《電路分析基礎(chǔ)》課件1第11章

11.1電路的頻率響應(yīng)

11.2一階RC電路的頻率特性

11.3RLC串聯(lián)諧振電路

11.4并聯(lián)電路的諧振第11章電路的頻率特性

1.網(wǎng)絡(luò)函數(shù)

電路的頻率特性用正弦穩(wěn)態(tài)電路的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)來描述。

所謂網(wǎng)絡(luò)函數(shù)是指：對(duì)如圖11-1所示的單輸入、

單輸出電路，在頻率為ω的正弦激勵(lì)下，正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)相量與激勵(lì)相量之比，記為H(jω)，即

(11-1)11.1電路的頻率響應(yīng)圖11-1單輸入單輸出電路示意圖網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(jω)體現(xiàn)了單位激勵(lì)相量作用下，響應(yīng)相量隨ω變化的情況，一般是ω的復(fù)值函數(shù)，可寫為

H(jω)=H(ω)ejφ(ω)

(11-2)

如圖11-2所示為某共射放大器的幅頻特性曲線和相頻特性曲線示意圖。圖11-2某共射放大器的幅頻特性和相頻特性曲線示意圖根據(jù)響應(yīng)與激勵(lì)對(duì)應(yīng)關(guān)系的不同，網(wǎng)絡(luò)函數(shù)有多種不同的具體含義。

(1)當(dāng)響應(yīng)與激勵(lì)在電路的同一端口時(shí)，網(wǎng)絡(luò)函數(shù)稱為策動(dòng)點(diǎn)函數(shù)，包括：

策動(dòng)點(diǎn)阻抗：

策動(dòng)點(diǎn)導(dǎo)納：

分別如圖11-3(a)、(b)所示。策動(dòng)點(diǎn)阻抗和策動(dòng)點(diǎn)導(dǎo)納即電路的輸入阻抗和輸入導(dǎo)納，它們互為倒數(shù)。

(2)當(dāng)響應(yīng)與激勵(lì)在電路的不同端口時(shí)，網(wǎng)絡(luò)函數(shù)稱為轉(zhuǎn)移函數(shù)或傳輸函數(shù)，包括：

轉(zhuǎn)移阻抗：

轉(zhuǎn)移導(dǎo)納：

電壓傳輸函數(shù)：

電流傳輸函數(shù)：

分別如圖11-3(c)~(f)所示。其中，轉(zhuǎn)移阻抗和轉(zhuǎn)移導(dǎo)納分別具有阻抗和導(dǎo)納的量綱，而電壓傳輸函數(shù)和電流傳輸函數(shù)沒有量綱，但它們分別代表了電路的電壓放大倍數(shù)和電流放大倍數(shù)。一般情況下，若無需嚴(yán)格區(qū)分時(shí)，皆可用網(wǎng)絡(luò)函數(shù)來表示，但此時(shí)要注意它們的不同物理意義。若已知電路的激勵(lì)和網(wǎng)絡(luò)函數(shù)，根據(jù)式(11-1)就可以很方便地求得電路的響應(yīng)。圖11-3六種網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的定義圖示可以從另一個(gè)角度去理解網(wǎng)絡(luò)函數(shù)。根據(jù)式(11-1)有

(11-3)

從系統(tǒng)分析的角度來說，電路對(duì)信號(hào)的作用相當(dāng)于一種數(shù)學(xué)運(yùn)算。那就是對(duì)每一個(gè)輸入的正弦信號(hào)分別做幅度加權(quán)(運(yùn)算)和相位加權(quán)(運(yùn)算)，而不同頻率的輸入信號(hào)所獲得的加權(quán)系數(shù)是不一樣的。其運(yùn)算關(guān)系可根據(jù)式(11-3)而得到：

(11-4)

2.電路的選頻特性(濾波)

