丹東市2024屆高三上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題（解析版）

丹東市2023~2024學(xué)年度上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測高三數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集，集合，，則（）A. B.C D.【答案】D【解析】【分析】利用列舉法表示集合B，再利用并集、補(bǔ)集的定義求解即得.【詳解】依題意，，而，則,所以.故選：D2.復(fù)數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由共軛復(fù)數(shù)的概念以及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算即可求解.【詳解】由題意有.故選：A.3.已知圓錐的側(cè)面展開圖是面積為的半圓，則該圓錐底面的半徑為（）A.1 B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】設(shè)圓錐的底面圓半徑為，母線為，根據(jù)圓的面積公式求出l，進(jìn)而求出扇形的弧長，結(jié)合圓的周長公式計算即可求解.【詳解】設(shè)圓錐的底面圓半徑為，母線為，則，解得，所以側(cè)面展開圖扇形的弧長為，有，解得，即圓錐的底面圓半徑為1.故選：A4.已知對數(shù)函數(shù)滿足，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意和對數(shù)函數(shù)的定義可得，將原不等式轉(zhuǎn)化為，得或，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可求解.【詳解】由題意知，設(shè)對數(shù)函數(shù)的解析式為且，由，得，解得，所以對數(shù)函數(shù)解析式為.所以，得或，當(dāng)時，得，當(dāng)時，得.故原不等式的解集為.故選：B5.有6個座位連成一排，安排3個人就坐，恰有兩個空位相鄰的坐法為（）A.48種 B.72種 C.96種 D.108種【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：將三人連同座位全排列，再將三個空座位分成兩組，2個相鄰的，1個單獨(dú)放置的，安排到三人形成的空位中，由分步計數(shù)原理計算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，有6個座位連成一排，安排3個人就座，有3個空座位，把這三個空座位分成兩組，2個相鄰的，1個單獨(dú)放置的．將三人連同座位全排列，共有種情況，再把兩組不同的空座位插入到三個人產(chǎn)生的四個空位里，有種，所以不同坐法有種．故選：B6.已知圓過，，三點(diǎn)，則（）A. B. C.5 D.【答案】C【解析】【分析】結(jié)合題意，利用待定系數(shù)法求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，找到半徑即可.【詳解】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)閳A過，，三點(diǎn)，所以，解得，所以，故，故選:C.7.已知銳角，滿足，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用三角恒等變換公式化簡計算即可.【詳解】由，即，.故選:A.8.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用賦值法即可逐一求解.【詳解】令可得，則，故A錯誤令，則，所以，故B錯誤，令，則，所以，令，則，則，，，D錯誤，令，則，則，令，則，則，故C正確，故選：C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)，則（）A.有一個零點(diǎn)B.的極小值為C.的對稱中心為D.直線是曲線的切線【答案】ACD【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷B，結(jié)合即可判斷A；證明函數(shù)為奇函數(shù)，結(jié)合函數(shù)平移變換即可判斷C；根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線的切線方程即可判斷D.【詳解】A：，令，令或，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時，，故函數(shù)在R上只有一個零點(diǎn)，故A正確；B：由選項(xiàng)A的分析可知，函數(shù)的極小值為，故B錯誤；C：令，定義域?yàn)镽，則，所以函數(shù)為奇函數(shù)，對稱中心為，將函數(shù)圖象向下平移1個長度單位，得函數(shù)的圖象，所以的對稱中心為，故C正確；D：由選項(xiàng)A知，令，又，所以切線方程為，即，所以直線是曲線在點(diǎn)處的切線，故D正確.故選：ACD10.把函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則（）A.的最小正周期為 B.C.在上遞增 D.關(guān)于直線對稱【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的伸縮平移變換可得，結(jié)合公式計算即可判斷A；計算直接判斷B；利用整體代換法求出函數(shù)的增區(qū)間，即可判斷C；利用驗(yàn)證法即可判斷D.