《電磁場與電磁波及其應(yīng)用》課件第六章

第六章電磁輻射6.1電流元輻射6.2對稱振子天線6.3天線陣輻射6.4對偶原理與電流環(huán)（磁流元）輻射6.5惠更斯原理6.6電磁輻射的應(yīng)用

6.1電流元輻射

設(shè)電基本振子上流過的時諧電流瞬時值為

i(z)=Imsin(ωt－kz)

由于振子很短，所以可近似認為電流元上的電流大小和方向是一個不變的定值I，方向由一端指向另一端。也就是說電基本振子的兩端相當(dāng)于存在著等值異號的電荷，即是一個電偶極子，所以電基本振子也常稱為電偶極子。為了計算電基本振子的電磁場，取如圖6.1-1所示的坐標系，使坐標原點處在振子的中心位置，并使z軸與振子的長度方向一致。圖6.1-1電基本振子與球坐標系統(tǒng)如圖6.1-1所示，在電磁場理論中，已給出了在球坐標

系原點o沿z軸放置的電基本振子在無限大自由空間中場強的

表達式(6.1.1)(6.1.2)式中，E為電場強度，單位為V/m；H為磁場強度，單位為A/m；場強的下標r、θ、j表示球坐標系中矢量的各分量；er、eθ、ej分別為球坐標系中沿r、θ、j增大方向的單位矢量；ε0=10－9/(36π)(F/m)，為自由空間的介電常數(shù)；μ0=4π×10－7(H/m)，為自由空間的導(dǎo)磁率。6.1.1電流元的近區(qū)場

kr<<1即（r<<λ/(2π)）的區(qū)域稱為近區(qū)，在此區(qū)域內(nèi)忽略式（6.1.1）中的1/r項，并且認為e－jkr≈1,電基本振子的近區(qū)場表達式為(6.1.3)6.1.2電流元的遠區(qū)場

kr>>1即（r>>λ/(2π)）的區(qū)域稱為遠區(qū)，在此區(qū)域內(nèi)因此保留式（6.1.1）中的最大項后，電基本振子的遠區(qū)場表達式為(6.1.4)由上式可見，遠區(qū)場的性質(zhì)與近區(qū)場的性質(zhì)完全不同，場強只有兩個相位相同的分量（Eθ，Hj），其電力線分布如圖6.1-2所示，場矢量如圖6.1-3所示。

遠區(qū)場的坡印廷矢量平均值為(6.1.5)圖6.1-2電基本振子的電力線圖6.1-3電基本振子的遠區(qū)場對于自由空間電偶極子向自由空間輻射的總功率稱為輻射功率Pr，它等于坡印廷矢量在任一包圍電偶極子的球面上的積分，即(6.1.7)類似于普通電路，可以得出：其中，Rr稱為該天線歸算于電流I的輻射電阻，這里I是電流的振幅值。將上式代入式（6.1.7），得電基本振子的輻射電阻為(6.1.9)(6.1.８)6.1.3電流元的方向性

由式（6.1.4）還可以看到，場強振幅不隨j角的不同而變化，也就是說，電基本振子的輻射在H面(即磁場矢量所在的平面)是無方向性的，在極坐標系下的H面方向圖為一個半徑等于1的圓，如圖6.1-5所示。圖6.1-4電基本振子的E面方向圖圖6.1-5電基本振子的H面方向圖電基本振子向自由空間輻射的總功率稱做該天線的輻射功率，記為Pr，它應(yīng)等于平均功率流密度沿任一包圍該振子的球面上的面積分。它為(6.1.10)

6.2對稱振子天線

6.2.1對稱振子的電流分布

對稱振子天線是由兩根同樣粗細和同等長度的直導(dǎo)線構(gòu)成的，如圖6.2-1所示。這兩根導(dǎo)線稱為對稱振子的兩臂，其每臂的長度用l表示。圖6.2-1對稱振子天線對于圖6.2-1所示的坐標系統(tǒng)，對稱振子兩臂上的電流分布為

