2025屆上海市高三數(shù)學(xué)一模暨春考數(shù)學(xué)試卷2

屆上海市高三數(shù)學(xué)一模暨春考數(shù)學(xué)試卷2姓名：__________班級(jí)：__________考號(hào)：__________題號(hào)一二三總分評(píng)分一、填空題：1．已知集合A={1,4}，B={a?5,7}.若A∩B={4}，則實(shí)數(shù)a的值是.2．已知i是虛數(shù)單位.若i3=a+bi(a,b∈R)，則a+b的值為3．已知一組數(shù)據(jù)1.6，1.8，2，2.2，2.4，則該組數(shù)據(jù)的方差是．4．函數(shù)y=x2?x?65．將一顆質(zhì)地均勻的骰子（一種各個(gè)面上分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6個(gè)點(diǎn)的正方體玩具）先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和小于10的概率是.6．已知雙曲線x2a2?y7．如圖，在三棱柱A1B1C1?ABC中，D，E，F(xiàn)分別為AB，AC，AA1的中點(diǎn)，設(shè)三棱錐F?ADE體積為8．設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a2+a9．已知函數(shù)f(x)=x2?2x，x≤212x?1，x>2，則關(guān)于10．如圖，在△ABC中，AD=12AB，AE=13AC，CD與BE交于點(diǎn)P，AB=2，11．圓x2+y2+6x?4y=0與曲線y=2x+4x+3相交于12．在銳角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，則sin2A+sin2B的最大值為．二、選擇題：13．某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2016年1月至2018年12月期間月接待游客量（單位：萬(wàn)人）的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖.根據(jù)該折線圖，判斷下列結(jié)論：（1）月接待游客量逐月增加；（2）年接待游客量逐年增加；（3）各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月；（4）各年1月至6月的月接待游客量相對(duì)于7月至12月，波動(dòng)性更小，變化比較平穩(wěn).其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．414．設(shè)函數(shù)f(x)=3sin(2x+φ)+A．y=f(x)的最小正周期為π，且在(0,πB．y=f(x)的最小正周期為π2，且在(0,C．y=f(x)的最小正周期為π，且在(0,πD．y=f(x)的最小正周期為π2，且在(0,15．已知函數(shù)f(x)=(lnx?1)(x?2)A．當(dāng)i=1時(shí)，f(x)零點(diǎn)個(gè)數(shù)可能有3個(gè)B．當(dāng)i=1時(shí)，f(x)零點(diǎn)個(gè)數(shù)可能有4個(gè)C．當(dāng)i=2時(shí)，f(x)零點(diǎn)個(gè)數(shù)可能有3個(gè)D．當(dāng)i=2時(shí)，f(x)零點(diǎn)個(gè)數(shù)可能有4個(gè)16．實(shí)數(shù)a1,a2,?,a9，滿足a1=A．M=7 B．M=8 C．M=9 D．M=10三、解答題：17．已知向量a=sinx,（1）當(dāng)a//b時(shí)，求（2）設(shè)函數(shù)fx=2a+b18．如圖，在三棱柱ABC?A1B1C（1）求證：DE∥平面BC（2）若AB⊥DE，求證：平面ABC1⊥19．從秦朝統(tǒng)一全國(guó)幣制到清朝末年，圓形方孔銅錢（簡(jiǎn)稱“孔方兄”）是我國(guó)使用時(shí)間長(zhǎng)達(dá)兩千多年的貨幣．如圖1，這是一枚清朝同治年間的銅錢，其邊框是由大小不等的兩同心圓圍成的，內(nèi)嵌正方形孔的中心與同心圓圓心重合，正方形外部，圓框內(nèi)部刻有四個(gè)字“同治重寶”．某模具廠計(jì)劃仿制這樣的銅錢作為紀(jì)念品，其小圓內(nèi)部圖紙?jiān)O(shè)計(jì)如圖2所示，小圓直徑1厘米，內(nèi)嵌一個(gè)大正方形孔，四周是四個(gè)全等的小正方形（邊長(zhǎng)比孔的邊長(zhǎng)小），每個(gè)正方形有兩個(gè)頂點(diǎn)在圓周上，另兩個(gè)頂點(diǎn)在孔邊上，四個(gè)小正方形內(nèi)用于刻銅錢上的字．設(shè)∠OAB=θ，五個(gè)正方形的面積和為S．（1）求面積S關(guān)于θ的函數(shù)表達(dá)式，并求定義域；（2）求面積S的最小值及此時(shí)tanθ20．已知圓O:x2+y2（1）求r的值和橢圓C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)M的直線l交圓O和橢圓C分別于A，B兩點(diǎn).①若2MB=3MA②設(shè)直線NA的斜率為k1，直線NB的斜率為k2，問(wèn)：21．已知函數(shù)f(x)=(x+1)ln（1）若y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程為x+y+b=0，求實(shí)數(shù)a，b的值：（2）求證：當(dāng)a<?2時(shí)，y=fx在0,+∞（3）設(shè)g(x)=fx1xex，若gx

