福建省2024年高三一輪模擬數(shù)學(xué)試題 含答案

福建省2024年高三一輪模擬數(shù)學(xué)試題一、單選題1．復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B．C． D．2．已知集合，，若，則的最大值是（

）A． B．C． D．3．已知所在平面內(nèi)一點，滿足，則（

）A． B．C． D．4．對變量，有觀測數(shù)據(jù)，得散點圖1；對變量，有觀測數(shù)據(jù)，得散點圖2.表示變量，之間的樣本相關(guān)系數(shù)，表示變量，之間的樣本相關(guān)系數(shù)，則（

）A． B．C． D．5．已知符號函數(shù)則函數(shù)的圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

6．（

）A． B． C．1 D．7．直線與直線相交于點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．某工廠加工一種電子零件，去年月份生產(chǎn)萬個，產(chǎn)品合格率為.為提高產(chǎn)品合格率，工廠進(jìn)行了設(shè)備更新，今年月份的產(chǎn)量在去年月的基礎(chǔ)上提高，產(chǎn)品合格率比去年月增加，計劃以后兩年內(nèi)，每月的產(chǎn)量和產(chǎn)品合格率都按此標(biāo)準(zhǔn)增長，那么該工廠的月不合格品數(shù)達(dá)到最大是今年的（

）A．月份 B．月份C．月份 D．月份二、多選題9．已知等差數(shù)列的前項和為，則（

）A．的最小值為1 B．的最小值為1C．為遞增數(shù)列 D．為遞減數(shù)列10．在長方體中，為的中點，則（

）A． B．平面C．點到直線的距離為 D．點到平面的距離為11．通信工程中常用元數(shù)組表示信息，其中或．設(shè)表示和中相對應(yīng)的元素（對應(yīng)，）不同的個數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則存在5個5元數(shù)組，使得B．若，則存在12個5元數(shù)組，使得C．若元數(shù)組，則D．若元數(shù)組，則三、填空題12．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)是，則．13．底面半徑為2且軸截面為正三角形的圓錐被平行于其底面的平面所截，截去一個高為的圓錐，所得的圓臺的側(cè)面積為．14．在平面直角坐標(biāo)系中，整點（橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為整數(shù)）在第一象限，直線，與圓：分別切于，兩點，與軸分別交于，兩點，則使得周長為的所有點的坐標(biāo)是．四、解答題15．已知函數(shù)在處取值得極大值．(1)求的值；(2)求在區(qū)間上的最大值．16．某校高三年級名學(xué)生的高考適應(yīng)性演練數(shù)學(xué)成績頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是、、、、、．(1)求圖中的值，并根據(jù)頻率分布直方圖，估計這名學(xué)生的這次考試數(shù)學(xué)成績的第百分位數(shù)；(2)從這次數(shù)學(xué)成績位于、的學(xué)生中采用比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取人，再從這人中隨機抽取人，該人中成績在區(qū)間的人數(shù)記為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．17．如圖，四棱錐，平面平面為中點．(1)證明：平面平面；(2)求平面與平面夾角的正弦值．18．設(shè)點、分別是橢圓的左、右焦點，為橢圓上任意一點，且的最小值為．(1)求橢圓的方程；(2)求橢圓的外切矩形的面積的最大值．19．隨著信息技術(shù)的快速發(fā)展，離散數(shù)學(xué)的應(yīng)用越來越廣泛．差分和差分方程是描述離散變量變化的重要工具，并且有廣泛的應(yīng)用．對于數(shù)列，規(guī)定為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列，其中，規(guī)定為數(shù)列的二階差分?jǐn)?shù)列，其中．(1)數(shù)列的通項公式為，試判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列，請說明理由？(2)數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列，且，對于任意的，都存在，使得，求的值；(3)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，且為常數(shù)列，對滿足，的任意正整數(shù)都有，且不等式恒成立，求實數(shù)的最大值．參考答案：1．A【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡可得復(fù)數(shù).【詳解】因為，則.故選：A.2．C【分析】解出集合，由集合的包含關(guān)系可得出關(guān)于實數(shù)的不等式組，解之即可得出實數(shù)的最大值.【詳解】因為，由可得，解得，即，又因為，，則，解得，故的最大值為.故選：C.3．B【分析】由已知條件結(jié)合平面向量的加法可得出關(guān)于、的表達(dá)式.【詳解】因為，即，即，解得，故選：B.4．A【分析】利用散點圖，結(jié)合相關(guān)系數(shù)知識容易得出答案.【詳解】從圖像中看出隨增大而減少（圖像下降），隨增大而減少（圖像下降），則與呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，與呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，即，故C，D不正確；另外對比兩圖，容易看出與相關(guān)性更強，故越接近，所以得，A正確，B錯誤.故選：A.5．D【分析】先得到為偶函數(shù)，排除AB，再計算出，得到正確答案.【詳解】定義域為R，且為奇函數(shù)，故，故的定義域為R，且，故為偶函數(shù)，AB錯誤；當(dāng)時，，C錯誤，D正確.故選：D6．A【分析】利用誘導(dǎo)公式，余弦和差公式，二倍角公式，輔助角公式等化簡求值.【詳解】.故選：A7．B【分析】求出直線、所過定點的坐標(biāo)，分析可知，即，求出點的軌跡方程，分析可知，設(shè)，可知直線與曲線有公共點，利用直線與圓的位置關(guān)系可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，解之即可.【詳解】直線的方程可化為，由可得，對于直線，由可得，所以，直線過定點，直線過定點，又因為，則，即，則，，所以，，所以，，當(dāng)，，點不在直線上，所以，點的軌跡是曲線，設(shè)可得，由題意可知，直線與曲線有公共點，且圓的圓心為原點，半徑為，所以，，解得，當(dāng)，時，；當(dāng)，時，.因此，的取值范圍是.故選：B.8．C【分析】該工廠每月的產(chǎn)量、合格率分別用、表示，月份用表示，求出的表達(dá)式，分析數(shù)列，即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)從今年月份起，每月的產(chǎn)量和產(chǎn)品的不合格率都按題中的標(biāo)準(zhǔn)增長，該工廠每月的產(chǎn)量、合格率分別用、表示，月份用表示，則，，其中，，則從今年月份起，各月不合格產(chǎn)品數(shù)量為，單位：萬臺，因為，當(dāng)時，，即，此時，數(shù)列單調(diào)遞增，即；當(dāng)且時，，即，此時，數(shù)列單調(diào)遞減，即，因此，當(dāng)時，最大，故該工廠的月不合格品數(shù)達(dá)到最大是今年的月份.故選：C.9．ABC【分析】求出數(shù)列通項公式和前n項和公式，然后逐一判斷各項【詳解】假設(shè)的公差為，由，所以，又，所以，所以．選項A：，故時的最小值為1，A正確；選項B：，令，所以，可知在區(qū)間單調(diào)遞增，所以時取得最小值1，B正確；選項C：，故為遞增數(shù)列，C正確；選項D：，因為，所以不是遞減數(shù)列，D錯誤．故選：ABC10．BC【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量垂直即可求解A,根據(jù)線線平行即可判斷B，根據(jù)向量法即可求解空間距離，判斷CD.【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，易知，，，，，．