I(z)=Imsink(l－|z|)(6.2.1)

式中：Im為波腹點的電流幅值；k為相移常數(shù)，k=2π/λ。

圖6.2-2畫出了幾種簡單對稱振子的電流分布圖形。圖6.2-2簡單對稱振子的電流分布

l=0.25λ的對稱振子，因全長為半個波長，故稱為半波振子，電流波腹點正好在饋電輸入端。l=0.25λ的對稱振子的全長為一個波長，故稱為全波振子，理論上，饋電輸入端正好是電流波節(jié)點，但與實際情況不相符合，實際情況如圖6.2-3所示。圖6.2-3全波振子的實際電流分布6.2.2對稱振子的輻射場

首先假定振子的半徑a遠小于波長，它所在的坐標系如圖6.2-4所示。圖6.2-4求解對稱振子的輻射場每一個電流元的輻射場可由式（6.1.4）得到：我們在振子左右臂上取兩個位置對稱的元段dz，它們距振子中心的距離都是z，它們的輻射場分別為(6.2.2)(6.2.3)由左右兩臂兩個對稱元段dz在觀察點M產(chǎn)生的總場強應(yīng)為(6.2.4)由于觀察點離天線很遠，即r>>λ，因此可認為r1、r2、r相互平行。在討論輻射場的幅度時，可認為θ1=θ2=θ，r1=r2=r。但在討論輻射場的相位時，不能作這樣的近似，必須考慮到由于路程差而引起的相位差，即r1≠r2≠r，它們之間有以下關(guān)系：(6.2.5)將式（6.2.5）代入式(6.2.4)得應(yīng)用歐拉公式，并將式（6.2.1）代入上式得然后，沿振子臂長l進行積分，即為整個振子的輻射場，其結(jié)果為(6.2.6)6.2.3對稱振子的輻射參數(shù)

1.方向函數(shù)

對稱振子的方向函數(shù)為(6.2.7)對于半波振子l=0.25λ，對于全波振子l=0.5λ，方向函數(shù)最大值：對于半波振子，對于全波振子，

f(θ=90°)=2

2.方向圖

各種不同長度對稱振子在E面的方向圖如圖6.2-5所示，在H面的方向圖為一個圓。E面方向圖的形狀類似花瓣，故稱其為波瓣。一般天線會出現(xiàn)很多波瓣，最大的稱為主瓣，次大的稱為副瓣，主瓣正后方的波瓣稱為后瓣。圖6.2-5各種不同臂長對稱振子的方向圖當(dāng)l/λ=0.5時，天線上開始出現(xiàn)反相的電流分布，由于有一部分反相電流，在θ=90°的方向?qū)⒉豢赡苋客喁B加，而被反相的部分抵消掉一些，所以主向不在θ=90°的方向。當(dāng)l=λ

時，兩臂上的電流分布如圖6.2-6所示。圖6.2-6l=λ的對稱振子電流分布

3．主瓣寬度

設(shè)半功率點的徑向與z軸的夾角是θr，令解得θr=51°。

4．輻射功率與輻射電阻(6.2.8)在遠區(qū)能流密度為將對稱振子Eθ的求值公式（6.2.6）代入上式得(6.2.9)輻射電阻定義為輻射功率與波腹點電流的平方之比，有(6.2.10)式（6.2.10）計算起來很麻煩，實際工作中使用已繪制好的曲線圖，如圖6.2-7所示。圖6.2-7對稱振子輻射電阻與l/λ的關(guān)系

5．輸入阻抗

天線的輸入阻抗包括實數(shù)和虛數(shù)兩部分，實部稱輸入電阻，虛部稱輸入電抗。天線的輻射電阻只是輸入電阻的一部分，其余部分還包括導(dǎo)線和周圍媒質(zhì)的損耗，這些我們稱它為損耗電阻。一般地說，損耗電阻比較小，我們只要將以波腹電流為參考點換成以輸入端電流為參考點，就可得到天線的輸入電阻。

