吉林省長春市2024-2025學年高三上學期質量監(jiān)測(一)數(shù)學試卷

吉林省長春市2024-2025學年高三上學期質量監(jiān)測(一數(shù)學試卷姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四總分評分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．一組數(shù)據(jù)1，1，3，4，5，5，6，7的第25百分位數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．62．已知向量a=(3,m),b=(m?5,2)，若aA．2 B．3 C．6 D．153．已知sin(α+β)=15A．-2 B．2 C．-3 D．34．某學校科技創(chuàng)新小組準備模擬東風31彈道導彈的發(fā)射過程，假設該小組采用的飛行器的飛行高度（單位：米）與飛行時間（單位：秒）之間的關系可以近似用函數(shù)y=alogA．15 B．16 C．18 D．205．正四面體ABCD中，AP=13AD,A．33 B．63 C．556．直線x+2y?4=0與直線3x+y?9=0所成角是（）A．30° B．45° C．60° D．75°7．為了解小學生每天的戶外運動時間，某校對小學生進行平均每天戶外運動時間（單位：小時）的調查，采用樣本量按比例分配的分層隨機抽樣.如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了三年級及以下學生40人，其平均數(shù)和方差分別為2.5和1.65，抽取了四年級及以上學生60人，其平均數(shù)和方差分別為1.5和3.5，則估計該校學生平均每天戶外運動時間的總體方差為（）A．5 B．4 C．3 D．28．已知定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x),f'(x)是f(x)的導函數(shù)，滿足xA．(0,1) B．(0,2) C．(1,+∞) 二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．函數(shù)f(x)=sinωx?πA．x=?π12是B．f(x)與函數(shù)y=cosC．f(x)在區(qū)間0,πD．f(x)在區(qū)間0,π210．已知等比數(shù)列an的公比為q，且a5=1，設該等比數(shù)列的前n項和為Sn，前A．aB．當q>1時，anC．Sn單調遞增的充要條件為D．當q>1時，滿足Tn>1的11．2022年卡塔爾世界杯賽徽近似“伯努利雙紐線”.伯努利雙紐線最早于1694年被瑞士數(shù)學家雅各布?伯努利用來描述他所發(fā)現(xiàn)的曲線.定義在平面直角坐標系xOy中，把到定點F1(?c,0),F2(c,0)距離之積等于定值cA．PO的最大值為3c C．?c2≤y0≤三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知公差不為0的等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若S9=313．已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上、下頂點分別為A、B，右焦點為F，B關于點F的對稱點為14．若(3+i)99=x+yi四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．已知函數(shù)f(x)=12x2?ax+b（1）求a與b的關系；（2）若函數(shù)f(x)在[2,+∞)上單調遞增，求16．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別是a,b,c,△ABC的面積記為S，已知3csin（1）求A；（2）若BC邊上的中線長為1，AD為角A的平分線，求CD的長.17．如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C（1）求證：直線A1C⊥平面（2）求平面A1BD與平面18．某醫(yī)學研究團隊經(jīng)過研究初步得出檢測某種疾病的患病與否和某項醫(yī)學指標有關，利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值c，將該指標大于c的人判定為陽性（患?。?，小于或等于c的人判定為陰性（未患?。?此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率.（1）隨機抽取男女各500人進行檢驗，采用臨界值c=97.5進行判定時，誤判共10人（漏診與誤診之和），其中2男8女，寫出2×2列聯(lián)表，依據(jù)小概率值α=0.050的獨立性檢驗，能否認為誤判與性別有關？（2）經(jīng)過大量調查，得到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布表：指標[95，100]（100，105]（105，110]（110，115]（115，120]（120，125]（125，130]患病者頻率0.010.060.170.180.20.20.18指標[70，75](75,80](80,85](85,90](90,95](95,100](100,105]未患病者頻率0.190.20.20.180.170.050.01假設數(shù)據(jù)在組內均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率.若漏診率和誤診率同時控制在2.5%以內（小于等于2.5%），求臨界值（3）在（2）條件下，求出誤判率（漏診率與誤診率之和）最小時的臨界值c0及c附：χα0.1000.0500.0100.001x2.7063.8416.63510.82819．已知F為拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點，O為坐標原點，過焦點F作一條直線l0交C于A，B兩點，點M在C的準線（1）求拋物線C的方程；（2）試問在l上是否存在定點N，使得直線NA與NB的斜率之和等于直線NF斜率的平方？若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由；（3）過焦點F且與x軸垂直的直線l1與拋物線C

