第04講-數(shù)列的通項公式(練習)(解析版)

第04講數(shù)列的通項公式（模擬精練+真題演練）1．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知正項數(shù)列的前n項和為，滿足，則（

）A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【答案】B【解析】由題意，，，兩式相減，得，．，．當時，，，是首項為1，公差為1的等差數(shù)列．．故選：B2．（2023·北京朝陽·二模）已知數(shù)列的前n項和是，則（

）A．9 B．16 C．31 D．33【答案】B【解析】設數(shù)列的前n項和為，則，則.故選:B.3．（2023·四川內江·?？寄M預測）已知數(shù)列1，，，，3，，…，，…，則7是這個數(shù)列的（

）A．第21項 B．第23項 C．第25項 D．第27項【答案】C【解析】因為數(shù)列的第項為，而，所以7是題中數(shù)列的第25項．故選：C4．（2023·甘肅張掖·高臺縣第一中學?？寄M預測）已知數(shù)列的前n項和為，若，，（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得，所以，所以，因為，所以是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以，所以，所以．故選：D5．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預測）南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上層（即第一層）有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，第四層有10個球，…，設“三角垛”從第一層到第n層的各層球的個數(shù)構成一個數(shù)列，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由相鄰層球的個數(shù)差，可知，，所以當時，，將代入得，符合所以，對于A項，當時，，故A項錯誤；對于B項，當時，，故B項錯誤；對于C項，因為，所以，，所以，故C項錯誤；對于D項，，故D項正確.故選：D.6．（2023·山東菏澤·山東省鄄城縣第一中學?？既＃┮阎獢?shù)列的前項和為，若滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】當時，，，得，當時，，，，，又，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，.故選：C7．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學?？寄M預測）已知是各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和，，，若對恒成立，則實數(shù)的最大值為（

）A． B．16 C． D．32【答案】D【解析】，數(shù)列是首項為、公比為2的等比數(shù)列，，解得或（舍），，即恒成立，，當且僅當即時取等號，.故選：.8．（2023·江西南昌·校聯(lián)考模擬預測）在數(shù)列中，，則的前項和的最大值為（

）A．64 B．53 C．42 D．25【答案】B【解析】由,得,令,所以,則,所以數(shù)列是以為首項,2為公比的等比數(shù)列,所以,即,即,由,將以上個等式兩邊相加得,所以,經(jīng)檢驗滿足上式，故當時,,即單調遞增,當時,,即單調遞減,因為,所以的前項和的最大值為，故選：B9．（多選題）（2023·廣東韶關·?？寄M預測）已知數(shù)列的通項公式為，則下列正確的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】對于A，6是偶數(shù)，則，A錯誤；對于B，，B正確；對于C，，C正確；對于D，，，，D錯誤.故選：BC.10．（多選題）（2023·遼寧大連·統(tǒng)考二模）南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”（下圖所示的是一個4層的三角跺）.“三角垛”最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，…，設第n層有個球，從上往下n層球的球的總數(shù)為，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】由題意得，，以上n個式子累加可得，又滿足上式，所以，故A錯誤；則，得，故B正確；有，故C正確；由，得，故D正確.故選：BCD.11．（多選題）（2023·遼寧沈陽·東北育才學校?？寄M預測）已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，，則下列說法正確的是（

）A．數(shù)列的前n項和為B．數(shù)列的通項公式為C．數(shù)列不是遞增數(shù)列D．數(shù)列為遞增數(shù)列【答案】CD【解析】，則，即，故是首項為，公差為的等差數(shù)列，故，即，，.對選項A：，錯誤；對選項B：，錯誤；對選項C：，，故數(shù)列不是遞增數(shù)列，正確；對選項D：，故數(shù)列為遞增數(shù)列，正確；故選：CD.12．（多選題）（2023·全國·模擬預測）設是數(shù)列的前項和．下面幾個條件中，能推出是等差數(shù)列的為（

）A．當時， B．當時，C．當時， D．當時，【答案】ABD【解析】對于A，當時，且，兩式相減可得，即．所以是恒為0的數(shù)列，即是公差為0的等差數(shù)列，故A正確；對于B，當時，且，兩式相減可得，即，所以，即是常數(shù)列，是公差為0的等差數(shù)列，故B正確；對于C，如果，令可得，當時，且，兩式相減可得，如果，則，這并不能推出是等差數(shù)列，例如：考慮如下定義的數(shù)列：1，1，2，2，3，3，，則其通項公式可寫成，．則，．即數(shù)列1，1，2，2，3，3，滿足對任意正整數(shù)成立，但它并不是等差數(shù)列，故C錯誤；對于D，當時，且，兩式相減可得，所以，即，故，即是公差為的等差數(shù)列，故D正確；故選：ABD．13．（2023·江蘇揚州·揚州中學?？寄M預測）數(shù)列的前n項和為，且，則“”是“”的條件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中的一種）【答案】充分不必要【解析】當時，，當時，，當時，，因為滿足上式，所以，所以，，所以成立，由可得，，，所以此時滿足，但不一定，所以“”是“”的充分不必要條件，故答案為：充分不必要14．（2023·廣西南寧·南寧三中?？家荒＃┮阎獢?shù)列滿足，，則數(shù)列的通項公式為．【答案】【解析】，兩邊同除得：，所以，即，化簡得，∵，∴．故答案為：.15．（2023·湖北襄陽·襄陽四中?？寄M預測）數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項公式為.【答案】【解析】由題意…①，，…②，②①得：，則當時，，當，不適合上式.