6.3天線陣輻射

6.3.1二元陣

設(shè)有兩個形式和取向都一致的天線排列成二元陣，如圖6.3-1所示。天線與天線之間的距離是d，它們到觀察點P的距離分別是r0與r1。由于觀察點很遠，可認為r0與r1平行。圖6.3-1二元天線陣下面求式（6.3.1）的絕對值：(6.3.3)可見陣因子fa（ψ）為(6.3.4)當(dāng)m=1時，將ψ代入得(6.3.5)（1）同相二元陣。當(dāng)m=1，β=0時在d/λ不同時，所得到的陣因子方向圖如圖6.3-2所示。圖6.3-2同相二元陣d/λ不同時的陣因子方向圖（2）相位差為90°的二元陣。當(dāng)m=1，β=－90°時在d/λ=0.25時的陣因子方向圖如圖6.3-3所示。圖6.3-3相位差90°，d/λ=0.25時的陣因子方向圖（3）反相二元陣。當(dāng)m=1，β=180°時6.3.2方向圖乘積定理

四元天線陣如圖6.3-4所示，相鄰兩天線的距離為d，相位差為β。天線1輻射的電波較天線0超前ψ1=kdcosδ+β，天線2的較天線0超前ψ2=2kdcosδ+2β=2ψ，天線3的較天

線0超前ψ3=3kdcosδ+3β=3ψ，依次類推。圖6.3-4四元無線陣用|f(δ)|表示天線陣的場強幅度方向圖函數(shù)，由式(6.3.2)知式中，|f1(δ)|為天線單元的方向函數(shù)，僅與天線單元的結(jié)構(gòu)形式和尺寸有關(guān)，稱為單元因子；|fa(δ)|僅與天線單元的電流分布Ii、空間分布di和元的個數(shù)n有關(guān)，而與天線單元的形式和尺寸無關(guān)，因此稱為陣因子。(6.3.9)在一般情況下，在球坐標系中，單元因子和陣因子不僅是θ的函數(shù)，還可能是方位角j的函數(shù)，故天線陣方向圖乘積定理的一般形式是

|f(θ,j)|=|f1(θ,j)|·|fa(θ,j)|

(6.3.10)原理可用圖6.3-5來形象地說明，其中圖（a）為組方向圖，圖（b）為陣因子方向圖，它們相乘后得合成方向圖（即圖（c)）。圖6.3-5方向圖乘法例6.3.1如圖6.3-6所示，有兩個半波對稱振子組成一個平行二元陣，其間隔距離d=0．25λ，電流比Im2=Im1ejπ/2，求其E面（yoz）和H面(xoy)的方向函數(shù)及方向圖。

解此題所設(shè)的二元陣屬于等幅二元陣，m=1，這是最常見的二元陣類型。對于這樣的二元陣，陣因子可以簡化為圖6.3-6例6.3.1用圖（1）E面。在單元天線確定的情況下，分析二元陣的重要工作就是首先分析陣因子，而陣因子是相位差ψ的函數(shù)，因此有必要先求出E面上的相位差表達式。如圖6.3-7所示，路徑差所以相位差為圖6.3-7例6.3.1的E面坐標圖陣因子可以寫為而半波振子在E面的方向函數(shù)可以寫為根據(jù)方向圖乘積定理，此二元陣在E面的方向函數(shù)為歸一化后由上面的分析，可以畫出E面方向圖如圖6.3-8所示。圖中各方向圖已經(jīng)過歸一化。圖6.3-8例6.3.1的E面方向圖（2）H面。對于平行二元陣，如圖6.3-9所示，H面陣因子的表達形式和E面陣因子完全一樣，只是半波振子在H面無方向性。應(yīng)用方向圖乘積定理，直接寫出H面的方向函數(shù)為H面方向圖如圖6.3-10所示。圖6.3-9例6.3.1的H面坐標圖圖6.3-10例6.3.1的H面方向圖例6.3.2如圖6.3-11所示，有兩個半波振子組成一個共線二元陣，其間隔距離d=λ，電流比Im2=Im1，求其E面(yoz)和H面(xoz)的方向函數(shù)及方向圖。圖6.3-11例6.3.2的E面坐標圖解此題所設(shè)的二元陣屬于等幅同相二元陣，m=1，β=0。相位差ψ=kΔr。

