《電路分析基礎(chǔ)》課件第7章

7.1RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)

7.2RLC串聯(lián)電路在恒定激勵(lì)下的

零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)

7.3GCL并聯(lián)電路分析

7.4一般二階電路分析

7.5練習(xí)題及解答提示

習(xí)題7第7章二階電路分析二階微分方程描述的電路稱為二階電路。從電路結(jié)構(gòu)來(lái)看，二階電路包含有兩個(gè)獨(dú)立的動(dòng)態(tài)元件。這兩個(gè)動(dòng)態(tài)元件可以性質(zhì)相同(如兩個(gè)L或兩個(gè)C)，也可以性質(zhì)不同(如一個(gè)L和一個(gè)C)。二階電路的分析方法與一階電路并無(wú)不同，同樣是先建立描述電路激勵(lì)—響應(yīng)關(guān)系的微分方程，然后求解滿足初始條件的方程的解。全響應(yīng)等于零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的疊加。零輸入響應(yīng)是由非零初始狀態(tài)引起的；零狀態(tài)響應(yīng)是由外激勵(lì)引起的。由于二階電路的結(jié)構(gòu)和參數(shù)的不同，使電路的兩個(gè)固有頻率有不同負(fù)實(shí)數(shù)、相同負(fù)實(shí)數(shù)和共軛復(fù)數(shù)三種可能，從而形成不同的固有響應(yīng)的模式，這是與一階電路不同的地方。本章重點(diǎn)討論RLC串聯(lián)和并聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)，換路后恒定激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)，最后對(duì)一般二階電路進(jìn)行簡(jiǎn)單介紹。

在學(xué)習(xí)本章時(shí)，應(yīng)著重掌握微分方程的建立、固有頻率的意義及微分方程的求解步驟和方法。圖7-1為RLC串聯(lián)電路，t=0時(shí)開關(guān)S閉合。為了突出問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，在研究電路的零輸入響應(yīng)時(shí)，設(shè)電容初始電壓uC(0－)=U0，電感的初始電流iL(0－)=0。7.1RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)顯然，在初始時(shí)刻，能量全部?jī)?chǔ)存于電容中，電容將通過(guò)R、L放電，由于電路中有耗能元件R，且無(wú)外激勵(lì)補(bǔ)充能量，可以想像，電容的初始儲(chǔ)能將被電阻耗盡，最后電路各電壓、電流趨于零。但這與零輸入RC放電過(guò)程有所不同，原因是電路中有儲(chǔ)能元件L，電容在放電過(guò)程中釋放的能量除供電阻消耗外，部分電場(chǎng)能量將隨放電電流流經(jīng)電感被轉(zhuǎn)換成磁場(chǎng)能量而儲(chǔ)存于電感之中。同樣，電感的磁場(chǎng)能量除供電阻消耗外，也可能再次轉(zhuǎn)換為電容的電場(chǎng)能量，從而形成電場(chǎng)和磁場(chǎng)能量的交換。這種能量交換視R、L、C參數(shù)相對(duì)大小的不同可能反復(fù)多次，也可能構(gòu)不成能量反復(fù)交換。圖7-1RLC串聯(lián)電路

下面進(jìn)行定量的數(shù)學(xué)分析。設(shè)uC(0－)=U0，iL(0－)=I0。

在圖7-1所示電壓、電流參考方向下，由KVL，得

uL+uR+uC=0t>0

將元件的VCR，

代入上式，可以得到以u(píng)C為變量的二階線性常系數(shù)齊次微分方程，為

(7-1)為求得該微分方程的解，必須知道兩個(gè)初始條件uC(0+)和。第一個(gè)條件可直接由換路定則確定，即uC(0+)=uC(0－)=U0。第二個(gè)條件可由換路定則i(0+)=iL(0+)=

iL(0－)=I0以及電容元件的VCR確定，即

因此，只要知道電路的初始狀態(tài)uC(0－)及iL(0－)，即可定出電路的兩個(gè)初始條件，進(jìn)而確定響應(yīng)uC(t)。由微分方程理論可知，式(7-1)的解答形式將視特征根的性質(zhì)而定。

