2024-2025學(xué)年重慶市高二上學(xué)期期中聯(lián)合檢測數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年重慶市高二上學(xué)期期中聯(lián)合檢測數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．直線的傾斜角為（）A． B． C． D．2．已知，若直線與直線垂直，則的最小值為（

）A．1 B．3 C．8 D．93．橢圓的焦距是2，則m的值是（）A．3 B．5 C．3或5 D．不存在4．已知圓C經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，且圓心在y軸上，則圓C的方程為（

）A． B．C． D．5．已知點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．已知直線與橢圓相交于A、B，且AB的中點(diǎn)為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．7．已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，漸近線方程為，焦距為8，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)為的右支上的一點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．8．如圖，已知拋物線，圓，過C點(diǎn)的直線l與拋物線和圓依次交于P，M，N，Q，則等于（

）A．1 B．2 C．4 D．8二、多選題（本大題共3小題）9．已知直線，圓，則下列說法正確的是（

）A．直線l必過點(diǎn)B．直線l與圓E必相交C．圓與圓E有3條公切線D．當(dāng)時(shí)，直線l被圓E截得的弦長為10．已知拋物線過點(diǎn)，則（

）A．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為B．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為C．過點(diǎn)A與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有一條D．過點(diǎn)A與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有兩條11．“嫦娥五號”是中國首個(gè)實(shí)施無人月面取樣返回的月球探測器，是中國探月工程的收官之戰(zhàn)，實(shí)現(xiàn)了月球區(qū)域著陸及采樣返回.如圖所示，月球探測器飛到月球附近時(shí)，首先在以月球球心為圓心的圓形軌道Ⅰ上繞月飛行，然后在點(diǎn)處變軌進(jìn)入以為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅱ上繞月飛行，最后在點(diǎn)處變軌進(jìn)入以為圓心的圓形軌道Ⅲ上繞月飛行，設(shè)圓形軌道Ⅰ的半徑為，圓形軌道Ⅲ的半徑為，則以下說法正確的是（

）

A．橢圓軌道Ⅱ的焦距為B．橢圓軌道Ⅱ的短軸長為C．若不變，則橢圓軌道Ⅱ的離心率隨的增大而增大D．若不變，則橢圓軌道Ⅱ的離心率隨的增大而增大三、填空題（本大題共3小題）12．過點(diǎn)作圓的切線，則切線方程為.13．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線上任意一點(diǎn)，若點(diǎn)，則的最小值為；14．若雙曲線與直線沒有交點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知直線．(1)經(jīng)過點(diǎn)且與直線平行的直線；(2)經(jīng)過點(diǎn)且與直線垂直的直線；(3)經(jīng)過直線與的交點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)上的截距相等的直線．16．已知圓C過三點(diǎn)．(1)求圓C的方程；(2)斜率為1的直線l與圓C交于M，N兩點(diǎn)，若為等腰直角三角形，求直線l的方程．17．已知雙曲線C：eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為y＝2x，雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)到該漸近線的距離為1.(1)求雙曲線C的方程；(2)經(jīng)過點(diǎn)M(1,4)的直線l交雙曲線C于A，B兩點(diǎn)，且M為線段AB的中點(diǎn)，求直線l的方程．18．已知拋物線，其焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線C上，且．(1)求拋物線的方程；(2)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線上不同的兩點(diǎn)，且，（i）求證直線過定點(diǎn)；（ii）求與面積之和的最小值．19．若一個(gè)橢圓的焦距為質(zhì)數(shù)，且離心率的倒數(shù)也為質(zhì)數(shù)，則稱這樣的橢圓為“質(zhì)樸橢圓”.(1)證明：橢圓為“質(zhì)樸橢圓”.(2)是否存在實(shí)數(shù)，使得橢圓為“質(zhì)樸橢圓”？若存在，求的值；若不存在，說明理由.(3)設(shè)斜率為的直線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)，且與交于，兩點(diǎn)，，試問是否為“質(zhì)樸橢圓”，說明你的理由.

