2025屆山東省菏澤市高三上學期11月期中考試數(shù)學試題（B）（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1山東省菏澤市2025屆高三上學期11月期中考試數(shù)學試題（B）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.1.已知集合，且中至多有一個奇數(shù)，則這樣的集合共有（）A.3個 B.4個 C.5個 D.6個【答案】D【解析】若中只有一個奇數(shù)，則集合可以是，若中沒有奇數(shù)，則或，所以符合條件的集合共有6個，故選：D.2.若（為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.故選：B3.已知向量，.若與是共線向量，則實數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因與共線，且，.則.故選：C4.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，.故選：C5.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為，所以函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關于軸對稱，故排除A；當時，，故排除C；當時，，故排除D.故選：B6.若關于方程有3個不同的根，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由方程有3個不同的根，即有3個不同的根，令，，則，令f'x>0，解得或，令f'x所以函數(shù)在和1,+∞上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，，作出圖象如下：所以，即.故選：B.7.把函數(shù)圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，若在上是減函數(shù)，則實數(shù)的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】把的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)，可得；當時，，若在上減函數(shù)，可得，因此，解得，即實數(shù)的最大值為.故選：A8.已知函數(shù)的定義域為，且滿足，，則（）A.4 B.8 C.14 D.16【答案】C【解析】根據(jù)題意令，則，可得，再令，則，可得.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則（）A.點為函數(shù)圖象的對稱中心B.的最小正周期為C.在區(qū)間上的值域為D.的單調(diào)增區(qū)間為【答案】ABC【解析】將代入得，所以，對于A，顯然，故A正確；對于B，易知函數(shù)的最小正周期，故B正確；對于C，當時，則，則，故C正確；對于D，令，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：，故D錯誤.故選：ABC10.如圖，已知中，，，是的中點，動點在以為直徑的半圓弧上.則（）A.B.最小值為-2C.在上的投影向量為D.若的最大值為【答案】ABD【解析】以M為原點，直線AC為軸建立直角坐標系（如圖），設，則，在中，，，是的中點，所以，，則，，，，所以，，，對于A：因為是的中點，所以，故A正確；對于B：因為，所以，當時，取得最小值，所以最小值為，故B正確；對于C：在上的投影向量為，故C錯誤；對于D：因為所以，則，當時，取最大值.故D正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)的定義域為，滿足，且為偶函數(shù)，則下列結論正確的是（）A.的圖象關于點對稱 B.是周期為4的周期函數(shù)C. D.【答案】ABD【解析】由可知，函數(shù)的圖象關于點對稱，故A正確；由為偶函數(shù)，所以.由；由；所以，故函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，故B正確；因為，故C錯誤；在中，令，得；令得，又，所以；令得：.又函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，所以，故D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.某公司新開發(fā)生產(chǎn)一種產(chǎn)品可獲得的利潤（單位：萬元）與投入使用時間（單位：年）滿足，當投入使用_____年時，此產(chǎn)品的年平均利潤最大.【答案】3【解析】當時，年平均利潤，當且僅當時取等號，所以當投入使用3年時，此產(chǎn)品的年平均利潤取最大值10萬元.13.如圖所示，在同一個平面內(nèi)，向量，，的模分別為1，1，，與的夾角為，與的夾角為，若，則_____.【答案】3【解析】由.所以，又，且，所以，，所以.14.若，則實數(shù)的最大值為_____.【答案】【解析】.因函數(shù)均在0,+∞上單調(diào)遞增，則在0,+∞上單調(diào)遞增.又，則.構造函數(shù)，則.，則在0,1遞減，在1,+∞上遞增.則，故.