（1）E面。相位差ψE(δ)=2πcosδ，在δ=0°、60°、90°、120°、180°時，ψE分別為2π（最大輻射）、－2π（零輻射）、0（最大輻射）、－π（零輻射）、

－2π（最大輻射）。陣因子為

|fa(δ)|=|2cos(πcosδ)|

根據(jù)方向圖乘積定理，此二元陣在E面的方向函數(shù)為歸一化后E面方向圖如圖6.3-12所示。圖6.3-12例6.3.2的E面方向圖（2）H面。如圖6.3-13所示，對于共線二元陣，ψH(α)=0，H面陣因子無方向性。應(yīng)用方向圖乘積定理，直接寫出H面的方向函數(shù)為

fH(α)=1×2=2

歸一化后

FH(α)=1

所以H面方向圖為一單位圓。圖6.3.13例6.3.2的H面坐標及方向圖例6.3.3如圖6.3-14所示，由兩個半波振子組成一個平行二元陣，其間隔距離d=0.75λ，電流比Im2=Im1ejπ/2，求其方向函數(shù)及立體方向圖。圖6.3-14例6.3.3的坐標圖解先求陣因子。

路徑差為所以，總相位差為陣因子為根據(jù)方向圖乘積定理，陣列方向函數(shù)為圖6.3-15為由Matlab軟件繪出的此二元陣的歸一化立體方向圖。圖6.3-15二元陣的歸一化立體方向圖通過以上實例的分析可以看出，加大間隔距離d會加大波程差的變化范圍，導(dǎo)致波瓣個數(shù)變多；而改變電流激勵初始相差，會改變陣因子的最大輻射方向。常見二元陣圖形陣因子如圖6.3-16所示。圖6.3-16二元陣圖形陣因子

6.4對偶原理與電流環(huán)（磁流元）輻射

6.4.1對偶原理

引入假想的磁荷和磁流概念之后，磁荷與磁流也產(chǎn)生電磁場，因此麥克斯韋方程組可修改為(6.4.1a)(6.4.1b)(6.4.1c)(6.4.1d)在無界的簡單媒質(zhì)中，如果存在“電源”J、

ρ，它們產(chǎn)生的電磁場用Ee、He表示，則其滿足的麥克斯韋方程組為(6.4.2a)(6.4.2b)(6.4.2c)(6.4.2d)如果存在“磁源”Jm、ρm，它們產(chǎn)生的電磁場用Em、Hm表示，則其滿足的麥克斯韋方程組為(6.4.3a)(6.4.3b)(6.4.3c)(6.4.3d)由上可見，如果對式（6.4.2）作以下變量代換：(6.4.4)例6.4.1應(yīng)用對偶原理，求磁基本振子的遠區(qū)輻射場。解引入假想的磁荷與磁流概念之后，載流細導(dǎo)線小圓環(huán)可等效為相距dl，兩端磁荷分別為+qm和－qm的磁偶極子，其磁偶極矩由此可得磁基本振子的磁流其對應(yīng)的磁流復(fù)量為如果定義磁偶極子對應(yīng)的磁流元為Imdl，那么它與電流環(huán)的關(guān)系為或?qū)⑸鲜酱胧剑?.4.14），可將磁偶極子產(chǎn)生的遠區(qū)場重寫為(6.4.6b)(6.4.6a)式（6.4.6）也可以根據(jù)對偶原理，將式（6.1.4）經(jīng)過式（6.4.4）的變換得到。6.4.2磁流元的輻射場

