天津市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（附解析）

天津市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、單選題（本大題共9小題）1．已知全集，若，則集合（）A． B． C． D．2．某小學(xué)為了解學(xué)生的身體狀況，抽取了名學(xué)生的身高，將所得的數(shù)據(jù)整理后，畫(huà)出了如圖所示的頻率分布直方圖，則所抽取的學(xué)生身高在的人數(shù)約為（

）A．100 B．90 C．80 D．703．已知a，，則“”是成立的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知函數(shù)的圖象上距離原點(diǎn)最近的對(duì)稱中心是（）A． B． C． D．5．已知，，，則（）A． B． C． D．6．下列哪個(gè)函數(shù)在區(qū)間的大致圖象如圖所示（）A． B．C． D．7．已知橢圓的右頂點(diǎn)A，右焦點(diǎn)F，經(jīng)過(guò)A、F兩點(diǎn)的圓C與y軸相切于點(diǎn)，則圓C被直線AB截得的弦長(zhǎng)為（）A． B． C． D．8．如圖，三棱柱中，是上靠近的三等分點(diǎn)，平面將三棱柱分成體積為，兩部分，則（）

A． B． C． D．9．在無(wú)窮數(shù)列中，，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則的最大值與最小值的差為（）A． B．C． D．無(wú)法確定二、填空題（本大題共6小題）10．已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù).11．在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為．12．在等差數(shù)列中，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，若，則的最小值為.13．現(xiàn)有7張卡片，分別寫(xiě)上數(shù)字1，2，2，3，4，5，6.則這7個(gè)數(shù)的第75百分?jǐn)?shù)是；從這7張卡片中隨機(jī)抽取2張，則所抽取卡片上數(shù)字的最小值為2的概率.14．已知邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD，，若O為菱形ABCD中心，E為BC中點(diǎn)，記，，則（結(jié)果用，表示）；若P是菱形ABCD及其內(nèi)部的一點(diǎn)且滿足，則動(dòng)點(diǎn)P所在的曲線長(zhǎng)度為.15．若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍為.三、解答題（本大題共5小題）16．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.17．如圖，在直五棱柱中，，，，，，.(1)求證：；(2)求平面與平面的夾角余弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離.18．已知橢圓的右頂點(diǎn)為A，左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在橢圓C上，最大值與最小值的比為.(1)求橢圓的離心率；(2)若線段AP的垂直平分線與y軸相交于點(diǎn)Q，且為等邊三角形，求直線AP的斜率；(3)當(dāng)時(shí)，直線上存在一點(diǎn)Q，使得是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.19．閱讀材料并回答問(wèn)題：設(shè)，為兩組實(shí)數(shù).，，，，是，，，，的任一排列，則如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，在x軸的正半軸上，依次取n個(gè)點(diǎn).、、，在y軸的正半軸上依次取n個(gè)點(diǎn).、、，其中、已知數(shù)列為等比數(shù)列，為等差數(shù)列，且，，.

(1)求，的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列中，，，求證：；(3)任意選取某兩個(gè)點(diǎn)與（，2，，n；，2，，n）連結(jié)它們，得到，這樣一一搭配，一共可以得到n個(gè)三角形，求這n個(gè)三角形的面積之和最小值.（結(jié)果用n表示）20．已知函數(shù)(1)若對(duì)于任意的，都有函數(shù)是增函數(shù)，求的取值范圍；(2)當(dāng)，時(shí)，若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，證明：；(3)當(dāng)，時(shí)，若且，證明：