【詳解】A：將函數(shù)的圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，可得，再向左平移個單位長度，得，所以函數(shù)的最小正周期為，故A錯誤；B：由選項(xiàng)A知，則，故B正確；C：由，，得，令，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，又，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故C正確；D：易知，又，所以直線是函數(shù)的一條對稱軸，故D正確.故選：BCD11.已知直三棱柱的體積為，，，，O為的中點(diǎn)，則（）A. B.點(diǎn)A到平面的距離為C.直三棱柱的外接球的半徑為 D.直線與所成角的余弦值為【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)棱柱的體積公式計算即可求解判斷A；由線面垂直的判定定理和性質(zhì)可得，利用等體積法求出點(diǎn)面距即可判斷B；利用勾股定理求出球的直徑即可判斷C；如圖，確定線線角，利用余弦定理計算即可判斷D.【詳解】設(shè)，由，得，所以，解得，即，故A正確；B：因?yàn)槊?，所以面，由面，?設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為，由等體積法可得，，即，又，，所以，即點(diǎn)A到平面的距離為，故B錯誤；C：由題意，易知為直三棱柱的外接球的球心，設(shè)半徑為R，則，所以，故C正確；D：如圖，取的中點(diǎn)D，連接OD、AD，則且，所以（或其補(bǔ)角）為直線AO與直線BC所成角，在中，，由余弦定理，得，故D錯誤.故選：AC12.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線：的焦點(diǎn)的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，其中A在第一象限，點(diǎn)，直線與C交于N，若直線與的傾斜角互補(bǔ)，則（）A.直線的斜率為 B.C.線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 D.【答案】ACD【解析】【分析】對于A，首先由直線與的傾斜角互補(bǔ)，即垂直平分，得，結(jié)合即可判斷A；對于B，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理以及焦半徑公式即可判斷B；對于C，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可判斷C，并得到點(diǎn)，由此即可判斷D.【詳解】由題意若直線與的傾斜角互補(bǔ)，其中，由題意設(shè)中點(diǎn)為，則垂直平分，所以，又A第一象限，所以，所以，即，所以直線（）的斜率為，故A正確；由A選項(xiàng)分析可知，直線（）的斜率為，所以直線（、）的方程為，將其代入拋物線方程得，，由，得，所以，所以，故B錯誤，由A選項(xiàng)分析，又直線與的傾斜角互補(bǔ)，，所以由直線的斜率為，所以直線的方程為，將其代入拋物線方程得，，由，得線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，故C正確；由，，得，，所以，又，所以，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：關(guān)鍵是由題意得到點(diǎn)，然后結(jié)合韋達(dá)定理以及拋物線定義等即可順利得解.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若隨機(jī)變量，且，則__________.【答案】0.8##【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性即可求解.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量，則正態(tài)分布曲線的對稱軸為，所以，所以.故答案為：0.814.設(shè)單位向量，的夾角為60°，則___________.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律即可求解.【詳解】,故答案為：215.已知等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為168，，則___________.【答案】##【解析】【分析】由題意設(shè)等比數(shù)列首先公比分別為，由題意列方程求出，由此即可得解.【詳解】由題意設(shè)等比數(shù)列首先公比分別為（否則與矛盾），所以，，兩式相比得，解得，所以.故答案為：.16.已知橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)A在上，點(diǎn)B在y軸上，，，則C的離心率為_________.【答案】【解析】【分析】設(shè)，利用橢圓定義及對稱性表示出，結(jié)合勾股定理可得，再利用余弦定理求解即得.【詳解】令橢圓C的半焦距為c，設(shè)，則，由點(diǎn)B在y軸上，，得，而，，因此，即，解得，在中，，在中，由余弦定理得，即，整理得，，所以C的離心率為.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分、解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.記為數(shù)列的前項(xiàng)和，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）;（2）.【解析】【分析】（1）利用之間得關(guān)系，再結(jié)合累乘法計算化簡即可.（2）表示出數(shù)列的前項(xiàng)和，利用錯位相減法計算化簡即可.【小問1詳解】結(jié)合題意：因?yàn)?，?dāng)時，，所以①②得，即，所以，當(dāng)時，上式也成立.故的通項(xiàng)公式.