答案1．【正確答案】A【詳解】將直線變形為，即斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，則，因?yàn)椋?故選：A.2．【正確答案】D【詳解】由題可知，兩條直線斜率一定存在，又因?yàn)閮芍本€垂直，所以斜率乘積為，即，即，整理可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立；因此的最小值為.故選：D3．【正確答案】C【詳解】∵，∴．當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，，，．∴，．當(dāng)圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，，，∴，∴．綜上，m的值是3或5．故選：C4．【正確答案】C【分析】先利用待定系數(shù)法求得圓C的一般方程，進(jìn)而得到圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】設(shè)圓C的方程為，則圓心，則有，解之得,則有圓C的方程為，即故選：C5．【正確答案】B在平面直角坐標(biāo)系中作出曲線，這是一個(gè)半圓，的幾何意義是半圓上的點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率，由幾何意義易得結(jié)論．【詳解】曲線是以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的上半圓，如圖，表示半圓上的點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率，由圖，，當(dāng)時(shí)，直線與半圓相切，∴，即的取值范圍是．故選：B．6．【正確答案】B【詳解】設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，因?yàn)榍褹B的中點(diǎn)為，所以，因?yàn)樵跈E圓上，所以①，兩式相減，得，根據(jù)，上式可化簡為，整理得，又，所以，即，所以.故選：B.7．【正確答案】C【分析】利用雙曲線的定義及漸近線方程，將轉(zhuǎn)化為的形式，通過點(diǎn)共線判斷并計(jì)算的最小值即可.【詳解】如圖所示由題意知，解得記的右焦點(diǎn)為，即，由雙曲線的定義，得，即所以，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)等號成立,所以的最小值為.故選：C.8．【正確答案】A【詳解】圓，點(diǎn)C與拋物線的焦點(diǎn)重合，設(shè)，，所以，，∴．①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，，∴；②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為(),與拋物線方程聯(lián)立消y，得，∴．綜上，.故選：A．9．【正確答案】BC【分析】由直線方程確定過定點(diǎn)，判斷定點(diǎn)與圓位置關(guān)系判斷A、B；根據(jù)兩圓圓心距離與半徑間的關(guān)系判斷C；應(yīng)用點(diǎn)線距離及弦長的幾何求法求弦長.【詳解】A：由，則必過定點(diǎn)，錯(cuò)；B：將定點(diǎn)代入圓，有，故點(diǎn)在圓內(nèi)，即直線l與圓E必相交，對；C：由題設(shè)且半徑為，而且半徑為，所以，即兩圓外切，故兩圓有3條公切線，對；D：由題設(shè)，則到直線的距離，故直線l被圓E截得的弦長為，錯(cuò).故選：BC10．【正確答案】ABD【分析】根據(jù)題意設(shè)出拋物線的方程，利用點(diǎn)在拋物線上及直線與拋物線的位置關(guān)系即可求解.【詳解】對于選項(xiàng)A，當(dāng)拋物線開口向右時(shí)，設(shè)拋物線的方程為，將代入拋物線中得，則拋物線的方程為，故A正確；對于選項(xiàng)B，當(dāng)拋物線開口向下時(shí)，設(shè)拋物線的方程為，將代入拋物線中得，則拋物線為，故B正確；對于C、D選項(xiàng)，過點(diǎn)A與對稱軸平行的直線，以及拋物線在點(diǎn)A處的切線都與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，故C錯(cuò)誤，D正確.故選ABD.【規(guī)律方法】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：①y2=2px，當(dāng)p>0時(shí)，為開口向右的拋物線；當(dāng)p<0時(shí)，為開口向左的拋物線.②x2=2py，當(dāng)p>0時(shí)，為開口向上的拋物線；當(dāng)p<0時(shí)，為開口向下的拋物線.11．【正確答案】AC【分析】根據(jù)圖中幾何關(guān)系列方程組求出a，c，然后可得b，可判斷AB；分離常數(shù)，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)可判斷CD.