由電路的頻率特性可知，電路對(duì)不同頻率輸入信號(hào)的幅度響應(yīng)是不一樣的。正因如此，一些頻率的信號(hào)可能會(huì)得到增強(qiáng)，而另一些頻率的信號(hào)可能被削弱。也就是說，電路具有頻率選擇性。如果利用電路的這一特性，合理選擇電路元件及參數(shù)，正確設(shè)計(jì)元件的連接和電路結(jié)構(gòu)，就能構(gòu)造一種電路，這種電路能使處于某個(gè)頻率范圍的輸入信號(hào)得到輸出，而其他頻率的信號(hào)被阻斷，這種電路叫選頻電路。許多通過電信號(hào)進(jìn)行通信的設(shè)備，如收音機(jī)、電視、衛(wèi)星等都需要選頻電路。選頻電路也叫濾波器，因?yàn)樗転V除某些頻率的信號(hào)。從輸入端到輸出端，能夠通過濾波器的信號(hào)的頻帶寬度叫通頻帶。頻率處于這個(gè)頻帶之外的信號(hào)將被電路有效地削弱并阻止，從而不能在輸出端輸出，我們把不在電路通頻帶內(nèi)的頻率范圍稱為阻帶。濾波器就是按其通頻帶的位置來分類的。通用的濾波器主要有四種，分別為低通、高通、帶通和帶阻濾波器，其理想的幅頻特性曲線如圖11-4所示?？梢姡l率在阻帶內(nèi)的信號(hào)是被理想濾波器嚴(yán)格阻斷的，其通帶與阻帶的交界點(diǎn)頻率稱為截止頻率。低通和高通濾波器只有一個(gè)截止頻率。其中低通濾波器可讓低于截止頻率的信號(hào)通過；即阻止高于截止頻率的信號(hào)通過；高通濾波器則正好相反。帶通和帶阻濾波器有兩個(gè)截止頻率。其中帶通濾波器可讓頻率處于兩個(gè)截止頻率之間的信號(hào)通過；帶阻濾波器則正好相反。圖11-4只給出了四種理想濾波器的幅頻特性曲線，至于相頻特性，為避免失真，在通頻帶內(nèi)應(yīng)為線性關(guān)系。這一點(diǎn)將在后續(xù)課程中得到詳盡論述，本書不做討論。圖11-4四種理想濾波器的幅頻特性

1．一階RC低通濾波

如圖11-5(a)所示RC串聯(lián)電路，為輸入。若以電容電壓為響應(yīng)，得網(wǎng)絡(luò)函數(shù):

(11-5)11.2一階RC電路的頻率特性其幅頻特性和相頻特性分別為

(11-6)

由上式有

當(dāng)ω=0時(shí)，H(ω)=1，φ(ω)=0

當(dāng)時(shí)，，;

當(dāng)ω→∞時(shí)，H(ω)→0，。

畫出對(duì)應(yīng)幅頻特性和相頻特性曲線,分別如圖11-5(b)、(c)所示，其中τ=RC，為一階RC電路的時(shí)間常數(shù)。圖11-5(b)顯示，此RC電路對(duì)低頻信號(hào)衰減較小，對(duì)高頻信號(hào)則衰減較大，具有低通濾波特性。圖11-5一階RC低通濾波器及幅頻、相頻特性曲線工程上認(rèn)為，輸出信號(hào)幅值大于最大輸出信號(hào)幅值的的這部分信號(hào)能順利通過網(wǎng)絡(luò)，而小于最大輸出信號(hào)幅值的

的這部分信號(hào)被電路較大衰減，不易通過網(wǎng)絡(luò)。因此定義，輸出為最大輸出的所對(duì)應(yīng)的頻率為通帶與阻帶的分界點(diǎn)，即截止頻率，以ωc表示。在此，當(dāng)時(shí)，

。因此，一階RC低通濾波電路的截止頻率

，0~ωc的頻率范圍為通帶，大于ωc的頻率范圍為阻帶。由于網(wǎng)絡(luò)的輸出功率與輸出電壓(或電流)的平方成正比，當(dāng)ω=ωc時(shí)，輸出電壓為最大輸出電壓的，輸出功率是最大輸出功率的一半。因此，ωc又稱為半功率點(diǎn)頻率，對(duì)應(yīng)通頻帶也叫半功率點(diǎn)帶寬。