答案解析部分1．【答案】9【解析】【解答】∵集合A={1,4}，B={a?5,7}，A∩B={4}，∴a?5=4，則a的值是9.故答案為：9【分析】根據(jù)集合交集的定義即得.2．【答案】-1【解析】【解答】∵i3=a+bi=?i，∴a=0，則a+b=?1，故答案為：-1.【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘方運(yùn)算化簡(jiǎn)，然后利用復(fù)數(shù)相等求出a，b，進(jìn)而得答案.3．【答案】0.08【解析】【解答】首先求得x=S2故答案為：0.08.【分析】先求解這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，然后利用方差的公式可得結(jié)果.4．【答案】(?∞,?2]∪[3,+∞)【解析】【解答】由x2?x?6≥0，解得x≥3或所以定義域?yàn)??∞,?2]∪[3,+∞).故答案為：(?∞,?2]∪[3,+∞).【分析】根據(jù)偶次根式有意義的條件是被開方大于等于0列式，得一元二次不等式的解集，即可求出定義域.5．【答案】5【解析】【解答】將先后兩次點(diǎn)數(shù)記為(x,y)，則共有6×6=36個(gè)等可能基本事件，其中點(diǎn)數(shù)之和大于等于10有（4，6），（6，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6）六種，則點(diǎn)數(shù)之和小于10共有30種，概率為30【分析】出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和小于10的對(duì)立事件是出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和不小于10，由此利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式能求出出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和小于10的概率6．【答案】y=±【解析】【解答】雙曲線x2a2?y22=1（所以雙曲線方程為：x21?故答案為：y=±2

【分析】7．【答案】1【解析】【解答】解：因?yàn)镈，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，所以S△ADE又因?yàn)镕是AA1的中點(diǎn)，所以A1到底面的距離H為F到底面距離h的2倍，即三棱柱A1B1則V1：V2=13S△ADE?h/S△ABC?H＝V1:V2【分析】由題意，先求底面積和高的比值，再根據(jù)棱錐體積公式求解即可.8．【答案】30【解析】【解答】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由已知及等差數(shù)列的性質(zhì)，得a2a5=2，又a72?a3故an=a故答案為：30【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a2+a8=a3+a9．【答案】(?∞，?【解析】【解答】解：根據(jù)題意可得函數(shù)f(x)在(?∞，1)上單調(diào)遞減，在[1，+∞)上單調(diào)遞增，圖象如圖，當(dāng)?x<1<1?x即?1<x<0時(shí)，f(?x)=(?x)2?2(?x)=由?1<x<0f(?x)<f(1?x)得?1<x<0x2當(dāng)?x≥1即x≤?1時(shí)，∵?x<1?x，函數(shù)f(x)在[1，+∞)上單調(diào)遞增，∴f(?x)<f(1?x)恒成立；綜上：x<?1故答案為：(?∞，?1【分析】由題意畫出函數(shù)f(x)的圖象，結(jié)合圖象分類討論，當(dāng)?x<1<1?x時(shí)，代入解析式直接解不等式；當(dāng)?x≥1時(shí)，根據(jù)單調(diào)性解不等式；從而求出解集．10．【答案】2【解析】【解答】解：令BP=λBE，因?yàn)锳P=AP=∴1?λ=μ21?μ=∴AP=25∴AP?BC=15∴AB?故答案為：2.【分析】令BP=λBE，CP=μCD，利用平面向量基本定理知：AP=AB+λBE，11．【答案】4【解析】【解答】解：由圓的一般方程，可得圓心坐標(biāo)為-3,2又因?yàn)閥=2x+4x+3=2-在同一直角坐標(biāo)系中，畫出圓和函數(shù)圖象如下所示：數(shù)形結(jié)合可知，圓和函數(shù)y=2x+4x+3都關(guān)于點(diǎn)故可得其交點(diǎn)A和C，B和D都關(guān)于點(diǎn)M(-3,2故MA+則OA=4OM故OA+故答案為：413【分析】根據(jù)圓的一般方程得出圓心坐標(biāo)，再利用圖形的對(duì)稱性和三角形法則，再結(jié)合向量求模公式得出OA?12．【答案】1+【解析】【解答】sin2A+sin2B=1?cos因?yàn)锳,B,C都是銳角，所以0<cos(A?B)≤1，所以1+cosCcos(A?B)≤1+cosC，取等號(hào)時(shí)A=B，此時(shí)由所以sin2A+sin故答案為：1+3【分析】用降冪公式降冪后，再利用兩角和與差的余弦公式轉(zhuǎn)化A+B（C），然后利用余弦函數(shù)性質(zhì)放縮可得．13．【答案】C【解析】【解答】解：由題中圖可知，這三年8月到9月的月接待游客量在減少，則結(jié)論（1）錯(cuò)誤；因?yàn)槟杲哟慰蛿?shù)量逐年增加，故（2）正確；因?yàn)楦髂甑脑陆哟慰土扛叻迤诖笾略?，8月，故（3）正確；因?yàn)楦髂?月至6月的月接待游客量相對(duì)變化較小，而7月至12月則變化較大，故（4）正確.故答案為：C.【分析】利用折線統(tǒng)計(jì)圖中的數(shù)據(jù)和統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，從而逐項(xiàng)判斷各選項(xiàng)，進(jìn)而找出正確結(jié)論的個(gè)數(shù).14．【答案】C【解析】【解答】解：因?yàn)閒(x)=3sin(2x+φ)+cos(2x+φ)=2∴函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，∴φ=π3，∴f(x)=2cos2x，∵0<x<π2，∴0<2x<π，

