2025屆湖南省邵陽市武岡市高三上學期期中考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖南省邵陽市武岡市2025屆高三上學期期中考試數(shù)學試題一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.設集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以，即，因為，解得，所以，所以，.故選：D.2.復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】因為，所以復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點為，位于第二象限.故選：B.3.已知則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】依題意，由，得，則，，所以.故選：D4.若向量滿足，則（）A. B. C.2 D.3【答案】A【解析】因為向量，滿足，，，所以，即，所以，則．故選：A．5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以.故選：C6.已知在四邊形中，，，，則的長為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在中，由，且，可得，由正弦定理得，所以，在中，由余弦定理得，所以．故選：D.7.已知函數(shù)在上有且僅有4個零點，直線為函數(shù)圖象的一條對稱軸，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，且，則，由題意可得：，解得，又因為直線為函數(shù)圖象的一條對稱軸，則，解得，可知，即，所以.故選：C.8.已知四面體的各個面均為全等的等腰三角形，且.設為空間內(nèi)一點，且五點在同一個球面上，若，則點的軌跡長度為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】將四面體放入長方體中，設長方體的相鄰三條棱長分別為，，，依題意，可知，，則，，，解得，，由于，即異面直線和的距離為，由于長方體的左右側(cè)面為正方形，所以，取中點，連接，則左側(cè)面，在左側(cè)面，所以，又平面，故平面，四面體外接球半徑為，球心為，由，知點的軌跡為一個圓，設軌跡圓的半徑為，圓心為，過作球的一個軸截面，所以，且，，且，解得，所以的軌跡長度為．故選：D．二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9若，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】對A、B：∵，則，∴，即，，A、B正確；對C∵，例如，則，顯然不滿足，C錯誤；對D：∵，則，∴，D正確.故選：ABD.10.如圖，在邊長為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱B1C1，C1D1的中點，P是正方形A1B1C1D1內(nèi)的動點，則下列結(jié)論正確的是（）A.若DP∥平面CEF，則點P的軌跡長度為B.若AP=，則點P的軌跡長度為C.若AP=，則直線AP與平面CEF所成角的正弦值的最小值是D.若Р是棱A1B1的中點，則三棱錐的外接球的表面積是【答案】ACD【解析】分別取棱，的中點M，N，連接，易證，，平面，平面，所以平面，且平面，平面，所以平面，又平面，則平面平面，因為平面，且P是正方形內(nèi)的動點，所以點Р的軌跡是線段.因為，所以，因為，所以，故A正確.因為，所以點P的軌跡是以為圓心，1為半徑的個圓，則點Р的軌跡長度為，則B錯誤.以A為坐標原點，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立如圖1所示的空間直角坐標系.由題中數(shù)據(jù)可知則，，.設平面CEF的法向量為，則，得.設直線AР與平面CEF所成的角為，則.因為，所以，所以，所以，則，故C正確.Р是棱的中點，則外接圓的圓心為正方形的中心，半徑為2.如圖2，設，則三棱錐的外接球的半徑滿足，解得，從而三棱錐P-CEF的外接球的表面積是，故D正確.故選：ACD11.已知數(shù)列的前項和為，且，若，則（）A.是等比數(shù)列 B.是等比數(shù)列C.是等差數(shù)列 D.是等差數(shù)列【答案】ABD【解析】因為數(shù)列前項和為，且，對于A中，由，且，所以是以為首項，公比為的等比數(shù)列，所以A正確；對于B中，由，且，所以數(shù)列是以，公比為的等比數(shù)列，所以B正確；對于C中，由，可得，即時，，又由，，所以的奇數(shù)項均為0，偶數(shù)項均為．