答案1．【正確答案】D【詳解】全集，，則，所以.故選：D2．【正確答案】A【詳解】根據(jù)頻率分布直方圖得，身高在的頻率為，所以人數(shù)約為人.故選：A.3．【正確答案】A【詳解】若，則，反之，取，，即成立，不能推出，所以“”是成立的充分不必要條件.故選：A4．【正確答案】B【詳解】因，由可得，即函數(shù)的對(duì)稱中心為，故當(dāng)時(shí)，點(diǎn)為函數(shù)距離原點(diǎn)最近的對(duì)稱中心.故選：B.5．【正確答案】D【詳解】，而，則，又，所以.故選：D6．【正確答案】B【詳解】對(duì)于A，，當(dāng)時(shí)，，A不是；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，在上遞增，在上遞減，C不是；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，在接近3時(shí)，隨著的增大，函數(shù)值緩慢增大，D不是；對(duì)于B，令，，函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求導(dǎo)得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，由奇函數(shù)性質(zhì)知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，B符合要求.故選：B7．【正確答案】D【詳解】橢圓的右頂點(diǎn)，右焦點(diǎn)，則圓的圓心在直線上，由圓與軸相切，得圓的半徑，圓心到軸的距離，即圓的圓心坐標(biāo)為，因此點(diǎn)是圓C與y軸相切的切點(diǎn)，所以.故選：D

8．【正確答案】C【詳解】取靠近的三等分點(diǎn)，連接，如圖所示，因?yàn)榉謩e是靠近的三等分點(diǎn)，所以且，所以，所以四點(diǎn)共面；設(shè)三棱柱的高為，三棱錐體積，因?yàn)?，所以，，所以，所以，所以，所以，故選：C.