A，，，所以A錯誤；B，顯然，平面,平面,可得平面，所以B正確；C，記直線的單位方向向量為，則，又，所以向量在直線上的投影向量為，則有到直線的距離為，故C正確；D，設(shè)平面的法向量為，由，令，可得，又，所以點到平面的距離，故D錯誤．故選：BC11．ACD【分析】根據(jù)所給新定義理解題意，由組合知識即可判斷AB，設(shè)中對應(yīng)項同時為0的共有個，同時為1的共有個，從而對應(yīng)項一項為1與另一項為0的共有個，根據(jù)新定義判斷CD.【詳解】選項A：由題意，5個位置選則1個位置安排1即可，滿足條件的數(shù)組共有個，故A正確；選項B：由題意5個位置選則3個位置安排0即可，滿足條件的數(shù)組共有個，故B錯誤；選項C：設(shè)中對應(yīng)項同時為0的共有個，同時為1的共有個，從而對應(yīng)項一項為1與另一項為0的共有個，這里，從而，而，故C正確，同理D正確．故選：ACD12．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)寫出，再結(jié)合復(fù)數(shù)的乘法計算得出結(jié)果.【詳解】依題意可知，所以．故答案為：.13．【分析】由已知條件求出圓臺的上底面半徑，下底面半徑及母線長，再利用圓臺的側(cè)面積公式計算即可.【詳解】由已知是邊長為4的等邊三角形，，又，可得圓臺的上底面半徑，下底面半徑，母線長，則該圓臺的側(cè)面積為．故答案為：.14．或【分析】根據(jù)題意，先確定點滿足的條件，得到點的軌跡方程，再根據(jù)為第一象限的整點確定滿足條件的點的個數(shù)即坐標(biāo).【詳解】如圖：

