2024-2025學(xué)年山東省青島市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年山東省青島市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測試卷一、單選題（本大題共8小題）1．設(shè)直線：的傾斜角為，則的值為（

）A．2 B． C． D．2．已知直線平分圓的周長，則（

）A．2 B．1 C． D．43．已知直線的一個方向向量為，平面的一個法向量為，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．44．在四面體中，，若，則（

）A． B． C． D．5．已知橢圓：（）的離心率為，且點(diǎn)為橢圓的一個焦點(diǎn)，則橢圓與直線在第一象限的交點(diǎn)為（

）A． B． C． D．6．圓：與圓：的公切線的條數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．47．若雙曲線的右焦點(diǎn)到其漸近線的距離為，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．8．如圖，在棱長為2的正方體中，為線段的中點(diǎn)，為線段上的動點(diǎn)，則直線與直線所成角的余弦值的最大值為（）

A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知圓：，直線：（），則（）A．直線恒過定點(diǎn)B．直線與圓有兩個交點(diǎn)C．當(dāng)時，圓上恰有四個點(diǎn)到直線的距離等于1D．圓上的點(diǎn)到直線的最大距離是10．如圖，在棱長為2的正方體中，E為的中點(diǎn)，若一點(diǎn)P在底面內(nèi)（包括邊界）移動，且滿足，則（

）A．與平面的夾角的正弦值為 B．點(diǎn)到的距離為C．線段的長度的最大值為 D．與的數(shù)量積的范圍是11．已知橢圓：（）與雙曲線：有相同的焦點(diǎn)，，且它們的離心率之積為，點(diǎn)是與的一個公共點(diǎn)，則（）A．橢圓的方程為 B．C．為等腰三角形 D．對于上的任意一點(diǎn)，三、填空題（本大題共3小題）12．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)為．13．如圖，趙州橋是一座位于河北省石家莊市趙縣城南洨河之上的石拱橋，因趙縣古稱趙州而得名．趙州橋始建于隋代，是世界上現(xiàn)存年代最久遠(yuǎn)、跨度最大、保存最完整的單孔石拱橋．小明家附近的一座橋是仿趙州橋建造的拋物線形拱橋．這座橋的拱頂離水面時，水面寬，當(dāng)水面的寬度為時，水面下降了．14．已知點(diǎn)是圓：上的動點(diǎn)，點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程是；若直線：，為直線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作點(diǎn)的軌跡的切線，切點(diǎn)為，，設(shè)，當(dāng)四邊形的面積最小時，面積為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知的頂點(diǎn)，頂點(diǎn)在軸上，邊上的高所在的直線方程為邊上的中線所在的直線方程為.(1)求直線的方程；(2)求的值.16．如圖，在六棱柱中，底面是正六邊形，設(shè)，，.

(1)用，，分別表示，．(2)若，，，求：（ⅰ）；（ⅱ）．17．已知拋物線：的焦點(diǎn)為．(1)求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；(2)過焦點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若，求線段的長．18．已知直線：，圓：．(1)當(dāng)為何值時，直線被圓截得的弦最長？當(dāng)為何值時，直線被圓截得的弦最短？(2)是否存在，使得直線被圓截得的弦長為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．19．已知橢圓：（）的焦距為，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，的周長為8.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)對于，是否存在實(shí)數(shù)，使得直線分別交橢圓于點(diǎn)，且？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

答案1．【正確答案】C【詳解】直線：可化為，所以直線的斜率為，即，故選:C.2．【正確答案】B【詳解】因?yàn)橹本€平分圓的周長，所以直線過圓心，所以，解得，故選:B.3．【正確答案】B【詳解】由即可得，解得；故選：B4．【正確答案】A【詳解】如圖，

因?yàn)?，所以，又，所以，又，所以且，解得：．故選：A5．【正確答案】D【詳解】由題可得，，解得，所以橢圓方程為，聯(lián)立，可得，解得，所以橢圓與直線在第一象限的交點(diǎn)為，故選:D.6．【正確答案】C【詳解】由，可得，所以圓心，設(shè)兩圓的半徑分別為，則，圓心距，所以兩圓外切，則公切線的條數(shù)為3條，故選:C.7．【正確答案】B【詳解】根據(jù)對稱性，雙曲線的焦點(diǎn)到兩條漸近線的距離相等，其中一條漸近線的方程為，即，右焦點(diǎn)Fc,0到的距離等于，所以，所以，即，則，所以，故選：B.8．【正確答案】D【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則,0,，,2,，,0,，,0,，,0,，,2,，設(shè)，，則,,，則，，則，設(shè)直線與直線所成角為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，則直線與直線所成角的余弦值的最大值為，故選：D．