特征方程為

LCS2+RCS+1=0

其特征根為

式(7-2)表明，特征根由電路本身的參數(shù)R、L、C的數(shù)值決定，反映了電路的固有特性，且具有頻率的量綱，與一階電路類似，稱為電路的固有頻率。電路的固有頻率將決定電路響應(yīng)的模式。由于R、L、C相對(duì)數(shù)值不同，因此電路的固有頻率可能出現(xiàn)以下三種情況：(7-2)

(1)當(dāng)即時(shí)，S1、S2為不相等的負(fù)實(shí)數(shù)；

(2)當(dāng)即時(shí)，S1、S2為相等的負(fù)實(shí)數(shù);

(3)當(dāng)即時(shí)，S1、S2為共軛復(fù)數(shù)。

具有電阻的量綱，稱為RLC串聯(lián)電路的阻尼電阻，記為Rd，即

(7-3)當(dāng)串聯(lián)電阻R大于、等于或小于阻尼電阻時(shí),分別稱為過(guò)阻尼、臨界阻尼和欠阻尼情況。下面主要在uC(0－)=U0和iL(0－)=0的假設(shè)條件下分別討論這三種情況。從該分析方

法中不難推廣得出,對(duì)于uC(0－)和iL(0－)為任意值的零輸入響應(yīng)的變化規(guī)律，區(qū)別僅在于因初始條件不同其常數(shù)不同而已。7.1.1過(guò)阻尼情況

當(dāng)時(shí)，為過(guò)阻尼。此時(shí)電路的兩個(gè)固有頻率S1、S2為不相等的負(fù)實(shí)數(shù)，即

齊次方程的解為

(7-4)式中，常數(shù)A1和A2由初始條件確定。用t=0+代入式(7-4),得

uC(0+)=A1+A2=U0

聯(lián)立求解上述兩式，得

將A1、A2代入式(7-4)，得零輸入響應(yīng)uC(t)的表達(dá)式為

(7-5)電路的其他響應(yīng)為(7-6)(7-7)由前述α1、α2的表達(dá)式可知，α2>α1,故t>0時(shí)，

,且。所以，uC(t)在t>0

的所有時(shí)間內(nèi)均為正值；而i(t)在t>0的所有時(shí)間內(nèi)均為負(fù)值。這同時(shí)說(shuō)明，uC(t)的斜率始終為負(fù)值，即uC(t)始終單調(diào)下降直至趨于零。式(7-6)中，當(dāng)t＝0時(shí)，i(0)=0；t→∞時(shí)，i(∞)=0。這表明，i(t)將出現(xiàn)極值，可通過(guò)導(dǎo)數(shù)為零，即式(7-7)uL(t)＝0得到，即

故得

uC(t)、i(t)和uL(t)的波形如圖7-2所示。(7-8)圖7-2RLC串聯(lián)零輸入電路過(guò)阻尼情況下的電壓、電流波形分析圖7-2所示各電壓、電流波形可知，在整個(gè)過(guò)程中，uC單調(diào)下降，說(shuō)明電容始終處于放電狀態(tài)，且uC和i的方向相反，其瞬時(shí)功率pC=uCi<0，表明電容始終在釋放電場(chǎng)能量。但在0<t<tm期間，i和uL方向相同，其瞬時(shí)功率pL=uLi>0，表明電感吸收能量。在t=tm時(shí)，電感儲(chǔ)能達(dá)最大值。故在此期間，電容釋放的能量除一部分供電阻消耗外，另一部分轉(zhuǎn)換成磁場(chǎng)能量。在tm<t<∞期間，uL改變了方向，uL和i方向相反，其瞬時(shí)功率pL=uLi<0，表明電感釋放原先儲(chǔ)存的能量，電容和電感共同提供電阻的耗能，

最終被電阻耗盡，各電壓、電流均趨于零。電容這種單向性放電稱為非振蕩放電。因此，當(dāng)電路中電阻較大，符合條件的過(guò)阻尼情況時(shí)，響應(yīng)是非振蕩性的。

