數(shù)列極限(42)教學(xué)講義

上課2025/1/91微積分--數(shù)列極限第2章極限與連續(xù)2025/1/92微積分--數(shù)列極限一、數(shù)列概念數(shù)列可看作自變量為正整數(shù)的函數(shù)(下標(biāo)函數(shù))2.1數(shù)列的極限2.特性:1)有界性:2)單調(diào)性:1.定義:按自然數(shù)編號(hào)依次排列的一列數(shù)稱為無窮數(shù)列,簡(jiǎn)稱數(shù)列,記為{un}.其中的每個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的項(xiàng),un稱為通項(xiàng)(一般項(xiàng)).稱此數(shù)列單調(diào)增加稱此數(shù)列單調(diào)減少

2025/1/93微積分--數(shù)列極限正六邊形的面積正十二邊形的面積正形的面積2025/1/95微積分--數(shù)列極限(2)莊子的截丈問題:第一天剩余u1＝第二天剩余u2＝第n天剩余un＝0但≠0n∞時(shí),un＝“一尺之棰,日取其半,萬世不竭.”……2025/1/96微積分--數(shù)列極限01010-112.直觀定義：數(shù)列{un},若當(dāng)n無限增大時(shí),un無限趨近于常數(shù)a,則稱數(shù)列{un}以a為極限,或稱{un}收斂于a,記：發(fā)散無限增大例,否則稱{un}發(fā)散.播放對(duì)于較簡(jiǎn)單的數(shù)列的極限,可通過觀察法求得，例:02010數(shù)列極限

的

嚴(yán)格定義？2025/1/98微積分--數(shù)列極限問題:“無限接近”意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語言刻劃它.2025/1/99微積分--數(shù)列極限3.“ε—N”定義：例1證設(shè)有數(shù)列{un},若對(duì)任意,總

則稱a是數(shù)列{un}的極限，或稱{un}收斂于a，記作:存在正整數(shù)N,使得當(dāng)n>N時(shí)，恒有成立,,否則稱數(shù)列{un}發(fā)散。則當(dāng)n>N時(shí),10注:3.N一般與任意給定的正數(shù)ε有關(guān),ε越小，N越大。例2證說明:常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).1.ε具有二重性:任意性和不變性。在取ε時(shí),對(duì)其大小不加限制，正由于這種任意性，才能用刻劃un與a任意接近。而在根據(jù)ε找N時(shí)它是不變的.2.ε刻劃un與a接近的程度,N刻劃數(shù)列作為動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么時(shí)刻可使un與a接近程度小于給定的ε.若把數(shù)列看成函數(shù),則ε、N分別用來刻劃因變量及自變量的變化過程.4.N是不唯一的，用定義證明數(shù)列極限時(shí),關(guān)鍵是對(duì)任意給定的ε>0,由來尋找N,但不必要求最小的N.11例3證(不妨設(shè)ε<1),則當(dāng)n>N時(shí),例3可用放大手法:P31例2.取,要設(shè)ε<1注:1)“放大”是為方便解不等式。注意不能“放過頭”,

上例若將放大為1，則1不可能小于任意給定的正數(shù)。2)“放大”后找到的N通常比不放大解得(若易解)的要大三、數(shù)列極限的幾何意義使得數(shù)列從第N+1項(xiàng)起，以后所有項(xiàng)un＋1,un＋2,…都落在至多只有N項(xiàng)落在該鄰域之外。2025/1/913微積分--數(shù)列極限1.唯一性定理每個(gè)收斂的數(shù)列只有一個(gè)極限.證由定義,故收斂數(shù)列極限唯一.四、數(shù)列極限的性質(zhì)2025/1/914微積分--數(shù)列極限(收斂數(shù)列的有界性的圖示)定理收斂的數(shù)列必定有界.2.有界性例如,有界無界數(shù)軸上有界數(shù)列的點(diǎn)un都落在閉區(qū)間[－M,M]上.2025/1/915微積分--數(shù)列極限證由定義,注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件.推論無界數(shù)列必定發(fā)散.定理收斂的數(shù)列必定有界.取ε＝1，則n>N時(shí){un}有界2025/1/916微積分--數(shù)列極限五.小結(jié)數(shù)列:研究其變化規(guī)律;數(shù)列極限:極限思想,精確定義,幾何意義;收斂數(shù)列的性質(zhì):唯一性、有界性.2025/1/917微積分--數(shù)列極限思考題：1.試判斷下列論斷是否正確1)若n越大，越接近于零,則有