2.一階RC高通濾波

若將圖11-5(a)所示RC串聯(lián)電路改為以電阻電壓為輸出，如圖11-6(a)所示，則網(wǎng)絡(luò)函數(shù)為

(11-7)

其幅頻特性和相頻特性分別為

(11-8)當(dāng)ω=0時(shí)，H(ω)=0，;

當(dāng)時(shí)，，;

當(dāng)ω→∞時(shí)，H(ω)→1，φ(ω)→0。

對(duì)應(yīng)的幅頻特性和相頻特性曲線分別如圖13-6(b)、(c)所示。顯然，此RC電路具有高通濾波特性。其截止頻率(半功率點(diǎn)頻率)，0~ωc的頻率范圍為阻帶，大于ωc的頻率范圍為通帶。圖11-6一階RC高通濾波器及幅頻、相頻特性曲線

1.諧振現(xiàn)象

根據(jù)物理學(xué)力學(xué)知識(shí)，大家都十分熟悉物體的一種固有現(xiàn)象——共振現(xiàn)象，即當(dāng)外加力的頻率與物體固有頻率達(dá)到一致時(shí)，物體將發(fā)生共振，此時(shí)物體震動(dòng)幅度最大。共振現(xiàn)象有時(shí)會(huì)造成很大的危害。那么在電學(xué)中，電路是否也會(huì)發(fā)生類似的現(xiàn)象呢？11.3RLC串聯(lián)諧振電路為說明這個(gè)問題，首先我們來做一個(gè)實(shí)驗(yàn)。對(duì)如圖11-7(a)所示的RLC串聯(lián)電路，設(shè)正弦電源us(t)=Umcos(ωt+φ)V，以電路電流i(t)為輸出。保持電源振幅(有效值)不變，由低到高改變電源頻率，測量輸出電流幅度，可以得到如圖11-7(b)所示的電流幅值隨信號(hào)頻率變化的頻率特性曲線。由圖可以看出，當(dāng)輸入信號(hào)頻率達(dá)到某個(gè)頻率ω0時(shí)，電流幅度最大。進(jìn)一步實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，ω0只與電路參數(shù)L和C的值有關(guān)。也就是說，ω0只由電路的結(jié)構(gòu)和參數(shù)決定，即ω0是電路的固有頻率。這與力學(xué)中的共振現(xiàn)象十分相似，我們稱之為諧振現(xiàn)象。當(dāng)外加激勵(lì)的頻率與電路的固有頻率相同時(shí)，電路發(fā)生諧振。圖11-7RLC串聯(lián)電路及其電流幅值隨頻率變化的模擬曲線

2.RLC串聯(lián)諧振電路阻抗分析

圖11-7(a)所示電路，其電流幅度隨輸入信號(hào)頻率的改變而改變的原因在于電路中電感和電容元件的電抗是頻率的函數(shù)。因此，首先分析電路的阻抗特性。畫圖11-7(a)的相量模型圖，如圖11-8所示。則電路的輸入阻抗為

(11-9)圖11-8圖10-7(a)的相量模型圖顯然，串聯(lián)諧振時(shí)有

解得諧振角頻率(頻率)為

(11-10)

3.RLC串聯(lián)電路諧振特性

RLC串聯(lián)電路諧振時(shí)有如下特性。

諧振時(shí)電路阻抗為純電阻：

Z0=R

(11-11)

此時(shí)，阻抗模最小：

|Z0|=|Z(jω)|min=R

(11-12)

阻抗角為

φZ0=0

(11-13)

諧振時(shí)電路電流為

(11-14)

與同相，且幅值達(dá)到最大：

(11-15)諧振時(shí)電路各元件電壓為

(11-16a)

(11-16b)

(11-16c)工程上定義串聯(lián)諧振時(shí)電感(或電容)電壓與激勵(lì)電壓幅度之比為諧振電路的品質(zhì)因數(shù)，用Q表示，即

(11-17)