∴函數(shù)f(x)在(0,π【分析】根據(jù)輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)為正弦型函數(shù)，再結(jié)合偶函數(shù)的圖象的對(duì)稱性得出φ的值，從而得出函數(shù)的解析式，再利用余弦型函數(shù)的最小正周期公式，從而得出y=f(x)的最小正周期；再結(jié)合x的取值范圍和不等式的基本性質(zhì)，再結(jié)合正弦型函數(shù)的圖象判斷單調(diào)性的方法，則判斷出函數(shù)y=f(x)在(0,π15．【答案】C【解析】【解答】解：將fx=ln當(dāng)i=1時(shí)，g(x)=lnx?1x?2與y=m圖象的交點(diǎn)，g'所以存在唯一的x0∈(1,e)，使得當(dāng)x∈(0,x當(dāng)x∈(x所以g(x)有兩個(gè)單調(diào)區(qū)間，與y=m至多只有兩個(gè)交點(diǎn)，所以A、B錯(cuò)誤；當(dāng)i=2時(shí)，h(x)=lnh'設(shè)φ(x)=2lnφ(2)=2(ln所以存在唯一的x0∈(2,e)，使得令h(x)=0,x=2或x=x當(dāng)h(x)>0時(shí)，0<x<2或x>x當(dāng)h(x)<0時(shí)，2<x<x所以h(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,2),(x0,+∞)所以h(x)有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，與y=m至多有三個(gè)交點(diǎn)，則D錯(cuò)誤.故答案為：C.【分析】將函數(shù)f(x)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)圖象的交點(diǎn)，再利用分類討論的方法和求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得出當(dāng)i=2時(shí)，f(x)零點(diǎn)個(gè)數(shù)可能有3個(gè).16．【答案】B【解析】【解答】解：不妨設(shè)a1=a當(dāng)ai+a故24m+3?23m+1=2m+4∈?1,1當(dāng)ai+a故24m?9?23m?5=2m?8∈?1,1綜上所述：M=8.故答案為：B.【分析】將函數(shù)f(x)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)圖象的交點(diǎn)，再利用分類討論的方法和遞推公式，從而由對(duì)1≤i<j≤9，ai?a17．【答案】解：（1）因?yàn)閍//b，所以因?yàn)閏osx≠0（否則與?sinx?34所以tan2x=（2）f=2因?yàn)?<x<π2，所以所以當(dāng)2x+π4=π2時(shí)，即當(dāng)x=【解析】【分析】（1）利用已知條件和向量共線的坐標(biāo)表示以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，從而得出角x的正切值，再結(jié)合二倍角的正切公式，從而得出tan2x的值.

（2）利用已知條件和數(shù)量積的運(yùn)算法則以及數(shù)量積的坐標(biāo)表示，再結(jié)合二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式和輔助角公式，從而將函數(shù)轉(zhuǎn)化為正弦型函數(shù)，再由x的取值范圍和不等式的基本性質(zhì)，從而由正弦型函數(shù)的圖象求最值的方法，進(jìn)而得出當(dāng)x∈0,π18．【答案】證明：（1）連結(jié)AB在三棱柱ABC-A1B1C所以四邊形ABB因?yàn)镋是A1所以E也是AB又因?yàn)镈是AC的中點(diǎn)，所以DE//又因?yàn)镈E?平面BCC1B1，所以DE∥平面BCC1B1.