所以的奇數(shù)項為等差數(shù)列，偶數(shù)項為等差數(shù)列，所以C錯誤．對于D中，當時，即，所以是每項均為的常數(shù)列，也是等差數(shù)列，所以D正確．故選：ABD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分)12.已知點為平面內(nèi)不同的四點，若，且，則______【答案】【解析】由得：，即，又因為，所以,故答案為：.13.在中，角A，，所對的邊分別為，，，．且，則______．【答案】【解析】由得，，由余弦定理得，故，所以，，故，所以，即，由正弦定理得，因為，所以，故，即，由和得，故故，故故.14.對任意，不等式恒成立，則的取值范圍是______.【答案】【解析】不等式等價于，記，則原不等式等價于.所以，不等式恒成立等價于不等式恒成立.而，且圖像如下圖所示：若，則不等式恒成立；若，可以看作是f(x)向左或向右平移個單位，不等式恒成立可以看作是的圖像在f(x)的上方或函數(shù)值相等.所以要使的圖像在f(x)的上方或函數(shù)值相等只能把f(x)的圖像向左平移至少1個單位得到，如下圖所示：所以：.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知橢圓C：（）的一個焦點為，且離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）直線l：與橢圓C交于A，B兩點，若面積為，求直線方程.解：（1）由焦點為得，又離心率，得到，所以，所以橢圓C的方程為.（2）設Ax1,聯(lián)立，消y得，，得到，由韋達定理得，，，又因為，又原點到直線的距離為，所以，所以，所以，即，滿足，所以直線l的方程為.16.“九子游戲”是一種傳統(tǒng)的兒童游戲，它包括打彈子、滾圈子、踢毽子、頂核子、造房子、拉扯鈴子、刮片子、摜結(jié)子、抽陀子九種不同的游戲項目，某小學為豐富同學們的課外活動，舉辦了“九子游戲”比賽，所有的比賽項目均采用局勝的單敗淘汰制，即先贏下局比賽者獲勝.造房子游戲是同學們喜愛的項目之一，經(jīng)過多輪淘汰后，甲、乙二人進入造房子游戲的決賽，已知每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為.（1）若，設比賽結(jié)束時比賽的局數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望；（2）現(xiàn)有兩種賽制：賽制一：采用3局2勝制，賽制二：采用5局3勝制，乙選手要想獲勝概率大，應選哪種賽制？并說明理由.解：（1）因為，所以比賽采用3局2勝制，的所有可能取值為2，3，，，的分布列為23所以.（2）應選擇方案一3局2勝制，理由如下：若選賽制一3局2勝制時，記乙獲勝為事件A，則，若選賽制二5局3勝制時，記乙獲勝為事件B，則因為，所以選方案一3局2勝制.17.如圖，已知四棱臺中，，，，，，，且，為線段中點，（1）求證：平面；（2）若四棱錐的體積為，求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：如圖所示：分別延長線段，，，交于點，將四棱臺補成四棱錐.∵，∴，∴，取的中點，連接，，∵，且，∴四邊形為平行四邊形.∴，又平面，平面，∴平面；（2）解：由于，所以，又梯形面積為，設到平面距離為，則，得.而，平面，平面，所以平面，所以點C到平面的距離與點D到平面的距離相等，而，所以平面.以A為坐標原點，以直線為x軸，以直線為y軸，建立空間直角坐標系，易得為等邊三角形，所以A0,0,0，，，，設平面的法向量為m=x,y,z則，得，，不妨取，又平面的一個法向量為n=0,1,0則，平面與平面夾角的余弦值為.18.設是坐標平面上的一點，曲線是函數(shù)的圖象．若過點恰能作曲線的條切線，則稱是函數(shù)的“度點”．（1）判斷點與點是否為函數(shù)的1度點，不需要說明理由；（2）已知，．證明：點是的0度點；（3）求函數(shù)的全體2度點構(gòu)成的集合．解：（1）設，則曲線在點處的切線方程為．則該切線過點當且僅當，即．故原點是函數(shù)的一個1度點，該切線過點，故，令，則，令得，令得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在x=1處取得極小值，也時最小值，且，故無解，點不是函數(shù)的一個1度點（2）設，，則曲線在點處的切線方程為．則該切線過點當且僅當（*）．設，則當時，，故在區(qū)間上嚴格增．因此當時，，（*）恒不成立，即點是y=gx的一個0度點．（3），對任意，曲線在點處的切線方程為．故點為函數(shù)的一個2度點當且僅當關于的方程恰有兩個不同的實數(shù)解．設．