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：由題意知，該組數(shù)據(jù)共有8個，則i=0.25×8=2，所以第25百分位數(shù)為1+32故答案為：B.【分析】利用已知條件和百分位數(shù)的定義，從而計算得出一組數(shù)據(jù)1，1，3，4，5，5，6，7的第25百分位數(shù).2．【答案】B【解析】【解答】解：由a⊥b，可得3(m?5)+2m=0，解得故答案為：B.【分析】根據(jù)兩向量垂直數(shù)量積為0的等價關系，再由數(shù)量積的坐標表示，從而得出m的值.3．【答案】A【解析】【解答】解：因為sinsin兩式聯(lián)立可得：sinα所以tanα故答案為：A.【分析】由已知條件和兩角和、差的正弦公式，展開求得sinαcosβ=4．【答案】C【解析】【解答】解：由題意可得：10=alog解得：a=20,b=10?20log設達到50米的高度需要x秒，20log解得：x=18，所以達到50米的高度需要18秒.故答案為：C.【分析】由題意列出關于a，b的方程，從而解方程組得出a，b的值，再結合已知條件，設達到50米的高度需要x秒，從而列出關于x的方程，則解方程得出x的值，進而得出達到50米的高度需要的時間.5．【答案】D【解析】【解答】解：從正方體中可截取一個正四面體，設正方體的邊長為3a，根據(jù)正方體的性質建立空間直角坐標系，如圖所示：，則C0,0,0所以AD=則BD=因為AP=所以Pa,3a,2a,Qa,0,a，

則PQ根據(jù)cosPQ則sinPQ所以，異面直線PQ與BD所成角的正弦值為25故答案為：D.【分析】從正方體中可截取一個正四面體，設正方體的邊長為3a，根據(jù)正方體的性質建立空間直角坐標系，從而得出點的坐標和向量的坐標，再結合向量的模的坐標表示和向量共線的坐標表示以及數(shù)量積求向量夾角公式，則得出異面直線PQ與BD所成角的余弦值，再根據(jù)同角三角函數(shù)基本關系式，從而得出異面直線PQ與BD所成角的正弦值.6．【答案】B【解析】【解答】解：因為直線x+2y?4=0斜率k1=?12，直線設兩直線的夾角為θ，則tanθ=k2?k11+故答案為：B.【分析】根據(jù)題意，求得兩條直線的斜率，再由兩直線的夾角公式和代入計算的方法，從而結合夾角的取值范圍，進而得出直線x+2y?4=0與直線3x+y?9=0所成角.7．【答案】C【解析】【解答】解：抽取了三年級及以下學生40人，其平均數(shù)和方差分別為x=2.5，s抽取了四年級及以上學生60人，其平均數(shù)和方差分別為z=1.5，s設抽取的總體樣本的平均數(shù)為y和方差為s2則y=所以s2故答案為：C.【分析】根據(jù)已知條件和分層抽樣的方法，再結合平均數(shù)公式、方差的公式，從而計算估計出該校學生平均每天戶外運動時間的總體方差.8．【答案】D【解析】【解答】解：設g(x)=f(x)x2因為x>0，xf'(x)?2f(x)<0，所以g'(x)<0，

不等式f(2x)>4x，即f2x因為g(x)在0,+∞上單調遞減，

所以2x<2所以不等式的解集為：(?∞故答案為：D.【分析】利用已知條件，構造函數(shù)g(x)=f(x)x2，再由導數(shù)判斷函數(shù)g(x)的單調性，從而將已知不等式轉化為關于g(x)不等式，再利用函數(shù)g(x)在0,+9．【答案】A,D【解析】【解答】解：因為函數(shù)fx=sinωx?π3ω>0)的最小正周期為π，

對于A，因為f?π12=sin?π6對于B，因為y=cos2x+與fx對于C，當x∈0,π4因為y=sinx在?π3,π6對于D，當x∈0,π2時，2x?π3∈?π3,2π3，

因為故答案為：AD.

