，賦予不同的值，屬于中檔題．20．【分析】（1）由函數(shù)確定定義域，再由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷方法進行判斷即可；（2）利用（1）中結(jié)論，確定的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)題干已知條件，即可求解．【解答】解：（1）由題可知函數(shù)的定義域為的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，證明：任意取，，且，，，，，，，即，所以在單調(diào)遞減，（2）由（1）可知的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，，且，因為有兩個不等實數(shù)根，令，可得，又，且，，，故的取值范圍為．【點評】本題考查了函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)與判斷，考查了函數(shù)零點問題，屬于中檔題．21．【分析】（1）利用兩角和與差的正弦函數(shù)、二倍角公式化簡