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，向量，，且.（1）求角的大??；（2）若，的面積為，求的周長.解：（1）由，得，整理得，所以由余弦定理，得，因為，所以；（2）由題意得，所以.因為，，由余弦定理得，所以.所以的周長為.16.根據(jù)要求完成下列問題：（1）已知命題，命題，且是的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍；（2）請根據(jù)矩形圖表信息，用，，，表示出不等式（其中，，，都為正數(shù)）并給出它的代數(shù)證明.解：（1）命題，解得，設命題表示集合，設命題表示集合，∵且是的必要不充分條件∴命題是命題的必要不充分條件，所以，，即，當時，，，符合要求，當時，解得，，解得，經(jīng)檢驗符合要求，當時，解得，，解得，經(jīng)檢驗符合要求，綜上所述，實數(shù)的取值范圍為；（2）不等式可表示為，證明如下：，又因為，所以，因為，，，都為正數(shù)，所以所以即，即原式得證.17.已知函數(shù).（1）求出在上的值域；（2）已知函數(shù)，求在定義域上的零點個數(shù).解：（1），因為，由得到，由，得到或，所以單調(diào)性如下表所示：f--0+0--0極小值極大值0即的值域為；（2），，當時，，，所以，所以函數(shù)單調(diào)遞減，所以，此時函數(shù)無零點；當時，設，則，所以hx在0,+∞單調(diào)遞增，即在0,+，，因此在0,+∞，即在上有唯一零點，記零點為，即，在上，，單調(diào)遞減，在上，，單調(diào)遞增，又g0=1>0，，，所以在有一個零點，在上有一個零點，綜上所述，在定義域上有2個零點.18.定義向量的“親密函數(shù)”為.設向量的“親密函數(shù)”為.（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若方程有三個連續(xù)的實數(shù)根，，，且，，求實數(shù)的值；（3）已知為銳角三角形，，，為的內(nèi)角，，的對邊，，且，求面積的取值范圍.解：（1）由題知，令，，解得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）因為，故，根據(jù)正弦函數(shù)圖象，且可知，，且，，得到，且，又，故，故，則，所以，當時，，解得，當時，即，解得，所以實數(shù)的值為或.（3）由（1）知，，即，在銳角中，，則，即，由正弦定理，得，因此，由，得，則，于是，所以面積的取值范圍為.19.若函數(shù)在上存在，使得，則稱為在區(qū)間上的“奇點”，若存在、，使得，，則稱是上的“雙奇點函數(shù)”，其中、也稱為在上的奇點.（1）已知函數(shù)是區(qū)間上的雙奇點函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（2）已知函數(shù)，；（i）當時，若為在區(qū)間上的“奇點”，證明：；（ii）求證：對任意的，在區(qū)間上存在唯一“奇點”.解：（1）因為，則，由，所以有兩解，即在有兩解，令，所以，解得：.（2）（i）因為，，當時，，則，因為，，所以，，即，要證，即證，即，令，因為，所以，設，所以，所以在1,+∞上單調(diào)遞增，所以，所以，即證.（ii）令，即，因為，，所以，所以在區(qū)間是單調(diào)遞減的，因為，令，所以，所以，設，所以，當時，；當時，.即在0,1上單調(diào)遞減，1,+∞上單調(diào)遞增，所以，即，因為，，所以；同理，因為，，所以，即，所以，所以，因為，且在區(qū)間是單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上存在唯一零點，即對任意的，在區(qū)間上的“奇點”是唯一的.山東省菏澤市2025屆高三上學期11月期中考試數(shù)學試題（B）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.1.已知集合，且中至多有一個奇數(shù)，則這樣的集合共有（）A.3個 B.4個 C.5個 D.6個【答案】D【解析】若中只有一個奇數(shù)，則集合可以是，若中沒有奇數(shù)，則或，所以符合條件的集合共有6個，故選：D.2.若（為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.故選：B3.已知向量，.若與是共線向量，則實數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因與共線，且，.則.故選：C4.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，.故選：C5.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為，所以函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關于軸對稱，故排除A；當時，，故排除C；當時，，故排除D.故選：B6.若關于方程有3個不同的根，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由方程有3個不同的根，即有3個不同的根，令，，則，令f'x>0，解得或，令f'x所以函數(shù)在和1,+∞上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，，作出圖象如下：所以，即.