【詳解】在橢圓中，由圖可知，解得，所以，所以，A正確，B錯(cuò)誤；，當(dāng)不變時(shí)，由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，C正確；，當(dāng)不變時(shí)，由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，D錯(cuò)誤.故選：AC12．【正確答案】【詳解】由題意可知：圓的圓心為，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，故切線必垂直于切點(diǎn)與圓心連線，而切點(diǎn)與圓心連線的斜率為，故切線的斜率為，故切線方程為：即.故答案為.13．【正確答案】5【詳解】拋物線C：y2=4x的準(zhǔn)線為x=﹣1．設(shè)點(diǎn)P在準(zhǔn)線上的射影為D，則根據(jù)拋物線的定義可知|PF|=|PD|，要求|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最小．當(dāng)D，P，A三點(diǎn)共線時(shí)，|PA|+|PD|最小，為4﹣（﹣1）=5．故答案為5．14．【正確答案】【詳解】依題意可得雙曲線漸近線方程為，直線與雙曲線沒有交點(diǎn)，則，即，易知，又已知雙曲線離心率,所以雙曲線離心率的取值范圍為.15．【正確答案】(1)(2)(3)或【詳解】（1）設(shè)所求直線的方程為，依題意有，解得，所以所求直線方程為；（2）設(shè)所求直線方程為，依題意有，解得，所以所求直線方程為；（3）聯(lián)立，解得，即直線與的交點(diǎn)為，當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，滿足題意，假設(shè)直線方程為，代入得，此時(shí)；當(dāng)直線的截距都不為時(shí)，假設(shè)直線方程為，依題意，解得，此時(shí)直線方程為，即綜上所述或.16．【正確答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)圓過點(diǎn)，得到圓心在上，設(shè)圓心坐標(biāo)，再由圓心到圓上的點(diǎn)的距離相等求解；（2）設(shè)直線l的方程為：，根據(jù)為等腰直角三角形，由圓心到直線的距離求解.【詳解】（1）解：因?yàn)閳A過點(diǎn)，故圓心在上，設(shè)圓心坐標(biāo)，則，解得．故其半徑．故圓的方程為：；（2）設(shè)直線l的方程為：，因?yàn)闉榈妊苯侨切?，∴圓心到直線的距離，即，解得或－8，所以l：或．17．【正確答案】見詳解解(1)因?yàn)殡p曲線C：eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線為y＝±eq\f(a,b)x，所以eq\f(a,b)＝2，又焦點(diǎn)(0，c)到直線y＝2x的距離d＝eq\f(|－c|,\r(22＋(－1)2）＝1，所以c＝eq\r(5)，又c2＝a2＋b2，所以a2＝4，b2＝1，所以雙曲線C的方程為eq\f(y2,4)－x2＝1.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線l的斜率為k，由題知x1＋x2＝2，y1＋y2＝8，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,1),4)－x\o\al(2,1)＝1，,\f(y\o\al(2,2),4)－x\o\al(2,2)＝1，）兩式相減得eq\f(y\o\al(2,1),4)－eq\f(y\o\al(2,2),4)－xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝0，即eq\f((y1＋y2)(y1－y2),4)＝(x1＋x2)(x1－x2)，即eq\f((y1＋y2)(y1－y2),(x1＋x2)(x1－x2）＝4，所以4k＝4，解得k＝1，所以直線l的方程為y－4＝x－1，即x－y＋3＝0，經(jīng)檢驗(yàn)直線l：x－y＋3＝0與雙曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)，滿足條件，所以直線l的方程為x－y＋3＝0.18．【正確答案】(1)(2)（i）證明見解析；（ii）【詳解】（1）拋物線，其焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，可得，且，解得（另一個(gè)根舍去），，則拋物線的方程為；（2）（i）如圖，設(shè)的方程為，，聯(lián)立，可得，則，又，，由，可得，解得（另一個(gè)根舍去），所以直線恒過定點(diǎn)；（ii）由上小問可得，不妨設(shè)，則與面積之和為，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，上式取得等號，則與面積之和的最小值為．19．【正確答案】(1)證明見解析(2)不存在實(shí)數(shù)，理由見解析(3)為“質(zhì)樸橢圓”，理由見解析