例7-1

如圖7-1所示RLC串聯(lián)電路，已知R=20Ω,

，L=2H，uC(0－)=3V，iL(0－)=0。試求t=0時(shí)開關(guān)S閉合后的uC(t)、i(t)和uL(t)。

解，因而電路為過(guò)阻尼情況。其固有頻率為

即－α1=－2，－α2=－8

故uC(t)=A1e－2t+A2e－8t

t>0

代入初始條件

得A1=4，A2=－1，

于是，得

uC(t)=4e－2t－e－8tVt>0

則7.1.2臨界阻尼情況

當(dāng)R=Rd=時(shí)，為臨界阻尼。此時(shí)固有頻率S1、S2為相等的負(fù)實(shí)數(shù)，即

齊次方程的解為

uC(t)=A1e－αt+A2te－αt

t>0(7-9)式中常數(shù)由初始條件確定。用t=0+代入式(7-9)，得

uC(0+)＝A1=U0

得

A2=U0α

將A1、A2代入式(7-9)，得零輸入響應(yīng)uC(t)的表達(dá)式為

uC(t)=U0(1+αt)e－αt

t>0(7-10)電路其他響應(yīng)為：

(7-11)(7-12)上述各式表明，此時(shí)電路仍處于非振蕩單向放電狀態(tài)。各響應(yīng)曲線如圖7-3所示，與圖7-2所示過(guò)阻尼情況相似，其能量轉(zhuǎn)換過(guò)程亦與之相同。由于R=恰是電路響應(yīng)

呈非振蕩與振蕩的分界線，故稱之為臨界振蕩情況。此時(shí)電阻R稱為臨界電阻,它等于阻尼電阻Rd。圖7-3中i(t)出現(xiàn)極值的時(shí)刻tm=。圖7-3RLC串聯(lián)零輸入電路臨界阻尼情況下的電壓、電流波形

例7-2

在圖7-1所示的RLC串聯(lián)電路中，已知R=10Ω,C=4mF，L=0.1H，uC(0－)=3V，iL(0－)=0.1A。試求t=0時(shí)開關(guān)S閉合后的uC(t)和i(t)。

解

R=10Ω=Rd=，因而電路為臨界阻尼情況。其固有頻率為

故uC(t)=(A1+A2t)e－50t

t>0代入初始條件

uC(0+)＝uC(0－)=3V

得

得A1=3，A2=175，于是，得

uC(t)=3e－50t+175te－50t

t>0

則

7.1.3欠阻尼情況

當(dāng)R<Rd=時(shí)，為欠阻尼。此時(shí)固有頻率S1、S2為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)，即

其中：

α=為振蕩電路的衰減系數(shù)；

ω0=為電路無(wú)阻尼自由振蕩角頻率或諧振角頻率；

ωd=為電路的衰減振蕩角頻率。

于是S1和S2可表示為

S1=－α+jωd，S2=－α－jωd齊次方程的解為

應(yīng)用歐拉公式ejx=cosx+jsinx，上式可表示為

uC(t)=e－αt

［(A1+A2)cosωdt+j(A1－A2)sinωdt］(7-13)令A(yù)1+A2=K1

j(A1－A2)=K2

則上式可表示為

uC(t)=e－αt(K1cosωdt+K2sinωdt)t>0(7-14)

上式也可寫成

uC(t)=Ke－αtcos(ωdt－θ)t>0(7-15)