故選：B.7.把函數(shù)圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，若在上是減函數(shù)，則實數(shù)的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】把的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)，可得；當時，，若在上減函數(shù)，可得，因此，解得，即實數(shù)的最大值為.故選：A8.已知函數(shù)的定義域為，且滿足，，則（）A.4 B.8 C.14 D.16【答案】C【解析】根據(jù)題意令，則，可得，再令，則，可得.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則（）A.點為函數(shù)圖象的對稱中心B.的最小正周期為C.在區(qū)間上的值域為D.的單調(diào)增區(qū)間為【答案】ABC【解析】將代入得，所以，對于A，顯然，故A正確；對于B，易知函數(shù)的最小正周期，故B正確；對于C，當時，則，則，故C正確；對于D，令，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：，故D錯誤.故選：ABC10.如圖，已知中，，，是的中點，動點在以為直徑的半圓弧上.則（）A.B.最小值為-2C.在上的投影向量為D.若的最大值為【答案】ABD【解析】以M為原點，直線AC為軸建立直角坐標系（如圖），設，則，在中，，，是的中點，所以，，則，，，，所以，，，對于A：因為是的中點，所以，故A正確；對于B：因為，所以，當時，取得最小值，所以最小值為，故B正確；對于C：在上的投影向量為，故C錯誤；對于D：因為所以，則，當時，取最大值.故D正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)的定義域為，滿足，且為偶函數(shù)，則下列結論正確的是（）A.的圖象關于點對稱 B.是周期為4的周期函數(shù)C. D.【答案】ABD【解析】由可知，函數(shù)的圖象關于點對稱，故A正確；由為偶函數(shù)，所以.由；由；所以，故函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，故B正確；因為，故C錯誤；在中，令，得；令得，又，所以；令得：.又函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，所以，故D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.某公司新開發(fā)生產(chǎn)一種產(chǎn)品可獲得的利潤（單位：萬元）與投入使用時間（單位：年）滿足，當投入使用_____年時，此產(chǎn)品的年平均利潤最大.【答案】3【解析】當時，年平均利潤，當且僅當時取等號，所以當投入使用3年時，此產(chǎn)品的年平均利潤取最大值10萬元.13.如圖所示，在同一個平面內(nèi)，向量，，的模分別為1，1，，與的夾角為，與的夾角為，若，則_____.【答案】3【解析】由.所以，又，且，所以，，所以.14.若，則實數(shù)的最大值為_____.【答案】【解析】.因函數(shù)均在0,+∞上單調(diào)遞增，則在0,+∞上單調(diào)遞增.又，則.構造函數(shù)，則.，則在0,1遞減，在1,+∞上遞增.則，故.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，向量，，且.（1）求角的大??；（2）若，的面積為，求的周長.解：（1）由，得，整理得，所以由余弦定理，得，因為，所以；（2）由題意得，所以.因為，，由余弦定理得，所以.所以的周長為.16.根據(jù)要求完成下列問題：（1）已知命題，命題，且是的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍；（2）請根據(jù)矩形圖表信息，用，，，表示出不等式（其中，，，都為正數(shù)）并給出它的代數(shù)證明.解：（1）命題，解得，設命題表示集合，設命題表示集合，∵且是的必要不充分條件∴命題是命題的必要不充分條件，所以，，即，當時，，，符合要求，當時，解得，，解得，經(jīng)檢驗符合要求，當時，解得，，解得，經(jīng)檢驗符合要求，綜上所述，實數(shù)的取值范圍為；（2）不等式可表示為，證明如下：，又因為，所以，因為，，，都為正數(shù)，所以所以即，即原式得證.17.已知函數(shù).（1）求出在上的值域；（2）已知函數(shù)，求在定義域上的零點個數(shù).解：（1），因為，由得到，由，得到或，所以單調(diào)性如下表所示：f--0+0--0極小值極大值0即的值域為；（2），，當時，，，所以，所以函數(shù)單調(diào)遞減，所以，此時函數(shù)無零點；當時，設，則，所以hx在0,+∞單調(diào)遞增，即在0,+，，因此在0,+∞，即在上有唯一零點，記零點為，即，在上，，單調(diào)遞減，在上，，單調(diào)遞增，又g0=1>0，，，所以在有一個零點，在上有一個零點，綜上所述，在定義域上有2個零點.18.定義向量的“親密函數(shù)”為.設向量的“親密函數(shù)”為.（1）求的單