品質(zhì)因數(shù)是一個(gè)無量綱的量，工程上稱為Q值。

4.RLC串聯(lián)電路頻率特性

我們以電阻電壓為輸出來分析圖11-7(a)串聯(lián)諧振電路的頻率特性(當(dāng)然也可以電流為輸出作分析，其結(jié)果是一致的)。由圖11-8有

電路網(wǎng)絡(luò)函數(shù)：

(11-18)其幅頻特性：

(11-19)

當(dāng)ω→0時(shí)，H(ω)→0；

當(dāng)ω→∞時(shí)，H(ω)→0；

當(dāng)時(shí)，H(ω)=1。

相應(yīng)的幅頻特性曲線(諧振曲線)如圖11-9所示。顯然，RLC串聯(lián)諧振電路的實(shí)質(zhì)是一個(gè)帶通濾波器，角頻率為ω0的輸入信號(hào)與電路發(fā)生諧振，得到最大輸出。而ω<ω0或ω>ω0的信號(hào)被電路不同程度地削弱了，偏離ω0越遠(yuǎn)，削弱程度越大，輸出越小。圖11-9RLC串聯(lián)電路的幅頻特性曲線令，得電路的截止頻率為

(11-20)其中ω1<ω0，稱為下半功率頻率(下截止頻率)；ω2>ω0，稱為上半功率頻率(上截止頻率)；ω0稱為濾波器的中心頻率，但ω0并非ω1與ω2的中心點(diǎn)，而是表明ω1和ω2是在這個(gè)頻率上下輸出下降為最大輸出的70.7%所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)頻率。ω1與ω2的差值即濾波器的通頻帶，通頻帶用BW表示。由式(11-20)有

(11-21)由于，故

(11-22)

圖11-10給出了幾種不同Q值下的諧振曲線。事實(shí)上，品質(zhì)因數(shù)就是用以衡量電路頻率選擇性(品質(zhì))優(yōu)劣的一個(gè)參數(shù)。Q值與電路電阻R成反比，在保證諧振點(diǎn)不變的情況下(即L、C固定)，要想得到較高Q值，必須減小串聯(lián)諧振電路電阻阻值。圖11-10幾種不同Q值下的諧振曲線

5.失諧和失諧量計(jì)算

當(dāng)輸入信號(hào)us的頻率ω與電路諧振頻率ω0不一致時(shí)，稱為失諧。此時(shí)電路的電流和電壓分別稱為失諧電流、失諧電壓。顯然，它們比諧振電流和諧振電壓要小，失諧越嚴(yán)重(ω偏離ω0越大)，則失諧電流、失諧電壓越小。工程上用η=ω／ω0來衡量ω偏離ω0的程度，并在以η為橫坐標(biāo)的坐標(biāo)系下研究電路的諧振曲線及計(jì)算失諧量。下面我們加以討論。

由電路的幅頻特性式(11-19)有

根據(jù)式(11-17)，即，得

(11-23)

令，可得

(11-24)在電路諧振時(shí)，有UR0=Us，I0=Us/R。設(shè)電路失諧時(shí)失諧電壓為UR、失諧電流為I，則失諧電壓與諧振電壓之比為

(11-25)

失諧電流與諧振電流之比為

(11-26)

【例11-1】如圖11-11所示串聯(lián)諧振電路，已知Q=150,L=324μH,C=362pF,接收到信號(hào)有效值Us1=Us2=1mV,f1=465kHz，f2=600kHz。求兩信號(hào)的電流值。

解圖11-11例11-1圖可見，電路與信號(hào)us1發(fā)生諧振，故其電流

信號(hào)us2處于失諧狀態(tài)，其電流為

1.GLC并聯(lián)諧振電路

與RLC串聯(lián)諧振電路類似，GLC并聯(lián)電路也具有諧振特性。由于兩電路存在對(duì)偶關(guān)系，所以，其諧振特性也是對(duì)偶的。

