七年級數(shù)學下冊常見幾何模型全歸納之模型解讀與提分精練（蘇科版）專題07 三角形中的倒角模型之“8”字模型、“A”字模型與三角板模型（原卷版）

專題07三角形中的倒角模型之“8”字模型、“A”字模型與三角板模型近年來各地考試中常出現(xiàn)一些幾何倒角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計算（內(nèi)角和定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題“8”字模型、“A”字模型與三角板模型進行梳理及對應試題分析，方便掌握。模型1、“8”字模型圖1圖28字模型（基礎(chǔ)型）條件：如圖1，AD、BC相交于點O，連接AB、CD；結(jié)論：①；②。8字模型（加角平分線）條件：如圖2，線段AP平分∠BAD，線段CP平分∠BCD；結(jié)論：2∠P=∠B+∠D例1．（2023·重慶·八年級假期作業(yè)）如圖，AB和CD相交于點O，∠A＝∠C，則下列結(jié)論中不能完全確定正確的是（

）A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D例2．（2023春·山東七年級課時練習）（1）如圖①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)；（2）如圖②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度數(shù)；（3）如圖③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度數(shù)．例3．（2022秋·廣東深圳·八年級深圳市龍華中學?？计谀?）在圖1中，請直接寫出、、、之間的數(shù)量關(guān)系：；（2）仔細觀察，在圖2中“8字形”的個數(shù)個；（3）如果圖2中，，，與分別是和的角平分線，試求的度數(shù)；（4）如果圖2中和為任意角，其他條件不變，試問與，之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)論即可）．例4．（2023春·廣東深圳·七年級統(tǒng)考期末）定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊．(1)如圖1，線段，交于點，連接，，判斷與的大小關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，平分，為上任意一點，在，上截取，連接，．求證：；(3)如圖3，在中，，為角平分線上異于端點的一動點，求證：．例5．（2023春·江蘇蘇州·七年級校聯(lián)考期中）閱讀：基本圖形通常是指能夠反映一個或幾個定理，或者能夠反映圖形基本規(guī)律的幾何圖形．這些圖形以基本概念、基本事實、定理、常用的數(shù)學結(jié)論和基本規(guī)律為基礎(chǔ)，圖形簡單又具有代表性．在幾何問題中，熟練把握和靈活構(gòu)造基本圖形，能更好地幫助我們解決問題．我們將圖1①所示的圖形稱為“8字形”．在這個“8字形”中，存在結(jié)論．我們將圖1②所示的凹四邊形稱為“飛鏢形”．在這個“飛鏢形”中，存在結(jié)論．(1)直接利用上述基本圖形中的任意一種，解決問題：如圖2，、分別平分、，說明：．(2)將圖2看作基本圖形，直接利用（1）中的結(jié)論解決下列問題：①如圖3，直線平分的外角，平分的外角，若，，求的度數(shù)．②在圖4中，平分的外角，平分的外角，猜想與、的關(guān)系（直接寫出結(jié)果，無需說明理由）．③在圖5中，平分，平分的外角，猜想與、的關(guān)系（直接寫出結(jié)果，無需說明理由）．

模型2、“A”字模型結(jié)論：①∠3+∠4=∠D+∠E；②∠1+∠2=∠A+180°。例1．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖是某建筑工地上的人字架，若，那么的度數(shù)為．例2．（2022·福建泉州·九年級?？计谥校┤鐖D，，若，那么（

）A． B． C． D．例3．（2023秋·廣西·八年級專題練習）如圖所示，的兩邊上各有一點，連接，求證．例4．（2023·廣東八年級課時練習）如圖，已知在中，，現(xiàn)將一塊直角三角板放在上，使三角板的兩條直角邊分別經(jīng)過點，直角頂點D落在的內(nèi)部，則（

）．A． B． C． D．例5．（2023春·江蘇揚州·七年級校聯(lián)考階段練習）（1）如圖1，已知為直角三角形，，若沿圖中虛線剪去，則等于_______．（2）如圖2，已知中，，剪去后成四邊形，求的值．（3）如圖2，請你歸納猜想與的關(guān)系是______，并說明理由．（4）如圖3，若沒有剪掉，而是把它折成如圖3形狀，試探究與的關(guān)系并說明理由．例6．（2022秋·河北邯鄲·八年級統(tǒng)考期中）利用“模型”解決幾何綜合問題往往會取得事半功倍的效果．幾何模型：如圖（1），我們稱它為“A”型圖案，易證明：∠EDF=∠A+∠B+∠C；應用上面模型解決問題：(1)如圖（2），“五角星”形，求？分析：圖中是“A”型圖，于是，所以=