【分析】先根據(jù)正弦型函數(shù)的最小正周期公式，從而求出ω的值，進而確定函數(shù)f(x)的解析式，再結合換元法和正弦函數(shù)的圖象的對稱性，則判斷出選項A；利用已知條件和誘導公式，從而判斷出選項B；利用x的取值范圍和不等式的基本性質，再結合換元法和正弦函數(shù)的圖象判斷單調性的方法，則判斷出函數(shù)f(x)在區(qū)間0,π4上的單調性，則判斷出選項C；利用x的取值范圍和不等式的基本性質，再結合正弦型函數(shù)的圖象求值域的方法，從而得出函數(shù)f(x)在區(qū)間10．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：因為a5=a對于A：因為a5=1且則a3+a7=1q所以a3對于C：若Sn單調遞增，等價于S又因為數(shù)列an為等比數(shù)列，則a即qn?1>0對任意n≥2恒成立，等價于即Sn單調遞增，等價于q>0，

所以Sn單調遞增的充要條件為對于B：若q>1，則an>0，且an+1所以數(shù)列an對于D：當n≤4時，an<1；當n≥6時，當n≤5時，Tn為遞減數(shù)列，且T當n≥6時，Tn為遞增數(shù)列，且T綜上所述：當n≤9時，Tn≤1；當n≥10時，所以滿足Tn>1的故答案為：ABC.【分析】利用已知條件和等比數(shù)列的通項公式，可知a1>0，利用已知條件和等比數(shù)列的通項公式以及均值不等式求最值的方法，則判斷出選項A；利用Sn的單調性，等價于an>0,n≥2，再結合等比數(shù)列的通項公式得出對任意n≥2恒成立，等價于q>0，從而得出Sn單調遞增的充要條件，則判斷出選項C；利用等比數(shù)列的定義和數(shù)列的單調性，則判斷出選項B；當n≤4時，an<1，當n≥6時，11．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：依題意，如圖所示：

對于B，由題意得雙紐線的軌跡方程為x+c2+將x換成?x，把y換成?y得?x+c2即x+c2對于C，S△PF1又因為Px0,故c2sin∠當且僅當∠F1P對于D，PF1+PF對于A，當P,O重合時，PO=0當P,O不重合時，PO=兩邊平方得PO2在△PF1F2即PF1①②聯(lián)立得，PO2當P落在x軸上（除原點）時，等號成立，故PO≤2c，PO故答案為：BCD.【分析】利用已知條件求出雙紐線的軌跡方程為x+c2+y2?x?c2+y2=c2，將x換成?x，把y換成?y12．【答案】9【解析】【解答】解：設等差數(shù)列an的公差為d由S9=3a化簡得(m+3)d=12d，

因為d≠0，解得m=9.故答案為：9.【分析】設公差為d，再利用已知條件和等差數(shù)列的通項公式和求和公式，再結合d≠0，從而化簡計算得出m的值.13．【答案】3【解析】【解答】解：由題意，設A(0,b),B(0,?b),F(c,0)，

則AF的中點為(c2,b2)，

因為kAF=?bc，所以AF由B關于點F的對稱點為B'，則B'(2c,b)，故AB聯(lián)立①②，可得y=b2+c22b=由題意得a=a22b故答案為：32【分析】根據(jù)題意，設A(0,b),B(0,?b),F(c,0)，再由中點坐標公式設出AF的中點坐標，再由已知條件和兩直線垂直斜率之積等于-1，從而得出AF中垂線的斜率，再由中垂線的定義和點斜式方程，從而求出AF的中垂線，再由點與點關于點對稱的求解方法和中垂線的定義，從而得出AB'的中垂線方程，再聯(lián)立兩直線方程得出過14．【答案】2【解析】【解答】解：由于32則(所以x=0，y=299，即故答案為：2100【分析】利用復數(shù)的運算法則和i的周期性，從而得出x，y的值，進而得出x+2y的值.15．【答案】（1）解：由f(x)=12x2?ax+blnx依題意，f'(1)=1?a+b=0，即得此時切線方程為y=12?a，

所以a?b=1a≠（2）解：函數(shù)f(x)在[2,+∞)上單調遞增，

等價于f'即x?a+a?1x≥0在[2,+∞)故得a≤3且a≠12，所以實數(shù)a的取值范圍是【解析】【分析】（1）利用導數(shù)的幾何意義和兩直線平行斜率相等的判斷方法，則得出切線的斜率，再結合代入法，從而得出a，b的關系.（2）由題意結合函數(shù)的單調性，從而得到f'(x)=x?a+bx≥0在[2,+∞)（1）由f(x)=12x2?ax+b依題意，f'(1)=1?a+b=0，即得此時切線方程為y=12?a所以a?b=1a≠（2）函數(shù)f(x)在[2,+∞)上單調遞增等價于f'即x?a+a?1x≥0在[2,+∞)故得a≤3且a≠12，即a的取值范圍是16．【答案】（1）解：由題意得出3csin因為sinB=3sinC≠0，