9．【正確答案】ABD【詳解】

對A，由，可得，令，解得，所以直線恒過定點(diǎn)，A正確；對B，設(shè)直線直線恒過定點(diǎn)為，圓心,半徑，則，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，則直線與圓相交，所以直線與圓有兩個交點(diǎn)，B正確；對C，時，：，即，圓心到直線的距離，因?yàn)?，所以圓上恰有兩個點(diǎn)到直線的距離等于1，且這兩個點(diǎn)均位于圓被直線所截得的優(yōu)弧上，C錯誤；對D，當(dāng)時，圓上的點(diǎn)到直線的距離有最大值，最大值為，D正確；故選:ABD.10．【正確答案】ABD【分析】建系，標(biāo)點(diǎn)，設(shè)，根據(jù)向量垂直可得.對于A：利用空間向量求線面夾角；對于B：利用空間向量求點(diǎn)到線的距離；對于C：根據(jù)空間向量的模長公式分析求解；對于D：根據(jù)空間向量的數(shù)量積分析求解.【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，可得，，若，則，可得，則，解得，即.對于選項(xiàng)A：可知平面的法向量，則，所以與平面的夾角的正弦值為，故A正確；對于選項(xiàng)B：因?yàn)?，所以點(diǎn)到的距離為，故B正確；對于選項(xiàng)C：因?yàn)?，則，且，可得當(dāng)且僅當(dāng)時，取到最大值，所以線段的長度的最大值為3，故C錯誤；對于選項(xiàng)D：因?yàn)椋?，則，且，可知當(dāng)時，取到最小值；當(dāng)時，取到最大值；所以與的數(shù)量積的范圍是，故D正確.故選ABD.11．【正確答案】ABC【詳解】由雙曲線：的方程可知，雙曲線的焦點(diǎn)，，離心率為，所以橢圓的焦點(diǎn)為，，離心率為，所以橢圓中，，所以橢圓的方程為，A正確；因?yàn)辄c(diǎn)是與的一個公共點(diǎn)，所以點(diǎn)在雙曲線上，所以根據(jù)雙曲線的定義可知，，且，所以，B正確；根據(jù)對稱性，不妨設(shè)，則，又根據(jù)橢圓的定義可知，，所以聯(lián)立，解得，所以，所以為等腰三角形，C正確；設(shè)，則，，所以，解得，此時，所以存在點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或，使得，D錯誤；故選：ABC.12．【正確答案】【詳解】由題，，所以，，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)為.故答案為:.13．【正確答案】/【詳解】建系如圖，設(shè)拋物線方程為，則根據(jù)題意可知圖中坐標(biāo)為，，，拋物線方程為，令，可得，則水面下降了米故14．【正確答案】【詳解】設(shè)，，則有，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，，解得，所以，整理得，所以線段的中點(diǎn)的軌跡方程是；所以可知點(diǎn)為圓的圓心，且所以,所以要使四邊形的面積最小，則最小，當(dāng)時，最小，為點(diǎn)到直線的距離，此時，所以.故答案為:;.15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）由邊上的高所在的直線方程為，其斜率為，則，即，又，則，即；（2）設(shè)，由在上，即，即，則中點(diǎn)坐標(biāo)為，故有，即.16．【正確答案】(1);(2);【詳解】（1）

如圖，連接，取中點(diǎn)為，連接，因?yàn)榈酌媸钦呅?，所?即，所以,又因?yàn)?所以.（2）由題知，，根據(jù)，可知，且因?yàn)榈酌媸钦呅?，所以所以，所以（?。?（ⅱ）因?yàn)椋?，所以.17．【正確答案】(1)焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線.(2)【詳解】（1）由拋物線方程可得，，所以焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線.（2）設(shè)，根據(jù)對稱性，不妨設(shè)在軸上方，則在軸下方，根據(jù)拋物線的定義可知，，所以，將代入可得或（舍），所以，所以,所以直線的直線方程為，即，聯(lián)立，消去可得，，根據(jù)韋達(dá)定理可得，，所以，所以.

18．【正確答案】(1)答案見解析；(2)【詳解】（1）易知直線：恒過定點(diǎn)；圓：的圓心為，半徑；當(dāng)直線過圓心時，弦長為圓的直徑，即，解得；當(dāng)圓心與定點(diǎn)連線與直線垂直時，弦長最短；此時直線的斜率為0，所以，解得.因此時，直線被圓截得的弦最長，時，直線被圓截得的弦最短；（2）設(shè)圓心到直線的距離為，由弦長為可得，解得；即，解得即存在，