則點為函數(shù)的一個2度點當且僅當兩個不同的零點．若，則在R上嚴格增，只有一個實數(shù)解，不合要求．若，因為，由或時得嚴格增；而當時，得嚴格減．故在時取得極大值，在時取得極小值．又因為，，所以當時，由零點存在定理，在、、上各有一個零點，不合要求；當時，僅上有一個零點，不合要求；當時，僅上有一個零點，也不合要求．故兩個不同的零點當且僅當或．若，同理可得兩個不同的零點當且僅當或．綜上，的全體2度點構(gòu)成的集合為或．19.已知無窮數(shù)列中，，記，，．（1）若為2，0，2，4，2，0，2，4，…，是一個周期為4的數(shù)列（即，），直接寫出，，，的值；（2）若為周期數(shù)列，證明：，使得當時，是常數(shù)；（3）設是非負整數(shù)，證明：的充分必要條件為為公差為的等差數(shù)列．（1）解：，，，．（2）證明：不妨設的周期為，記，，則當時，是常數(shù)，記，使得當時，是常數(shù)，結(jié)論正確．（3）證明：充分性；若為公差為的等差數(shù)列，則于是，．因此，必要性：因為，，，，于是，．因此．故數(shù)列是公差為的等差數(shù)列．湖南省邵陽市武岡市2025屆高三上學期期中考試數(shù)學試題一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.設集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以，即，因為，解得，所以，所以，.故選：D.2.復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】因為，所以復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點為，位于第二象限.故選：B.3.已知則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】依題意，由，得，則，，所以.故選：D4.若向量滿足，則（）A. B. C.2 D.3【答案】A【解析】因為向量，滿足，，，所以，即，所以，則．故選：A．5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以.故選：C6.已知在四邊形中，，，，則的長為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在中，由，且，可得，由正弦定理得，所以，在中，由余弦定理得，所以．故選：D.7.已知函數(shù)在上有且僅有4個零點，直線為函數(shù)圖象的一條對稱軸，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，且，則，由題意可得：，解得，又因為直線為函數(shù)圖象的一條對稱軸，則，解得，可知，即，所以.故選：C.8.已知四面體的各個面均為全等的等腰三角形，且.設為空間內(nèi)一點，且五點在同一個球面上，若，則點的軌跡長度為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】將四面體放入長方體中，設長方體的相鄰三條棱長分別為，，，依題意，可知，，則，，，解得，，由于，即異面直線和的距離為，由于長方體的左右側(cè)面為正方形，所以，取中點，連接，則左側(cè)面，在左側(cè)面，所以，又平面，故平面，四面體外接球半徑為，球心為，由，知點的軌跡為一個圓，設軌跡圓的半徑為，圓心為，過作球的一個軸截面，所以，且，，且，解得，所以的軌跡長度為．故選：D．二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9若，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】對A、B：∵，則，∴，即，，A、B正確；對C∵，例如，則，顯然不滿足，C錯誤；對D：∵，則，∴，D正確.故選：ABD.10.如圖，在邊長為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱B1C1，C1D1的中點，P是正方形A1B1C1D1內(nèi)的動點，則下列結(jié)論正確的是（）A.若DP∥平面CEF，則點P的軌跡長度為B.若AP=，則點P的軌跡長度為C.若AP=，則直線AP與平面CEF所成角的正弦值的最小值是D.若Р是棱A1B1的中點，則三棱錐的外接球的表面積是【答案】ACD【解析】分別取棱，的中點M，N，連接，易證，，平面，平面，所以平面，且平面，平面，所以平面，又平面，則平面平面，因為平面，且P是正方形內(nèi)的動點，所以點Р的軌跡是線段.因為，所以，因為，所以，故A正確.因為，所以點P的軌跡是以為圓心，1為半徑的個圓，則點Р的軌跡長度為，則B錯誤.