式中：待定常數(shù)K1、K2或K、θ由初始條件確定。用t=0+代入式(7-14)，得

uC(0+)＝K1=U0

得因而有

或

式中，。ω0、ωd、α、θ之間的關(guān)系可用圖7-4所示直角三角形表示。t>0

(7-16)t>0

(7-17)圖7-4ω0、ωd、α、θ的關(guān)系電路的其他響應(yīng)為：

t>0

(7-18)t>0

(7-19)圖7-5給出了R<時(shí)的一組響應(yīng)。響應(yīng)有衰減振蕩的特性，稱為欠阻尼情況。響應(yīng)的振蕩幅度按指數(shù)規(guī)律衰減，圖中虛線構(gòu)成衰減振蕩的包絡(luò)線，振蕩幅度衰減的快慢取決于α的大小。α越小，則衰減得越慢，故稱α為衰減系數(shù)。而衰減振蕩又是按周期規(guī)律變化的，振蕩周期T=。衰減振蕩角頻率ωd越大，振蕩周期T越小，振蕩就越快。圖7-5RLC串聯(lián)零輸入電路欠阻尼情況下的電壓、電流波形在欠阻尼情況下，由于電阻比較小，因而電容中的電場(chǎng)能量與電感中的磁場(chǎng)能量之間存在多次能量交換。由圖7-5可知，在0<t<t1期間，uC從最大值U0開始下降，uC和i的方向相反，電容瞬時(shí)功率p=uCi<0，表明電容釋放電場(chǎng)能量；而uL和i的方向相同，電感瞬時(shí)功率pL=uLi>0,表明電感吸收能量。在此期間，電容釋放的電場(chǎng)能量一部分

供給電阻消耗，另一部分轉(zhuǎn)換成電感的磁場(chǎng)能量。在t1<t<t2期間，uC繼續(xù)下降，這時(shí)uC、i

和uL、i的方向均相反，表明pC<0，pL<0，在此期間，電容和電感均釋放能量共同提供電阻的耗能。在t2<t<t3期間，電容反向充電，這時(shí)uC和i的方向相同，而uL和i的方向相反，表明pC>0，pL<0，在此期間，電感繼續(xù)釋放磁場(chǎng)能量，一部分供給電阻消耗，另一部分轉(zhuǎn)換為電容的電場(chǎng)能量。在t=t3時(shí)，i=0,此時(shí)電感磁場(chǎng)能量已釋放完畢，而電容反向充電完畢。至此，電場(chǎng)能和磁場(chǎng)能完成了一次交換。t>t3以后，又重復(fù)前面的過(guò)程，直至電容初始儲(chǔ)能被電阻全部耗盡，電路中各電壓、電流均趨于零。因此，當(dāng)符合R<Rd=的欠阻尼情況時(shí)，響應(yīng)是衰減振蕩的。在R=0時(shí)，響應(yīng)將是等幅振蕩的。R=0是欠阻尼情況的特例，這時(shí)

，

。固有頻率S1、S2為一對(duì)共軛虛數(shù)，為

S1=jω0，S2=－jω0

由式(7-16)可知,uC(t)的表達(dá)式為

uC(t)=U0cosω0t

t>0(7-20)由式(7-18)、(7-19)，可分別得到i(t)和uL(t)為

R=0時(shí)電路各響應(yīng)曲線如圖7-6所示，各響應(yīng)均作無(wú)阻尼等幅振蕩，角頻率ω0稱為自由振蕩角頻率。由于電路中沒有能量消耗，故電容和電感之間不斷進(jìn)行電場(chǎng)能量和磁場(chǎng)能量的交換。振蕩一經(jīng)形成，就將一直持續(xù)下去。t>0(7-22)t>0(7-21)圖7-6LC零輸入電路無(wú)阻尼時(shí)的電壓、電流波形

例7-3

電路如圖7-7所示，Us=4V，Rs=3Ω,R=1Ω，C=1F，L=1H，電路原已穩(wěn)定。t=0時(shí)開關(guān)S打開，試求uC(t)和iL(t)。

解已知電路原已穩(wěn)定，得

iL(0－)=1A

uC(0－)=1V

t>0時(shí)為RLC串聯(lián)零輸入電路,其固有頻率為

圖7-7例7-3題圖為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)，電路響應(yīng)將呈現(xiàn)振蕩型，得

式中常數(shù)由初始條件確定。由換路定則得

iL(0+)＝iL(0－)=1AuC(0+)＝uC(0－)=1V

在圖示參考方向下，

故t=0+時(shí)

uC(0+)＝K1=1

得

將K1、K2代入，得

RLC串聯(lián)零輸入電路中，電阻R從大到小變化，電路工作狀態(tài)從過(guò)阻尼、臨界阻尼到欠阻尼變化，直到R=0時(shí)為無(wú)阻尼狀態(tài)。圖7-8以電路中電流i(t)為例，形象地繪出