磁基本振子是一個半徑為a(a<<λ)的細導(dǎo)線小圓環(huán)，載有高頻均勻時諧電流i=Imcos(ωt+j)，其復(fù)振幅為I=Imejj，

如圖6.4-1所示。圖6.4-1磁基本振子磁基本振子的實際模型是小電流環(huán)，如圖6.4-2所示，它的周長遠小于波長，而且環(huán)上的諧變電流I的振幅和相位處處相同。相應(yīng)的磁矩和環(huán)上電流的關(guān)系為

pm=μ0IS

(6.4.7)

式中S為環(huán)面積矢量，方向由環(huán)電流I按右手螺旋規(guī)則確定。圖6.4-2小電流環(huán)和與其等效的磁矩若求小電流環(huán)遠區(qū)的輻射場，我們可以把磁矩看成一個時變的磁偶極子，磁極上的磁荷是+qm、－qm，它們之間的距離為l。磁荷之間與假想的磁流Im等效，以滿足磁流的連續(xù)性，則磁矩又可表示為

pm=qml(6.4.8)

式中l(wèi)的方向與環(huán)面積矢量的方向一致。取如圖6.4-3所示的球坐標系，根據(jù)并將其中的J(r′)dV′改為Idl′，有(6.4.9)圖6.4-3磁基本振子的坐標上式中的積分是對帶“′”的坐標變量（源點）進行的，r（場點坐標）是常量，所以上式可以改寫為(6.4.10)顯然，上式中第二項的線積分是零。第一項方括號中的因子與“靜”磁偶極子（恒定電流環(huán)）的矢量位表達式相同。此式的運算結(jié)果為將上式用于式（6.4.10），只要注意到對現(xiàn)在討論的“時變”磁偶極子，該式中的m=ezπa2I=ezSI

是復(fù)矢量。于是有(6.4.11)將式（6.4.11）代入H=μ－1

×A可得磁基本振子的磁場為(6.4.12a)(6.4.12c)(6.4.12b)(6.4.13a)(6.4.13b)(6.4.13c)由以上諸式可見，電場強度矢量與磁場強度矢量互相垂直，這一點和電基本振子的電磁場相同；但是，E、

H的取向互換，即E在與赤道面平行的平面內(nèi)，而H在子午面內(nèi)，這與電基本振子的電磁場取向比較，正好相反。對遠區(qū)（kr>>λ）只保留E、

H表達式中含1/kr的項，可由式（6.4.12）和式（6.4.13）得到磁基本振子的遠區(qū)輻射場：(6.4.14a)(6.4.14b)磁基本振子的平均坡印廷矢量可由式（6.4.14）獲得：輻射功率為(6.4.15a)以空氣的波阻抗代入上式，有輻射電阻為(6.4.15b)(6.4.16)例6.4.2沿z軸放置大小為I1l1的電基本振子，在xoy平面上放置大小為I2S2的磁基本振子，它們的取向和所載電流的頻率相同，中心位于坐標原點，求它們的輻射電場強度。解由式（6.1.4）和式（6.4.14b）知，電基本振子和磁基本振子在空間任意點產(chǎn)生的合成輻射場為例6.4.3將周長為0.1λ0的細導(dǎo)線繞成圓環(huán)，以構(gòu)造磁基本振子，求此磁基本振子的輻射電阻。

解由式（6.4.16）知此磁基本振子的輻射電阻為6.5惠更斯原理

所謂惠更斯面元就是其邊長分別為dx、dy的矩形面積元。dx、dy均遠小于波長，面上分布有正交的電場矢量ES和磁場矢量HS，且它們的幅度和相位均勻分布。如圖6.5.1所示坐標系，設(shè)ES=exE0x沿x軸方向，HS=eyH0y沿y軸方向，且E0x/H0y=Z0w。圖6.5-1基本面元的坐標

1．等效原理

如果電流元是由理想導(dǎo)體構(gòu)成的，那么它的基本表面S上的磁場強度矢量H只有切向分量，且與表面電流密度矢量JeS的關(guān)系為

JeS=n×H

(6.5.1)

上式中n是電流元基本表面S上的單位法向矢量。如果我們用JeS表示基本表面S上表面電流密度的量值，用Ht表示基本表面S上切向磁場的量值，則有

JeS=Ht

(6.5.2)