以A為坐標原點，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立如圖1所示的空間直角坐標系.由題中數(shù)據(jù)可知則，，.設平面CEF的法向量為，則，得.設直線AР與平面CEF所成的角為，則.因為，所以，所以，所以，則，故C正確.Р是棱的中點，則外接圓的圓心為正方形的中心，半徑為2.如圖2，設，則三棱錐的外接球的半徑滿足，解得，從而三棱錐P-CEF的外接球的表面積是，故D正確.故選：ACD11.已知數(shù)列的前項和為，且，若，則（）A.是等比數(shù)列 B.是等比數(shù)列C.是等差數(shù)列 D.是等差數(shù)列【答案】ABD【解析】因為數(shù)列前項和為，且，對于A中，由，且，所以是以為首項，公比為的等比數(shù)列，所以A正確；對于B中，由，且，所以數(shù)列是以，公比為的等比數(shù)列，所以B正確；對于C中，由，可得，即時，，又由，，所以的奇數(shù)項均為0，偶數(shù)項均為．所以的奇數(shù)項為等差數(shù)列，偶數(shù)項為等差數(shù)列，所以C錯誤．對于D中，當時，即，所以是每項均為的常數(shù)列，也是等差數(shù)列，所以D正確．故選：ABD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分)12.已知點為平面內(nèi)不同的四點，若，且，則______【答案】【解析】由得：，即，又因為，所以,故答案為：.13.在中，角A，，所對的邊分別為，，，．且，則______．【答案】【解析】由得，，由余弦定理得，故，所以，，故，所以，即，由正弦定理得，因為，所以，故，即，由和得，故故，故故.14.對任意，不等式恒成立，則的取值范圍是______.【答案】【解析】不等式等價于，記，則原不等式等價于.所以，不等式恒成立等價于不等式恒成立.而，且圖像如下圖所示：若，則不等式恒成立；若，可以看作是f(x)向左或向右平移個單位，不等式恒成立可以看作是的圖像在f(x)的上方或函數(shù)值相等.所以要使的圖像在f(x)的上方或函數(shù)值相等只能把f(x)的圖像向左平移至少1個單位得到，如下圖所示：所以：.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知橢圓C：（）的一個焦點為，且離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）直線l：與橢圓C交于A，B兩點，若面積為，求直線方程.解：（1）由焦點為得，又離心率，得到，所以，所以橢圓C的方程為.（2）設Ax1,聯(lián)立，消y得，，得到，由韋達定理得，，，又因為，又原點到直線的距離為，所以，所以，所以，即，滿足，所以直線l的方程為.16.“九子游戲”是一種傳統(tǒng)的兒童游戲，它包括打彈子、滾圈子、踢毽子、頂核子、造房子、拉扯鈴子、刮片子、摜結(jié)子、抽陀子九種不同的游戲項目，某小學為豐富同學們的課外活動，舉辦了“九子游戲”比賽，所有的比賽項目均采用局勝的單敗淘汰制，即先贏下局比賽者獲勝.造房子游戲是同學們喜愛的項目之一，經(jīng)過多輪淘汰后，甲、乙二人進入造房子游戲的決賽，已知每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為.（1）若，設比賽結(jié)束時比賽的局數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望；（2）現(xiàn)有兩種賽制：賽制一：采用3局2勝制，賽制二：采用5局3勝制，乙選手要想獲勝概率大，應選哪種賽制？并說明理由.解：（1）因為，所以比賽采用3局2勝制，的所有可能取值為2，3，，，的分布列為23所以.（2）應選擇方案一3局2勝制，理由如下：若選賽制一3局2勝制時，記乙獲勝為事件A，則，若選賽制二5局3勝制時，記乙獲勝為事件B，則因為，所以選方案一3局2勝制.17.如圖，已知四棱臺中，，，，，，，且，為線段中點，（1）求證：平面；（2）若四棱錐的體積為，求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：如圖所示：分別延長線段，，，交于點，將四棱臺補成四棱錐.∵，∴，∴，取的中點，連接，，∵，且，∴四邊形為平行四邊形.∴，又平面，平面，∴平面；（2）解：由于，所以，又梯形面積為，設到平面距離為，則，得.而，平面，平面，所以平面，所以點C到平面的距離與點D到平面的距離相等，而，所以平面.以A為坐標原點，以直線為x軸，以直線為y軸，建立空間直角坐標系，易得為等邊三角形，所以A0,0,0，，，，設平面的法向量為m=x,y,z則，得，，不妨取，又平面的一個法向量為n=0,1,0則，平面與平面夾角的余弦值為.18.設是坐標平面