了電阻改變對(duì)電路響應(yīng)的影響。其中,電阻從R1至R4＝0依次為過(guò)阻尼至無(wú)阻尼狀態(tài)。

綜上所述，電路零輸入響應(yīng)的模式僅取決于電路的固有頻率，因而與初始條件無(wú)關(guān)。此結(jié)論可推廣到任意高階電路。圖7-8阻尼改變時(shí)i(t)波形的變化

恒定激勵(lì)下，R、L、C串聯(lián)電路如圖7-9所示，t=0時(shí)，開關(guān)S閉合，us(t)=Us。由KVL和元件的VCR可得關(guān)于uC的微分方程為

7.2RLC串聯(lián)電路在恒定激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)(7-23)式(7-23)是二階常系數(shù)線性非齊次微分方程，它的完全解由齊次方程的通解uCh和非齊次方程的特解uCp(t)組成，即

uC(t)＝uCh(t)+uCp(t)通解uCh(t)為響應(yīng)的固有分量，其模式由電路的固有頻率決定，即由R、L、

C的大小決定，可分為過(guò)阻尼、臨界阻尼和欠阻尼三種情況。特解uCp(t)為響應(yīng)的強(qiáng)制分量，

與激勵(lì)同模式，為常量。設(shè)uCp(t)=K，代入式(7-23)，得uCp(t)=Us。因此在恒定激勵(lì)下，不論是零狀態(tài)下的零狀態(tài)響應(yīng)，還是非零狀態(tài)下的完全響應(yīng)，與零輸入電路一樣，根據(jù)電路R、L、C之間的相互關(guān)系，uC(t)亦可分為下述三種情況。

若uC(0－)=0,iL(0－)=0,則所求uC(t)為零狀態(tài)響應(yīng)，否則，uC(t)為全響應(yīng)。圖7-9恒定激勵(lì)下的RLC串聯(lián)電路

1．過(guò)阻尼情況

當(dāng)R>

(即α>ω0)時(shí)，為過(guò)阻尼情況。此時(shí)，

,為兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根，響應(yīng)uC(t)可表示為

(7-24)

2.臨界阻尼情況

當(dāng)R=

(即α=ω0)時(shí)，為臨界阻尼情況。此時(shí)，S1，2=－α，為兩個(gè)相等的負(fù)實(shí)數(shù)，響應(yīng)uC(t)可表示為

uC(t)=(A1+A2t)e－αt+Us

t>0(7-25)

3.欠阻尼情況

當(dāng)R<

(即α<ω0)時(shí)，為欠阻尼情況。此時(shí)，

,為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)，響應(yīng)uC(t)可表示為

uC(t)=e－αt(A1cosωdt+A2sinωdt)+Us

t>0(7-26)

上式也可寫成

uC(t)=Ke－αtcos(ωdt－θ)+Us

t>0

(7-27)式(7-24)、式(7-25)、式(7-26)和式(7-27)中的常數(shù)A1、A2或K、θ由初始條件uC(0+)和來(lái)確定。若uC(0－)=0，iL(0－)=0，則電路為零狀態(tài)響應(yīng)。若uC(0－)與iL(0－)兩者至少有一個(gè)不為零，則為全響應(yīng)。

例7-4

電路如圖7-10所示，已知R1=3Ω，R2=1Ω，L=1H，C=0.25F，電路原已穩(wěn)定。t=0時(shí)開關(guān)S打開，試求t>0時(shí)的uC(t)和iL(t)。

圖7-10例7-2題圖

解電路原已穩(wěn)定，在恒定激勵(lì)下，電感可視做短路，電容可視做開路，得

uC(0－)=3V

t=0時(shí)開關(guān)S打開，為RLC串聯(lián)電路，由換路定則得uC(0+)=uC(0－)=3V，iL(0+)=iL(0－)=1A。由，得S1,2=－2，為兩個(gè)相等的負(fù)實(shí)數(shù)，是臨界阻尼情況。t→∞電路達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)，電容開路，電感短路，得