如圖11-12所示GLC并聯(lián)電路，在激勵(lì)作用下，以電壓為輸出，得電路的等效導(dǎo)納為

(11-27)11.4并聯(lián)電路的諧振圖11-12GLC并聯(lián)諧振電路顯然，當(dāng)時(shí)，電納B<0，電路呈感性；在

時(shí)，電納B>0，電路呈容性；當(dāng)ω為某頻率ω0時(shí)，會(huì)使，電納B=0，電路呈電導(dǎo)性。此時(shí)，Y(jω)=G，電路處于諧振狀態(tài)。諧振時(shí)有

諧振角頻率(頻率)為

(11-28)

GLC并聯(lián)電路諧振時(shí)有如下特性。

諧振時(shí)電路導(dǎo)納為純電導(dǎo)：

Y0=G

(11-29)

此時(shí)，導(dǎo)納模最小:

|Y0|=|Y(jω)|min=G

(11-30)

導(dǎo)納角為

φY0=0

(11-31)諧振時(shí)電路電壓為

(11-32)

與同相，且幅值達(dá)到最大：

(11-33)

諧振時(shí)電路各元件電流為

(11-34a)

(11-34b)

(11-34c)工程定義并聯(lián)諧振的品質(zhì)因數(shù)為諧振時(shí)電感(或電容)電流與激勵(lì)電流幅度之比，即

(11-35)

并聯(lián)諧振時(shí)有，電感和電容的并聯(lián)支路相當(dāng)于開路，但它們各自的電流都是的Q倍，故并聯(lián)諧振又稱為電流諧振。

由圖11-12可得GLC并聯(lián)諧振電路的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)為

(11-36)其幅頻特性為

(11-37)

與RLC串聯(lián)諧振電路相同，GLC并聯(lián)諧振電路同樣具有帶通濾波特性，其通頻帶為

(11-38)

失諧量與諧振量之比為

(11-39)

2.工程中的并聯(lián)諧振電路

工程中的并聯(lián)諧振電路是由電感線圈與電容器相并聯(lián)構(gòu)成的，由于線圈存在電阻，可看成電阻R與電感L的串聯(lián)，故實(shí)際的并聯(lián)諧振電路如圖11-13所示。

在條件適合時(shí)，可使電路端口電壓與電流同相位，即電路等效為電阻元件，此時(shí)電路發(fā)生并聯(lián)諧振。下面進(jìn)行討論。由圖11-13有

圖11-13工程中的并聯(lián)諧振電路令其虛部為零，即

解得

(11-40)

即電路的諧振頻率ω0。顯然，ω0應(yīng)為大于零的實(shí)數(shù)。故要求

解得

(11-41)也就是說，對(duì)圖11-13的并聯(lián)諧振電路，必須要求，此時(shí)電路才存在發(fā)生諧振的可能性。在滿足的條件下，當(dāng)激勵(lì)信號(hào)角頻率ω等于電路諧振頻率ω0,即等于

時(shí)，電路發(fā)生諧振。諧振時(shí)的電路等效導(dǎo)納為

將代入上式得

(11-43)(11-42)

實(shí)例阻抗測量——諧振法測量阻抗(Q表)

交流電橋應(yīng)用廣泛，但極少用于高頻元件的測量，主要是因?yàn)楦哳l時(shí)分布參數(shù)的影響難以在電橋平衡時(shí)得以消除。諧振法是測量阻抗的另一種基本方法，它是利用RLC串聯(lián)或GLC并聯(lián)諧振特性而建立的方法，其測量精度雖說不如電橋法高，但由于測量線路簡單方便，再加上高頻電路元件大多在調(diào)諧回路中使用，所以用諧振法進(jìn)行測量也比較符合其工作的實(shí)際情況，典型的諧振法測量儀器是高頻Q表。

Q表的工作頻率范圍相當(dāng)寬，可在高頻幾十kHz~幾百M(fèi)Hz的范圍內(nèi)測量電感線圈的Q值、電感量、分布電容，電容器的電容量、分布電感，電阻的阻值，回路