；(2)如圖（3），“七角星”形，求；(3)如圖（4），“八角星”形，可以求得=；模型3、三角板模型【模型解讀】由一副三角板拼湊出的幾個圖形我們稱他們?yōu)槿前迥Ｐ?。圖①中：∠A=30°，∠C=60°，圖②中：∠A=∠C=45°，例1．（2023·山西呂梁·校聯(lián)考模擬預測）如圖：和是兩塊直角三角尺，兩直角三角尺的斜邊AB、DE在同一直線上，其中，，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．例2．（2023春·江蘇泰州·七年級?？茧A段練習）一副三角板如圖方式擺放，平分，平分，則的度數(shù)為．

例3．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考二模）一副三角板如圖所示擺放，其中含角的直角三角板的直角頂點在另一個三角板的斜邊上，若，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．例4．（2023春·江蘇無錫·七年級統(tǒng)考期末）有一副直角三角板、，其中，，．如圖，將三角板的頂點E放在上，移動三角板，當點E從點A沿向點B移動的過程中，點E、C、D始終保持在一條直線上．下列結(jié)論：①當時，；②逐漸變??；③若直線與直線交于點M，則為定值；④若的一邊與的某一邊平行，則符合條件的點E的位置有3個．正確的有．（填序號）

例5．（2023春·湖南衡陽·七年級統(tǒng)考期末）一副三角板如圖1擺放，，，，點在上，點在上，且平分，現(xiàn)將三角板繞點以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)（當點落在射線上時停止旋轉(zhuǎn)），設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為秒．(1)當______秒時，；當______秒時，；(2)在旋轉(zhuǎn)過程中，與的交點記為，如圖2，若有兩個內(nèi)角相等，求的值；(3)當邊與邊、分別交于點、時，如圖3，連接，設(shè)，，，試問是否為定值？若是，請求出定值；若不是，請說明理由．

課后專項訓練1．（2023·海南·七年級?？计谥校┤鐖D，把一副常用三角板如圖所示拼在一起，延長交于F，那么圖中的度數(shù)是（

）度．A．75 B．90 C．100 D．1052．（2023·江西鷹潭·七年級?？茧A段練習）如圖，將△ABD沿∠BAC的角平分線AD所在直線翻折，點B在AC邊上的落點記為點E，若∠BAC＝120°，∠EDC＝20°，那么∠C等于（）A．15° B．20° C．30° D．40°3．（2023·湖北孝感·八年級統(tǒng)考期中）一副三角板如圖所示放置，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．4．（2023秋·遼寧錦州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，這是一副三角板疊放在一起的示意圖，則圖中等于（

）

A． B． C． D．5．（2023·江蘇蘇州·七年級?？计谥校┦堑钠椒志€，，，則（

）A． B． C． D．6．（2023·江西贛州·八年級校聯(lián)考期中）如圖所示，已知△ABC為直角三角形，若沿圖中虛線剪去∠B，∠1+∠2=270°，則∠B等于（

）A．70° B．80° C．90° D．100°7．（2023秋·海南?？凇ぞ拍昙壭？计谀⒁粋€直角三角板與一個直尺按如圖所示的方式擺放，若，，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．8．（2023春·貴州畢節(jié)·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，點P是AB邊上的一個動點（不與頂點A、B重合）．則的度數(shù)可能是（

）

A． B． C． D．9．（2023春·山東淄博·七年級統(tǒng)考期中）如圖，的度數(shù)為（）

A． B． C． D．10．（2022秋·七年級課時練習）小明將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點C按如圖所示的方式疊放在一起，當，且點E在直線的上方時，他發(fā)現(xiàn)若，則三角板有一條邊與斜邊平行．11．（2023·江蘇七年級期中）如圖，、的平分線交于，；、的平分線交于，；如此下去，、的平分線的交角為；…若，，則為度．12．（2023·浙江杭州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，是的外角的平分線，且交延長線于點E，，則°．13．（2023春·河南南陽·七年級校聯(lián)考階段練習）如圖，已知為直角三角形，，若沿圖中虛線剪去，則等于度．

14．（2023春·江蘇蘇州·七年級統(tǒng)考期中）如圖，四邊形中，，若沿圖中虛線剪去，則．15．（2023·山東臨沂·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在等邊中，將沿虛線剪去，則°．16．（2023·江蘇·七年級統(tǒng)考期末）如圖，，點E、F在上．若，則．

17．（2023春·江蘇揚州·七年級?？茧A段練習）如圖，，則．

18．（2023春·江蘇·七年級專題練習）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝．19．（2023春·江蘇宿遷·七年級統(tǒng)考期末）如圖，的度數(shù)是．20．（2022春·山西晉城·七年級統(tǒng)考期末）綜合與探究：將兩塊三角尺按圖1擺放，固定三角