uCp(t)=uC(t)|t→∞=6V故全響應(yīng)為uC(t)=(A1+A2t)e－2t+6t≥0

t=0+時(shí)，uC(0+)=A1+6=3

解得

A1=－3,A2=－2

故uC(t)=6－(3+2t)e－2tVt≥0

例7-5

電路如圖7-9所示，已知R=1Ω，L=1H，

C=1F，us(t)=Us=1V，uC(0－)=0，i(0－)=iL(0－)=0。試

求t>0時(shí)的uC(t)。

解

Rd=

=2Ω，R=1Ω<Rd，電路是欠阻尼情況。

特征根為共軛復(fù)數(shù),即

強(qiáng)制響應(yīng)分量為

uCp=Us=1V

故

代入初始條件

uC(0+)=A1+1=0

解得

故零狀態(tài)響應(yīng)為

GCL并聯(lián)電路如圖7-11所示。顯然，它是圖7-9所示電路的對(duì)偶電路。因此，RLC串聯(lián)電路分析中的方程、響應(yīng)公式和結(jié)論，經(jīng)過(guò)對(duì)偶轉(zhuǎn)換就成了GCL并聯(lián)電路的方程、響應(yīng)公式和結(jié)論。下面對(duì)GCL并聯(lián)電路作簡(jiǎn)要介紹。7.3GCL并聯(lián)電路分析

圖7-11GCL并聯(lián)電路

t=0時(shí)，開關(guān)S打開，is(t)=Is。由式(7-23)可對(duì)偶得到關(guān)于iL的微分方程為

由式(7-3)可對(duì)偶得到GCL并聯(lián)電路的阻尼電導(dǎo)為t>0(7-28)

式(7-29)可用來(lái)對(duì)響應(yīng)形式作出判斷。若G>Gd，則為過(guò)阻尼(非振蕩型)；若G=Gd，則為臨界阻尼(非振蕩型)；若G<Gd，則為欠阻尼(衰減振蕩型)；若G=0，則為無(wú)

阻尼(等幅振蕩型)。

過(guò)阻尼、臨界阻尼和欠阻尼三種情況下的響應(yīng)形式分別如下。(7-29)

1.過(guò)阻尼情況

此時(shí)G>，固有頻率S1、S2為兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)數(shù)，即

響應(yīng)為非振蕩型的。響應(yīng)iL與式(7-24)對(duì)偶，(7-30)

2.臨界阻尼情況

此時(shí)G=

,固有頻率S1、S2為兩個(gè)相等的負(fù)實(shí)數(shù)，即

S1,2=－α

響應(yīng)也為非振蕩型的。響應(yīng)iL與式(7-25)對(duì)偶，為

iL(t)=(A1+A2t)e－αt+Is

t≥0(7-31)

3.欠阻尼情況

此時(shí)G<，固有頻率S1、S2為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)，即

S1,2=－α±jωd

其中：，，。響應(yīng)iL為振蕩型的，與式(7-27)對(duì)偶，為

iL(t)=Ke－αtcos(ωdt－θ)+Is

t≥0(7-32)

G=0是欠阻尼情況的特例，這時(shí)S1，2=±jω0。響應(yīng)iL為

iL(t)=Is－Iscosω0t

t≥0(7-33)

式(7-30)、式(7-31)和式(7-32)中的常數(shù)A1、A2或K、θ由初始條件來(lái)確定。設(shè)電路的初始狀態(tài)為uC(0－)=U0，iL(0－)=I0，則初始條件為iL(0+)=iL(0－)=I0，。待定常數(shù)確定后，就得到恒定激勵(lì)下的全響應(yīng)iL(t)。當(dāng)Is=0時(shí)，響應(yīng)iL(t)即為零輸入響應(yīng)；當(dāng)初始狀態(tài)為零，即uC(0－)=0和iL(0－)=0時(shí)，得到的響應(yīng)即為恒定激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)。