；故答案為：.16．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預測）已知數(shù)列的前n項和滿足，則．【答案】【解析】數(shù)列的前n項和滿足，即，當時，，即有，當時，，即，因此數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以.故答案為：17．（2023·江蘇鹽城·鹽城中學校考模擬預測）若數(shù)列的前項的和為，且，(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求的值.【解析】（1）因為，且，，所以，解得，所以，當時，所以，即，當時也成立，所以；（2）由（1）可得，所以.18．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中學校考模擬預測）數(shù)列中，(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，數(shù)列的前項和為，證明.【解析】（1）因為，即，所以當時，，將以上各式相加，得，則，當時也符合上式，故.（2）由題意.所以19．（2023·江蘇揚州·揚州中學?？寄M預測）已知數(shù)列的前項和為，且.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)若，求數(shù)列的前項和.【解析】（1）因為，當時，，當時，，所以，即，又因為，滿足上式，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，則.（2）因為，所以.20．（2023·廣東佛山·?？寄M預測）如果數(shù)列對任意的，，則稱為“速增數(shù)列”.(1)請寫出一個速增數(shù)列的通項公式，并證明你寫出的數(shù)列符合要求；(2)若數(shù)列為“速增數(shù)列”，且任意項，，，，求正整數(shù)的最大值.【解析】（1）取，則，，因為，所以，所以數(shù)列是“遞增數(shù)列”.（2）當時，，因為數(shù)列為“速增數(shù)列”，所以，且，所以，即，當時，，當時，，故正整數(shù)的最大值為63.21．（2023·山東菏澤·山東省鄄城縣第一中學?？既＃┮阎獢?shù)列的前項和為，且滿足，數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列．(1)分別求出數(shù)列的通項公式；(2)設數(shù)列，求出數(shù)列的前項和．【解析】（1）當時，，得，當時，，所以，所以，即，因為，所以，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以.因為數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，所以，則，（2）由（1）知，，，所以，所以，，所以，所以，化簡得.22．（2023·廣東梅州·大埔縣虎山中學?？寄M預測）已知數(shù)列的前n項和為.(1)若，，證明：；(2)在（1）的條件下，若，數(shù)列的前n項和為，求證【解析】（1）因為，，所以，，所以數(shù)列是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，，當時，，，當時，滿足上式，所以，所以成立.（2）由（1）知，，所以，則，所以，所以成立.1．（2023?新高考Ⅱ）已知為等差數(shù)列，，記，為，的前項和，，．（1）求的通項公式；（2）證明：當時，．【解析】（1）設等差數(shù)列的公差為，，為的前項和，，，則，即，解得，故；（2）證明：由（1）可知，，，當為偶數(shù)時，，，，當為奇數(shù)時，，，，故原式得證．2．（2023?新高考Ⅰ）設等差數(shù)列的公差為，且．令，記，分別為數(shù)列，的前項和．（1）若，，求的通項公式；（2）若為等差數(shù)列，且，求．【解析】（1），，根據(jù)題意可得，，，又，解得，，，；（2）為等差數(shù)列，為等差數(shù)列，且，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式的特點，可設，則，且；或設，則，且，①當，，時，則，，，又，解得；②當，，時，則，，，又，此時無解，綜合可得．3．（2023?全國）已知為等比數(shù)列，其前項和為，，．（1）求的通項公式；（2）若，求的前項和．【解析】（1）為等比數(shù)列，其前項和為，，．，，則，兩式作商得，即，得，，則，．（2），當時，，即是公比為的等比數(shù)列，首項，則．4．（2022?新高考Ⅰ）記為數(shù)列的前項和，已知，是公差為的等差數(shù)列．（1）求的通項公式；（2）證明：．【解析】（1）已知，是公差為的等差數(shù)列，所以，整理得，①，故當時，，②，①②得：，故，化簡得：，，，，；所以，故（首項符合通項）．所以．證明：（2）由于，所以，所以．5．（2022?天津）設是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且．（1）求與的通項公式；（2）設的前項和為，求證：；【解析】（1）設等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，，，，解得，，．（2）證明：，要證明，即證明，即證明，即證明，由數(shù)列的通項公式和前項和的關系得：，．6．（2021?乙卷）設是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足，已知，，成等差數(shù)列．（1）求和的通項公式；（2）記和分別為和的前項和．證明：．【解析】（1），，成等差數(shù)列，，是首項為1的等比數(shù)列，設其公比為，則，，，．（2）證明：由（1）知，，，，①，②①②得，，，，．7．（2021?新高考Ⅱ）記是公差不為0的等差數(shù)列的前項和，若，．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）求使成立的的最小值．【解析】（Ⅰ）數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列的前項和，若，．根據(jù)等差數(shù)列的性質，，故，根據(jù)可得，整理得，可得不合題意），故．（Ⅱ），，，，即，整理可得，當或時，成立，由于為正整數(shù)，故的最小正值為7．8．（2021?新高考Ⅰ）已知數(shù)列滿足，（1）記，寫出，，并求數(shù)列的通項公式；（2）求的前20項和．【解析】（1）因為，，所以，，，所以，，，，所以數(shù)列是以為首項，以3為公差的等差數(shù)列，所以．另由題意可得，，其中，，于是，．（2）由（1）可得，，則，，當時，也適合上式，所以，，所以數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別為等差數(shù)列，則的前20項和為．9．（2021?乙卷）記為數(shù)列的前項和，為數(shù)列的前項積，已知．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求的通項公式．【解析】（1）證明：當時，，由，解得，當時，，代入，消去，可得，所以，所以是以為首項，為公差的等差數(shù)列．（2）由題意，得，由（1），可得，由，可得，當時，，顯然不滿足該式，所以．10．（2021?浙江）已知數(shù)列的前項和為，，且．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