【小問2詳解】記，由（1）問所以，即，所以，所以③④得即，整理得：.18.記內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，D是邊上的點(diǎn)，且.（1）求；（2）若，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)余弦定理邊角化即可求解，（2）根據(jù)余弦定理化簡求解.【小問1詳解】由可得,由于，所以，因此【小問2詳解】由可得，由余弦定理可得,即，化簡可得，又，，代入可得，化簡得，進(jìn)而，解得19.如圖，在三棱錐中，，，，，點(diǎn)M，N分別為，的重心.（1）求證：面；（2）若平面與平面所成的角為45°，且平面平面，求三棱錐的體積.【答案】19.證明見解析20.【解析】【分析】（1）取AB的中點(diǎn)D，連接PD，CD，如圖，由三角形的重心可得，則，結(jié)合線面平行的判定定理即可證明；（2）取BC的中點(diǎn)O，取AC的中點(diǎn)E，連接OP，OE，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用向量的線性運(yùn)算可得，根據(jù)空間向量法求面面角，建立a的方程，求出a，結(jié)合三棱錐的體積公式計算即可求解.【小問1詳解】因?yàn)辄c(diǎn)M，N分別是的重心，取AB的中點(diǎn)D，連接PD，CD，如圖，則，在中，，所以，故，又面，面，所以面；【小問2詳解】由題意知，，，取BC中點(diǎn)O，取AC的中點(diǎn)E，連接OP，OE，則，由面面，面面，面，得面，又面，所以，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，由，得，所以，易知為面的一個法向量，設(shè)面的一個法向量為，則，令，則，所以，故，由，解得.所以，即三棱錐的體積為.20.中國象棋是中國棋文化，也是中華民族的文化瑰寶，它源遠(yuǎn)流長，某地區(qū)舉行中國象棋比賽，先進(jìn)行小組賽，每三人一組，采用單循環(huán)賽（任意兩人之間只賽一場），每場比賽勝者積3分，負(fù)者積0分，平局各1分.根據(jù)積分排名晉級淘汰賽，若出現(xiàn)積分相同的情況，則再進(jìn)行同分加賽，直到排出小組1，2，3名為止，已知甲、乙、丙三人分在同一個小組，根據(jù)以往比賽數(shù)據(jù)統(tǒng)計，甲、乙對局時，甲勝概率為，平局概率為；甲、丙對局時，甲勝概率為，平局概率為；乙、丙對局時，乙勝概率為，平局概率為，各場比賽相互獨(dú)立.（1）甲乙丙單循環(huán)賽分出勝負(fù)的局?jǐn)?shù)為，求；（2）甲乙丙單循環(huán)賽結(jié)束，乙丙同積4分，設(shè)加賽次后乙獲得小組第一名的概率為，證明：.【答案】20.2.321.證明見解析【解析】【分析】（1）由題意可知X可能取值為0,1,2,3，利用獨(dú)立事件的乘法公式分別求出對應(yīng)的概率，結(jié)合數(shù)學(xué)期望的計算公式求解即可；（2）根據(jù)題意依次分析乙丙加賽1場、2場、n場后乙勝的情況，表示出對應(yīng)的概率，結(jié)合等比數(shù)列的概念和等比數(shù)列前n項(xiàng)求和公式計算，即可證明.【小問1詳解】單循環(huán)賽共賽3場，故X可能取值為0,1,2,3，則，，所以；【小問2詳解】當(dāng)乙丙同積4分式，說明乙丙各勝1場，各平局1場，而甲負(fù)2場得0分.若乙丙加賽1場后乙勝，此時乙獲得小組第一的概率為；若乙丙加賽2場后乙勝，說明加賽的第1場平局，第2場乙勝，此時；若乙丙加賽3場后乙勝，說明加賽的前2場平局，第3場乙勝，此時；若乙丙加賽4場后乙勝，說明加賽的前3場平局，第4場乙勝，此時；若乙丙加賽n場后乙勝，說明加賽的前場平局，第n場乙勝，此時.所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，故，即證.21.已知雙曲線的漸近線方程為，點(diǎn)在上.（1）求的方程；（2）過點(diǎn)的直線交于、兩點(diǎn)，直線、與軸的交點(diǎn)分別為、，求證：線段的中點(diǎn)為定點(diǎn).【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)在雙曲線上可得出的值，結(jié)合雙曲線的漸近線方程可得出的值，由此可得出雙曲線的方程；（2）分析可知，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，寫出直線、的方程，進(jìn)而可求得點(diǎn)、的坐標(biāo)，即可求得線段中點(diǎn)的坐標(biāo).【小問1詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，則，又因?yàn)?，則，又因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，則，因此，雙曲線的方程為.【小問2詳解】證明：若直線的斜率不存在，則直線的方程為，此時，直線與雙曲線相切，不合乎題意；所以，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，即，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，由題意可知，，解得，由韋達(dá)定理可得，，直線的方程為，在直線的方程中，令，得，即點(diǎn)，同理可得點(diǎn)，因?yàn)椋?，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，即線段的中點(diǎn)為定點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解直線過定點(diǎn)問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這