（2）由（1）知DE//B1C在三棱柱ABC-A1B1C1中，因?yàn)锳A1=BC所以平行四邊形BCC所以BC又因?yàn)锳B⊥B1C，AB∩BC1所以B1C⊥平面又因?yàn)锽1C?平面所以平面ABC1⊥【解析】【分析】（1）連結(jié)AB1，B1C，從而推導(dǎo)出四邊形ABB1A1是平行四邊形，則得出DE∥B1C，再利用線線平行證出線面平行，則證出直線DE∥平面BCC1B1．（2）利用已知條件和（1），從而推導(dǎo)出DE∥B1C，再利用AB⊥DE得出AB⊥B1C，再結(jié)合三棱柱的結(jié)構(gòu)特征和平行四邊形的定義、菱形的定義，則推導(dǎo)出平行四邊形BCC1B1是菱形，從而得出BC1⊥B1C，再由AB⊥B1C和線線垂直證出線面垂直，從而得出直線BC1⊥平面ABC1，再由線面垂直證出面面垂直，即證出平面ABC1⊥平面BCC1B1．19．【答案】解：（1）過(guò)點(diǎn)O分別作小正方形邊，大正方形邊的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，

因?yàn)閮?nèi)嵌一個(gè)大正方形孔的中心與同心圓圓心重合，所以點(diǎn)E，F(xiàn)分別為小正方形和大正方形邊的中點(diǎn)，所以小正方形的邊長(zhǎng)為12大正方形的邊長(zhǎng)為12所以五個(gè)正方形的面積和為S=4=8sin因?yàn)樾≌叫芜呴L(zhǎng)小于內(nèi)嵌一個(gè)大正方形的邊長(zhǎng)，所以sinθ<cosθ?2sinθ所以θ的取值范圍為0,θ0，所以面積S關(guān)于θ的函數(shù)表達(dá)式為S=8sin角θ的取值范圍為0,θ0，tanθ（2）法一：S=8sin=81?=9=92?652所以Smin=9?652，此時(shí)sin2θ+φ=1，

因?yàn)棣取?,θ所以tan2θ=則tan2θ=2tanθ1?由此解得：tanθ=因?yàn)?<tanθ<1答：面積S最小值為9?65法二：因?yàn)镾=8sin=8令t=tanθ，則設(shè)ft=8令f't=t0,?7+?7+f-0+f↘極小值↗↗所以，當(dāng)t=?7+654【解析】【分析】（1）過(guò)點(diǎn)O分別作小正方形邊，大正方形邊的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，由內(nèi)嵌一個(gè)大正方形孔的中心與同心圓圓心重合，從而得出點(diǎn)E，F(xiàn)分別為小正方形和大正方形邊的中點(diǎn)，再構(gòu)造直角三角形，從而利用小圓直徑與三角函數(shù)，則分別求出大、小正方形的邊長(zhǎng)，即可求得五個(gè)正方形的面積表達(dá)式，再由小正方形邊長(zhǎng)小于內(nèi)嵌一個(gè)大正方形的邊長(zhǎng)，從而可求得θ的取值范圍.

（2）利用兩種方法求解.

方法一：利用降冪公式和輔助角公式化簡(jiǎn)面積表達(dá)式為正弦型函數(shù)，當(dāng)sin2θ+φ=1時(shí)，S取最小值，從而結(jié)合角θ的取值范圍，進(jìn)而求出此時(shí)2θ+φ的值，再結(jié)合誘導(dǎo)公式和二倍角的正切公式，從而求出滿足要求的tanθ的值.

方法二：利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和換元法，令t=tanθ20．【答案】解：（1）因?yàn)閳AO:x2+y2=r2r>0與橢圓C:x2a2+y2則橢圓C:x（2）①因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)M的直線l交圓O和橢圓C分別于A，B兩點(diǎn)，因?yàn)?MB=3MA所以直線的斜率存在，

設(shè)直線l由x22+y2=1y=kx+1得(2k2+1)x2+4kx=0，

因?yàn)?MB=3MA，所以2×?4k2k2即直線l的方程為y=±2②是定值，理由如下，由①知A?2kk2k1=kNA所以k2【解析】【分析】（1）將圓與橢圓聯(lián)立得出交點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，從而得出b的值和圓的半徑r的值，再結(jié)合橢圓的離心率公式和橢圓中a，b，c三者的關(guān)系式，從而得出a的值，進(jìn)而得出橢圓C的方程.

（2）①過(guò)點(diǎn)M的直線l交圓O和橢圓C分別于A，B兩點(diǎn)，再利用2MB=3MA，從而得出直線的斜率存在，設(shè)直線ll的方程.

②由①知點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，再結(jié)合兩點(diǎn)求斜率公式，從而證出k221．【答案】解：（1）函數(shù)f(x)=(x+1)ln則f'由已知條件知f'1=a+2=?1則f1=a=?3，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為把1,?3代入x+y+b=0，解得b=2.證明：（2）令F(x)=f則F'(x)=1x?1x2=因?yàn)閍<?2，所以[F(x)]min又因?yàn)镕e?a=lne?a+e?a又因?yàn)镕e令G(a)=1+e?a+2a(a<?2)所以Ga在?∞,?2單調(diào)遞減，

故G(a)>G(?2)=e2?3>0，即Fea>0，