例7-6

如圖7-11所示GCL并聯(lián)電路，已知G=20S，

，C=2F，uC(0－)=0，iL(0－)=3A。試分別求下列兩種情況下t>0時(shí)的iL(t)和u(t)：(1)Is=0；(2)Is=1.5A。

解由于G=20S>Gd=

=16S，因而電路為過(guò)阻尼情況。其固有頻率為

故iL(t)=A1e－2t+A2e－8t+Is

t>0(1)將Is=0代入初始條件,得

iL(0+)＝A1+A2+Is=3

得A1=4，A2=－1，于是，得

iL(t)=4e－2t－e－8tAt>0

則

可以看出,此解完全可由例7-1的解i(t)對(duì)偶得到。

(2)將Is=1.5A代入初始條件,得

iL(0+)＝A1+A2+Is=3

得A1=2，A2=－0.5,于是，得

iL(t)=2e－2t－0.5e－8t+1.5At>0

則

例7-7

GCL并聯(lián)電路和激勵(lì)is(t)的波形分別如圖7-12(a)和(b)所示，G=6S，C=0.2F，L=25mH,試求零狀態(tài)響應(yīng)的iL(t)和uL(t)。

圖7-12例7-7題圖

解

(1)由于輸入is(t)是分段常量，因此先求階躍響應(yīng)。

，電路為過(guò)阻尼情況，固有頻率為S1,2=－15±5。

在求階躍響應(yīng)時(shí)，輸入為階躍信號(hào)，且電路初始狀態(tài)為零，即t>0時(shí)，Is=1，且uC(0－)=0，iL(0－)=0。所以，引用式(7-30)，得電感電流階躍響應(yīng)為

代入初始條件,得

iL(0+)＝A1+A2+1=0

得A1=－2，A2=1,于是，得

電感電壓的階躍響應(yīng)為

(2)is(t)=2ε(t－2)－2ε(t－4)A

(3)零狀態(tài)響應(yīng)

RLC串聯(lián)電路和GCL并聯(lián)電路是結(jié)構(gòu)形式最簡(jiǎn)單的二階電路。對(duì)于任意結(jié)構(gòu)形式的一般二階電路，其電路激勵(lì)—響應(yīng)關(guān)系仍然是二階常系數(shù)線性微分方程，故其分析方法并無(wú)區(qū)別，現(xiàn)舉例說(shuō)明。7.4一般二階電路分析

例7-8

電路如圖7-13所示，開關(guān)S在t=0時(shí)閉合，已知L=1H，C=1F，R1=R2=1Ω，uC(0－)=1V，iL(0－)=1A，Us=10V。求t>0時(shí)的uC(t)、iL(t)。

圖7-13例7-8題圖

解列寫電路方程。換路后由KVL，得

(1)

(2)

由式(2)得

代入式(1)，得

整理后得

將已知參數(shù)代入上式，得

特征方程為

S2+2S+2=0

特征根

在恒定激勵(lì)下，強(qiáng)制響應(yīng)為常量，設(shè)uCp(t)=K，代入方程，或畫出t→∞時(shí)的等效電路，均可得uCp(t)=uC(∞)=

5V。故得uC的解為

uC(t)=e－t(K1cost+K2sint)+5

式中常數(shù)K1、K2由初始條件決定。由換路定則得uC(0+)=

uC(0－)=1V，iL(0+)=iL(0－)=1A，而。故需畫出t=0+的等效電路如圖7-14所示，從中求出iC(0+)，得

iC(0+)=8A則得

取t=0+，得

解得K1=－4，K2=4，故

uC(t)=5－4e－t(cost－sint)Vt≥0

類似地，iL(t)的解為

iL(t)=e－t(K1cost+K2sint)+iLp(t)

其中iLp(t)=iL(∞)=5A。故

iL(t)=e－t(K1cost+K2sint)+5圖7-14圖7-13電路t=0+時(shí)的等效電路初始條件iL(0+)=1，在圖7-14所示t=0+等效電路中可求得uL(0+)=0，則

取t=0+，得

iL(0+)=K1+5=1

解得K1=－4，K2=－4，于是得

iL(t)=5－4e－t(cost+sint)At≥0應(yīng)該指出，由R、L、C元件組成的一般二階電路，當(dāng)R、L、C元件參數(shù)不同時(shí)，其固有頻率亦有不相等負(fù)實(shí)數(shù)、相等負(fù)實(shí)數(shù)和共軛復(fù)數(shù)三種可能，故其響應(yīng)亦有非振蕩、