所以6所以A=π（2）解：如下圖，AE是BC的中線，

則AE=1所以AE2由sinB=3sinC?b=3c，

又因為12bcsinπ3=12b?ADsinπ6+12【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形面積公式、正弦定理中的邊角關系，從而化簡已知條件可得cosA（2）因為AE是BC的中線，再利用平行四邊形法則和數(shù)量積的運算律以及正弦定理，從而得出c2的值，再結合三角形的面積的關系式和三角形的面積公式，從而得出b（1）由題設3csin而sinB=3sinC≠0，所以6所以A=π（2）如下示意圖，AE是BC的中線，則AE=所以AE2由sinB=3sinC?b=3c又12bcsin即33c=4AD?AD所以CD=A17．【答案】（1）證明：已知如圖所示：

設AB=a，AD=則a,b,c為空間的一個基底，且A1因為AB=AD=AA1=2則a→2=可得A1C即A1C⊥BD,A1C⊥BB1所以A1C⊥平面（2）解：由（1）知，AC1=所以AC則AC1⊥DB所以AC則AC1⊥A1B，又因為DB∩A1B=B，DB,故AC1，A1C→設平面A1BD與平面BDD所以cosθ=所以，平面A1BD與平面BDD【解析】【分析】（1）取a,b,c為空間的一個基底，則由空間向量基本定理和數(shù)量積的運算法則，從而由兩向量垂直數(shù)量積為0的等價關系，則證出線線垂直，再由線線垂直證出線面垂直，即證出用空間向量證明線線垂直，再由線面垂直的判定定理證出線面垂直，即證出直線（2）由（1）知，AC1=a→+b→+c→（1）設AB=a，AD=b則a,b,c為空間的一個基底，且A1因為AB=AD=AA1=2則a→2=可得A1C?即A1C⊥BD,A1C⊥BB1所以A1C⊥平面（2）由（1）知，AC1=所以AC則AC又A1所以AC則AC又DB∩A1B=B，DB,A1B?平面故AC1，A1C→設平面A1BD與平面BDD所以cosθ=所以平面A1BD與平面BDD18．【答案】（1）解：依題意，列出2×2列聯(lián)表為：誤判人數(shù)未誤判人數(shù)總計男性人數(shù)2498500女性人數(shù)8492500總計109901000由上表可知，χ2故可以認為，依據(jù)小概率值α=0.050的獨立性檢驗，沒有充分的證據(jù)證明零假設不成立，即認為誤判與性別無關.（2）解：因漏診率小于等于2.5%，由頻率分布表可知，臨界值c應在(100,105]依題意，有c≤100+0.015又因誤診率小于等于2.5%，由頻率分布表可知，臨界值c應在(95,100]依題意，有c≥100?0.015綜上所述，臨界值c的范圍為[98.5,101.25].（3）解：由（2）已得c∈[98.5,101.25]，故c0此時誤診率為：0.01+100?98.55×0.05=0.025漏診率為：98.5?955×0.01=0.007，即【解析】【分析】（1）依題意列出2×2列聯(lián)表，將數(shù)據(jù)代入卡方公式，根據(jù)卡方值與對應的小概率值比較，即可判斷誤判與性別的相關程度.（2）分別根據(jù)漏診率和誤診率都小于2.5%，再結合頻率分布表，先判斷臨界值c所在組別，再利用百分位數(shù)的定義，建立c滿足的不等式，從而得到臨界值c（3）由（2）易得誤判率（漏診率與誤診率之和）最小時的臨界值c0的值，再根據(jù)誤診率與漏診率的定義，從而結合頻率分布表列式，即可求得c（1）依題意，列出2×2列聯(lián)表為：

誤判人數(shù)未誤判人數(shù)總計男性人數(shù)2498500女性人數(shù)8492500總計109901000由上表，χ2故可以認為，依據(jù)小概率值α=0.050的獨立性檢驗，沒有充分的證據(jù)證明零假設不成立，即認為誤判與性別無關；（2）因漏診率小于等于2.5%，由頻率分布表可知，臨界值c應在(100,105]依題意，有c≤100+0.015又因誤診率小于等于2.5%，由頻率分布表可知，臨界值c應在(95,100]依題意，有c≥100?0.015綜上，臨界值c的范圍為[98.5,101.25]；（3）由（2）已得c∈[98.5,1