因為直線，分別與圓：相切于，兩點，且直線，分別與軸交于，兩點，所以，，，所以的周長為，所以，設(shè)，所以，因為為整點，所以點的坐標(biāo)為或．故答案為：或15．(1)(2)【分析】（1）求導(dǎo)，然后令求出，代入驗證是否符合題意即可；（2）求導(dǎo)，確定函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，進(jìn)而可求最大值.【詳解】（1）由已知令得或，當(dāng)時，令得或，令得，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時函數(shù)在處取極大值，在處取極小值，與函數(shù)在處取值得極大值不符；當(dāng)，即時，令得或，令得，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時函數(shù)在處取極大值，在處取極小值，符合題意；所以；（2）由（1）得，，令，得，函數(shù)單調(diào)遞增，令，得，函數(shù)單調(diào)遞減，所以.16．(1)，第分位數(shù)為(2)分布列答案見解析，【分析】（1）根據(jù)頻率直方圖所有矩形的面積之和為可得出的值，利用百分位數(shù)的定義可求得這名學(xué)生的這次考試數(shù)學(xué)成績的第百分位數(shù)；（2）分析可知，隨機變量的可能取值有、、、，計算出隨機變量在不同取值下的概率，可得出隨機變量的分布列，進(jìn)而可求得的值.【詳解】（1）解：由頻率分布直方圖可得，解得.前四個矩形的面積之和為，前五個矩形的面積之和為，設(shè)這名學(xué)生的這次考試數(shù)學(xué)成績的第百分位數(shù)為，則，解得，因此，這名學(xué)生的這次考試數(shù)學(xué)成績的第百分位數(shù)為.（2）解：數(shù)學(xué)成績位于、的學(xué)生人數(shù)之比為，所以，所抽取的人中，數(shù)學(xué)成績位于的學(xué)生人數(shù)為，數(shù)學(xué)成績位于的學(xué)生人數(shù)為人，由題意可知，隨機變量的可能取值有、、、，則，，，，所以，隨機變量的分布列如下表所示：所以，.17．(1)證明見解析；(2)【分析】（1）根據(jù)四棱錐棱長及其性質(zhì)，利用三角形全等可證明，再由面面垂直性質(zhì)可得，再由線面垂直判定定理可得平面，即可得平面平面；（2）建立以為坐標(biāo)原點的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量分別求出平面與平面的法向量，即可求得其夾角的正弦值為.【詳解】（1）根據(jù)題意可得為中點，所以，易知，所以，可得，易知，所以，即；由，為中點，可得，又平面平面，平面平面，所以平面，又平面，所以；又，平面，所以平面，又平面，因此平面平面；（2）以為坐標(biāo)原點，分別以為軸，過點平行于的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，易知，可得，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則；所以；設(shè)平面夾角的的一個法向量為，則，解得，令；所以；可得，設(shè)平面與平面的夾角為，可得可得平面與平面夾角的正弦值為.18．(1)(2)【分析】（1）設(shè)點，可得出，其中，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的值，由此可得出橢圓的方程；（2）設(shè)點，分兩種情況討論，①直線、的斜率存在且斜率分別為、，設(shè)過點且斜率存在的直線的方程為，將該直線方程與橢圓方程聯(lián)立，由結(jié)合可求出點的軌跡方程，②直線、分別與兩坐標(biāo)軸垂直，驗證此時點的坐標(biāo)滿足①中的軌跡方程，再利用勾股定理結(jié)合基本不等式可求得的最大值.【詳解】（1）解：設(shè)點，則，其中，，，所以，，故當(dāng)時，取最小值，可得，因此，橢圓的方程為.（2）解：設(shè)點，當(dāng)直線、的斜率都存在時，設(shè)直線、的斜率分別為、，設(shè)過點且斜率存在的直線的方程為，即，聯(lián)立可得，則，整理可得，即，則、是關(guān)于的方程的兩根，因為，則，整理可得；當(dāng)、分別與兩坐標(biāo)軸垂直時，則，滿足.所以，點的軌跡方程為，由對稱性可知，矩形的四個頂點都在圓，該圓的半徑為，由勾股定理可得，由基本不等式可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，故，即矩形的面積的最大值為.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．19．(1)不是等差數(shù)列，是等差數(shù)列(2)(3)2【分析】（1）理清條件的新定義，結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)進(jìn)行判斷；（2）根據(jù)新定義和等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)等進(jìn)行分類討論求解；（3）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)以及新定義求解出，運用均值不等式求解出的范圍，從而得出的最值.【詳解】（1）因為，所以，因為，，，故，，顯然，所以不是等差數(shù)列；因為，則，，所以是首項為12，公差為6的等差數(shù)列.（2）因為數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列，所以，故，所以數(shù)列是以公比為的正項等比數(shù)列，，所以，且對任意的，都存在，使得，即，所以，因為，所以，①若，則，解得（舍），或，即當(dāng)時，對任意的，都存在，使得.②若，則，對任意的，不存在，使得.綜上所述，.（3）因為為常數(shù)列，則是