9．【正確答案】C【詳解】由，，得，而，則數(shù)列是等比數(shù)列，于是，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，因此的最大值與最小值分別為，所以的最大值與最小值的差為.故選：C10．【正確答案】【詳解】，故答案為.11．【正確答案】160【分析】求得二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，令，求得，代入即可求解.【詳解】由題意，二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，可得，代入可得，所以展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為.12．【正確答案】17【詳解】在等差數(shù)列中，，解得，而，則，數(shù)列的公差，則，由，得，而，則或或或，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.故1713．【正確答案】5【詳解】由，得這7個(gè)數(shù)的第75百分?jǐn)?shù)是5；從這7張卡片中隨機(jī)抽取2張，有個(gè)不同結(jié)果，取到最小數(shù)字2的事件有個(gè)結(jié)果，所以所抽取卡片上數(shù)字的最小值為2的概率.故5；14．【正確答案】【詳解】在菱形中，為中點(diǎn)，E為BC中點(diǎn)，則，所以；以菱形的對(duì)角線分別為軸建立平面直角坐標(biāo)條系，由，得，則，設(shè)，，由，得，解得，因此動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是直線與邊的交點(diǎn)間線段，而點(diǎn)到直線的距離為，因此，所以動(dòng)點(diǎn)P所在的曲線長(zhǎng)度為.故；15．【正確答案】【詳解】（1）時(shí)，，易知它有三個(gè)零點(diǎn)：，不合題意；（2）時(shí)，或，，，，時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，所以其中，，①，即時(shí)，在上遞減，，此時(shí)無(wú)零點(diǎn)，在上無(wú)零點(diǎn)，對(duì)，由于，有一正根一負(fù)根，而，因此正根大于，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)；，時(shí)，，，因此與都是遞減的，從而在上遞減，而，因此在上有一個(gè)零點(diǎn)，綜上，在R上有兩個(gè)零點(diǎn)，符合題意；②時(shí)，與①相同知在上有一個(gè)零點(diǎn)，在上有一個(gè)零點(diǎn)，在上，，且，由，解得，時(shí)，無(wú)零點(diǎn)，因此在R上只有兩個(gè)零點(diǎn)，符合題意；時(shí)，在上至少有一個(gè)零點(diǎn)，從而在R上至少有三個(gè)零點(diǎn)，不合題意，（3）時(shí)，或，，，，時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，所以，，，，已經(jīng)有一個(gè)零點(diǎn)，①，即時(shí)，，在上遞減，在上遞增，在上遞減，，則，又，所以在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，又也是它的零點(diǎn)，零點(diǎn)個(gè)數(shù)多于2個(gè)，不合題意，②時(shí)，，在上單調(diào)遞減，又，因此在上有一個(gè)零點(diǎn)，又由得，，所以在時(shí)，在上只有一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)，因此在上遞增，因此在上無(wú)零點(diǎn)，同理，，在上單調(diào)遞增，因此因此在上無(wú)零點(diǎn)，在，，若，又，從而，在上至少有一個(gè)零點(diǎn)，從而在上零點(diǎn)個(gè)數(shù)多于2個(gè)，不合題意，時(shí)，在上沒(méi)有零點(diǎn)，所以在R上只有兩個(gè)零點(diǎn)，滿足題意，綜上，的取值范圍是．16．【正確答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，所以，又因?yàn)?，所以，化?jiǎn)可得，所以.（2）因?yàn)?，且，所?（3）因?yàn)?，所以，，又因?yàn)?，且，所?17．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【詳解】（1）因?yàn)閹缀误w為直五棱柱，所以平面，又平面，所以，因?yàn)椋矫?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所?（2）由直五棱柱的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)可知平面，因?yàn)?，，所以，故以為原點(diǎn)，分別以為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因?yàn)?，，，所以四邊形是矩形，因?yàn)?，，所以是等腰直角三角形，所以，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，取，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，取，則，所以，所以，所以平面與平面的夾角余弦值為.（3）因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量為，且，所以點(diǎn)到平面的距離為.18．【正確答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）因?yàn)镻F最大值與最小值的比為，所以，解之得；（2）因?yàn)?，所以設(shè)，則所以，于是橢圓方程為，所以右頂點(diǎn)為，設(shè)直線AP的斜率為，直線AP的直線方程為，聯(lián)立，消去得，，因?yàn)橹本€AP與橢圓交于A、P兩點(diǎn)，所以，即.設(shè)線段AP的中點(diǎn)為，則，所以線段AP的垂直平分線的方程為，所以交點(diǎn).因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，所以，即，化?jiǎn)整理可得，，所以（舍去），所以；（3）因?yàn)?，所以，所以，所以橢圓方程為，所以點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為，則直線方程為，聯(lián)立消去得，，易知，，所以，當(dāng)時(shí)，則直線方程為，與直線聯(lián)立解得點(diǎn)，所以，因?yàn)槭且訟為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，所以，所以，所以，令，則，因?yàn)榛颍?，所以，所?當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)直線方程為，取即可.所以，當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)直線方程為，取即可，此時(shí)直線分別為、，所以，.綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是.19．【正確答案】(1)，；(2)證明見(jiàn)解析；(3).【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列公比為，由，得，解得，，由，得等差數(shù)列公差，則，所以，的通項(xiàng)公式分別為，.（2）由（1），得當(dāng)時(shí)，，數(shù)列都為遞增數(shù)列，則數(shù)列是遞增數(shù)列，因此當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，，于是，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，而，所以.（3）由（1）知，，，顯然數(shù)列都是遞增數(shù)列，，由給定的材料知，得到的n個(gè)三角形面積之和的最小值為：，令，則，于是，兩式相減得所以這n個(gè)三角形的面積之和最小值為.20．【正確答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）由于，故.若，則在時(shí)，對(duì)有.所以fx在上遞減，不滿足條件；若，則在時(shí)，對(duì)有.所以fx在上遞減，不滿足條件；若，設(shè)，則.故對(duì)有，對(duì)有.從而在上遞減，在上遞增，所以對(duì)有.從而對(duì)任意正整數(shù)都有：當(dāng)或時(shí).這表明對(duì)任意正整數(shù)，函數(shù)fx在和上遞增，從而在上遞增，滿足條件.綜上，的取值范圍是.（2）此時(shí)，，所以對(duì)有，對(duì)x>1有.故fx在上遞減，在上遞增，從而，故，.由已知有，故由可知，同時(shí)根據(jù)單調(diào)性有，這表明.從而，故根據(jù)單調(diào)性有，所以.設(shè)，，則.對(duì)有，對(duì)有，所以在上