振蕩之分。但對(duì)于無(wú)受控源的RL或RC二階電路來(lái)說(shuō)，固有頻率只可能是不相等的負(fù)實(shí)數(shù)，故其電路固有響應(yīng)只可能是非振蕩型的。從物理概念上講，同類動(dòng)態(tài)元件不可能出現(xiàn)電場(chǎng)能量與磁場(chǎng)能量交換的電磁振蕩過(guò)程。

例7-9

RC二階電路如圖7-15所示，t=0時(shí)開關(guān)S閉合，試列寫響應(yīng)為u2的微分方程，并證明響應(yīng)必然是非振蕩型的。圖7-15

解換路后，由KVL得

(1)

(2)將式(2)代入式(1)，得

整理后，微分方程為

得特征方程為

R1R2C1C2S2+(R1C1+R1C2+R2C2)S+1=0

特征根為

特征根的判別式為

(R1C1+R1C2+R2C2)2－4R1R2C1C2

=(R1C1+R2C2)2+2R1C2(R1C1+R2C2)+(R1C2)2－4R1R2C1C2

=(R1C1－R2C2)2+2R1C2(R1C1+R2C2)+(R1C2)2

上式表明，元件各參數(shù)為正值，判別式必然大于零，即固有頻率S1、S2總是不相等的負(fù)實(shí)數(shù)，其固有響應(yīng)總是非振蕩型的。

1.RLC串聯(lián)電路如圖7-1所示，已知R=1.5Ω，L=0.5H，C=1F,uC(0－)=2V,iL(0－)=1A。試求t>0時(shí)的uC(t)、iL(t)和uL(t)的零輸入響應(yīng)。

提示：先列出以u(píng)C(t)為變量的二階微分方程，并求出uC(t)。再按電容的VCR求出iC(t)，則串聯(lián)電路iL(t)=iC(t)。最后由電感的VCR求出uL(t)。

［uC(t)=5e－t－3e－2tV，t>0

iL(t)=－5e－t+6e－2tA，t>0uL(t)=2.5e－t－6e－2tV,t>0］7.5練習(xí)題及解答提示

2.電路如圖7-16所示，已知us(t)=3ε(t),uC(0－)=0,

iL(0－)=0。試求t>0時(shí)的uC(t)和iL(t)。

提示：t>0時(shí)，該電路響應(yīng)成為恒定激勵(lì)(Us=3V)下的零狀態(tài)響應(yīng)問(wèn)題，響應(yīng)形式為uC(t)=A1e－2t+A2e－5t+3，t≥0，代入初始條件，即可求得結(jié)果。

［uC(t)=(－5e－2t+2e－5t+3)ε(t)V

iL(t)=(e－2t－e－5t)ε(t)A］

圖7-16

3.上題中，若uC(0－)=6V,iL(0－)=0，其它條件不變。試再求t>0時(shí)的uC(t)和iL(t)。

提示：解法與上題完全一樣，僅初始條件不同而已。代入相應(yīng)初始條件，得出相應(yīng)的解。由于這些解是全響應(yīng)，含有零輸入響應(yīng)分量，因此，響應(yīng)后面應(yīng)加t>0，而

不是ε(t)。

［uC(t)=5e－2t－2e－5t+3V，t>0

iL(t)=－e－2t+e－5tA,t>0］

4.如圖7-17所示電路，假定開關(guān)S接15V電壓源已久，在t=0時(shí)改與10V電壓源接通，試求i(t)，t≥0。

提示：先由換路前的穩(wěn)定狀態(tài)，求出初始狀態(tài)。換路后，將10V電壓源與電阻的串聯(lián)支路等效為諾頓電路，可得到標(biāo)準(zhǔn)的GCL并聯(lián)電路，且為臨界阻尼情況，再求得全響應(yīng)。

［i(t)=(1+500t)e－500t－0.4A，t≥0］圖7-17

5.如圖7-18所示，已知電路響應(yīng)uC(t)=5e－2t+4e－5t+10V，試求R、L、A。

提示：根據(jù)電容元件的VCR，可由uC(t)算出回路電流，再對(duì)回路列KVL方程并整理，得到［2L－R+5(A+1)］e－2t+［10L－2R+4(A+1)］e－5t+10(A+1)=5。方程兩邊各項(xiàng)應(yīng)對(duì)