如果電流元表面的電流密度JeS是均勻分布的，且電流元橫截面的周長為L，則電流元表面電流的量值Ie可以用基本表面S上的切向磁場Ht來表示，即

Ie=JeSL=HtL

(6.5.3)類似地，對于圖6.4.3中給出的磁流元，表面磁流密度矢量JmS與表面電場強度矢量S之間的關(guān)系也應(yīng)該具有式(6.5.1)的形式，即

JmS=－n×E(6.5.4)

上式中等號右邊的負號說明磁流元表面電場的正方向與磁流的正方向成左手螺旋關(guān)系。與電流元類似，磁流元表面的電場也只能有切向分量，其量值為Et且與表面磁流密度量值JmS的關(guān)系為

JmS=Et(6.5.5)同樣，我們假設(shè)磁流元表面的磁流密度JmS是均勻分布的，橫截面周長為L的磁流元上的磁流為

Im=JmSL=EtL(6.5.6)

與電流元類似，由式(6.4.14)表示的磁流元輻射場也可以通過其表面的切向電場Et來計算。均勻平面電磁波的表達式為(6.5.7)假設(shè)這個面積元ΔS的位置在z=nλ處，于是它表面上的電場和磁場分別為(6.5.8)圖6.5-2矩形面積元上的等效磁流與等效電流根據(jù)等效原理，這個面積元ΔS上的電場可以看成是等效的表面磁流密度。即

JmS=－n×E=－k×eyEt=exEt

(6.5.9)

由上式可知，等效磁流Im的正方向沿x軸的正方向，而它的量值為

Im=JmSΔy=EtΔy

(6.5.10)

同樣根據(jù)等效原理，這個面積元上的磁場可以看成是等效的表面電流密度，即由上式可知，等效電流Ie的正方向沿y軸的負方向，而它的量值為(6.5.12)

2.惠更斯元的輻射場

為分析問題方便，我們假設(shè)惠更斯元的中心位于坐標原點o，其電流元位于y軸上，且電流正方向沿y軸負方向；面磁流元位于x軸上，且磁流正方向沿x軸正方向，如圖6.5-3

所示。圖6.5-3惠更斯元坐標系的確立參看圖6.5-3和圖6.5-4(a)，E面即yoz平面,是磁流元的赤道面，它的輻射場表達式為(6.5.13)上式中，磁流元電場Em的正方向與磁流Im正方向成左手螺旋關(guān)系，電場Em、磁場Hm極化的正方向與波的傳播方向成右手螺旋關(guān)系。

yoz平面是電流元的子午面，其輻射場表達式為(6.5.14)上式中，電流元電場Ee的正方向是以磁流元電場Em的左手螺旋環(huán)繞正方向做參照確定的。圖6.5-4E面和H面上惠更斯元坐標系的電力線和磁力線電場Ee、磁場He極化的正方向與波的傳播方向成右手螺旋關(guān)系。極據(jù)場強疊加原理，E面內(nèi)的總輻射場為等效電流元與等效磁流元的合成場，即(6.5.15)參看圖6.5-3和圖6.5-4(b)，H面即zox平面，是電流元的赤道面，其輻射場表達式為(6.5.16)上式中，電流元磁場He的正方向與電流Ie正方向成右手螺旋關(guān)系，電場Ee、磁場He極化的正方向與波的傳播方向成右手螺旋關(guān)系。

zox平面是磁流元的子午面，其輻射場表達式為(6.5.17)根據(jù)場強疊加原理，H面內(nèi)的總輻射場為等效電流元與等效磁流元的合成場，即(6.5.18)比較式(6.5.15)和式(6.5.18)可以看出，惠更斯元的兩個主平面應(yīng)有相同的歸一化方向性函數(shù)，即(6.5.19)其方向性圖為心臟形，如圖6.5-5所示。在θ=0°方向，由于等幅的電流元與磁流元輻射場同相疊加，因而合成場最大；而在θ=180°方向，由于等幅的電流元與磁流