3)若對(duì)存在自然數(shù)N,當(dāng)n>N時(shí),數(shù)列{un}中有無窮多項(xiàng)滿足不等式,則有2)若,則n越大，越接近于零

4)若對(duì)

數(shù)列{un}中除了有限項(xiàng)外都滿足不等式,則有3.從幾何直觀層次思考：若數(shù)列為單調(diào)增加(減少)且有上界(下界)的數(shù)列，此數(shù)列的斂散性如何？定義：從數(shù)列{un}中用任意一種方式選取無窮多項(xiàng)并按原來的相對(duì)次序排列，所得數(shù)列稱為數(shù)列{un}的一個(gè)子列。2.若數(shù)列{un}收斂，它的子列將會(huì)出現(xiàn)什么情況？作業(yè)：P662，3(4)思考4預(yù)習(xí)并思考62025/1/919微積分--數(shù)列極限

下課2025/1/920微積分--數(shù)列極限“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1.早期極限思想的體現(xiàn)二、數(shù)列極限概念當(dāng)自變量n趨于無窮大時(shí),數(shù)列y＝f(n)的變化趨勢(shì)(1)劉徽的割圓術(shù):2025/1/921微積分--數(shù)列極限“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1.早期極限思想的體現(xiàn)二、數(shù)列極限概念當(dāng)自變量n趨于無窮大時(shí),數(shù)列y＝f(n)的變化趨勢(shì)(1)劉徽的割圓術(shù):2025/1/922微積分--數(shù)列極限“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1.早期極限思想的體現(xiàn)二、數(shù)列極限概念當(dāng)自變量n趨于無窮大時(shí),數(shù)列y＝f(n)的變化趨勢(shì)(1)劉徽的割圓術(shù):2025/1/923微積分--數(shù)列極限“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1.早期極限思想的體現(xiàn)二、數(shù)列極限概念當(dāng)自變量n趨于無窮大時(shí),數(shù)列y＝f(n)的變化趨勢(shì)(1)劉徽的割圓術(shù):2025/1/924微積分--數(shù)列極限“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1.早期極限思想的體現(xiàn)二、數(shù)列極限概念當(dāng)自變量n趨于無窮大時(shí),數(shù)列y＝f(n)的變化趨勢(shì)(1)劉徽的割圓術(shù):2025/1/925微積分--數(shù)列極限“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1.早期極限思想的體現(xiàn)二、數(shù)列極限概念當(dāng)自變量n趨于無窮大時(shí),數(shù)列y＝f(n)的變化趨勢(shì)(1)劉徽的割圓術(shù):2025/1/926微積分--數(shù)列極限“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1.早期極限思想的體現(xiàn)二、數(shù)列極限概念當(dāng)自變量n趨于無窮大時(shí),數(shù)列y＝f(n)的變化趨勢(shì)(1)劉徽的割圓術(shù):2025/1/927微積分--數(shù)列極限“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1.早期極限思想的體現(xiàn)二、數(shù)列極限概念當(dāng)自變量n趨于無窮大時(shí),數(shù)列y＝f(n)的變化趨勢(shì)(1)劉徽的割圓術(shù):2025/1/928微積分--數(shù)列極限“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1.早期極限思想的體現(xiàn)二、數(shù)列極限概念當(dāng)自變量n趨于無窮大時(shí),數(shù)列y＝f(n)的變化趨勢(shì)(1)劉徽的割圓術(shù):2025/1/929微積分--數(shù)列極限2025/1/930微積分--數(shù)列極限2025/1/931微積分--數(shù)列極限2025/1/932微積分--數(shù)列極限2025/1/933微積分--數(shù)列極限202