2024-2025學(xué)年陜西省渭南市富平縣高三上冊(cè)摸底數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年陜西省渭南市富平縣高三上學(xué)期摸底數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={x|?1≤x≤2}，B={x|x>1}，則A∪B=(

)A.{x|x≥?1} B.{x|x>1} C.{x|1<x≤2} D.{x|1≤x≤2}2.若復(fù)數(shù)z=a?2+(a?1)i(i為虛數(shù)單位，a∈R)為純虛數(shù)，則|z|=(

)A.0 B.1 C.2 D.33.圓(x?1)2+(y+3)2=10A.2 B.2 C.3 D.4.已知sin(α+π6)=1A.79 B.?429 5.已知m，n∈R，則“mn>0”是“mn+nmA.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件6.若函數(shù)f(x)=log0.5(ax?x2)在區(qū)間(?1,0)A.(0,2] B.[?2,0) C.[2,+∞) D.(?∞,?2]7.拋物線x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與雙曲線x23?y23=1相交于A，A.2 B.4 C.6 D.88.已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}，a1=b1=?4，aA.有且僅有1個(gè)值 B.有且僅有2個(gè)值 C.有且僅有3個(gè)值 D.有無(wú)數(shù)多個(gè)值二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9.如圖，在正方體ABCD?A1B1CA.|A1C|=3|AB|

B.三棱錐A1?B1D1

10.為了解一片經(jīng)濟(jì)林的生長(zhǎng)情況，隨機(jī)抽取了其中60棵樹(shù)木，測(cè)量底部周長(zhǎng)(單位：cm)，所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間[80,130]內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖所示，則(

)A.圖中a的值為0.025

B.樣本中底部周長(zhǎng)不少于110cm的樹(shù)木的底部周長(zhǎng)的平均數(shù)等于120

C.樣本中底部周長(zhǎng)不小于110cm的樹(shù)木有18棵

D.估計(jì)該片經(jīng)濟(jì)林中樹(shù)木的底部周長(zhǎng)的80%分位數(shù)為11511.雙曲正弦函數(shù)與“S”型函數(shù)是兩類(lèi)重要的函數(shù)模型，它們?cè)跀?shù)學(xué)與信息學(xué)科中有著廣泛的運(yùn)用，其解析式分別為F(x)=ex?e?x2A.F(x)是奇函數(shù)

B.F(x)在R上不單調(diào)

C.S(x)的值域?yàn)?0,1)

D.函數(shù)y=F(x)?S(x)在x∈R上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知向量a，b滿足|a+2b|=25，|a|=2，|13.已知x=π4和x=π2都是函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)14.中國(guó)是世界上最早發(fā)明雨傘的國(guó)家，傘是中國(guó)勞動(dòng)人民一個(gè)重要的創(chuàng)造.如圖所示的雨傘，其傘面被傘骨分成8個(gè)區(qū)域，每個(gè)區(qū)域分別印有數(shù)字1，2，3，…，8.現(xiàn)準(zhǔn)備給該傘面的每個(gè)區(qū)域涂色，要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰兩個(gè)區(qū)域所涂顏色不能相同，對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)區(qū)域(如區(qū)域1與區(qū)域5)所涂顏色相同.若有6種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有______種.四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題12分)

在△ABC中，2cos2A2?1=3sin(B+C).

(Ⅰ)求角A的大??；

(16.(本小題12分)已知函數(shù)f(x)=4x3(1)當(dāng)a=1時(shí)，求f(x)在(1,f(1）處的切線方程;(2)若x>0時(shí)，f(x)≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.17.(本小題12分)

如圖，已知四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點(diǎn).

(Ⅰ)證明：AE⊥平面PAD；

(Ⅱ)若PA=2，求二面角F?AE?C的余弦值18.(本小題12分)

已知某險(xiǎn)種的保費(fèi)為0.4萬(wàn)元，前3次出險(xiǎn)每次賠付0.8萬(wàn)元，第4次賠付0.6萬(wàn)元.賠償次數(shù)01234單數(shù)800100603010在總體中抽樣100單，以頻率估計(jì)概率：

(1)求隨機(jī)抽取一單，賠償不少于2次的概率；

(2)(i)毛利潤(rùn)是保費(fèi)與賠償金額之差.設(shè)毛利潤(rùn)為X，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望；

(ii)若未賠償過(guò)的保單下一保險(xiǎn)期的保費(fèi)下降4%，已賠償過(guò)的增加20%.估計(jì)保單下一保險(xiǎn)期毛利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望.19.(本小題12分)

如圖，已知A，B分別是橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn).橢圓的離心率為32，△ABO(O是坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為1.

(Ⅰ)求橢圓E的方程；

(Ⅱ)若過(guò)點(diǎn)P(a,b)的直線與橢圓E相交于M，N兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作x軸的平行線分別與直線AB，NB交于點(diǎn)C

答案和解析1.【正確答案】A

解：由題意，A∪B={x|x≥?1}.

故選：A.

根據(jù)集合的并集運(yùn)算求解．

本題考查集合的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．2.【正確答案】B

解：復(fù)數(shù)z=a?2+(a?1)i為純虛數(shù)，則a?2=0且a?1≠0，解得a=2，

則|z|=|i|=1.

故選：B.

根據(jù)純虛數(shù)的定義求出a，再用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式求解．

本題考查復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)，屬于基礎(chǔ)題．3.【正確答案】D

解：圓(x?1)2+(y+3)2=10的圓心(1,?3)，

圓(x?1)2+(y+3)24.【正確答案】D

【分析】本題主要考查了誘導(dǎo)公式，二倍角公式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．

由已知利用誘導(dǎo)公式，二倍角公式化簡(jiǎn)所求即可得解．

解：因?yàn)閟in(α+π6)=13，

所以sin(2α?5.【正確答案】C

解：由mn>0，可得mn>0，nm>0，

所以mn+nm≥2mn?nm=2，當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí)等號(hào)成立，所以充分性成立；

由m6.【正確答案】D

解：由于y=log0.5x在(0,+∞)上單調(diào)遞減，

則由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則可知，y=?x2+ax在(?1,0)上單調(diào)遞減，且y=?x2+ax>0在(?1,0)上恒成立，

由y=?x2+ax在(?1,0)上單調(diào)遞減，可得a2≤?1，解得a≤?2，

由y=?x2+ax>0在(?1,0)上恒成立，可得a<x在(?1,0)上恒成立，則a<?1，

綜上，實(shí)數(shù)a7.【正確答案】C

解：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,p2)，

準(zhǔn)線方程為：y=?p2，

準(zhǔn)線方程與雙曲線聯(lián)立可得：x23?p212=1，

解得x=±3+p24，

因?yàn)椤鰽BF為等邊三角形，

所以328.【正確答案】A

解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，

由a1=b1=?4，a4=2，a5=8b4，可得?4+3d=2，?4+4d=?32q3，

解得d=2，q=?12，

則an=?4+2(n?1)=2n?6，bn=?4×(?12)n?1=8?(?12)n，

am?bm>1，即8(2m?6)?(?9.【正確答案】ACD

解：在正方體ABCD?A1B1C1D1中，令棱長(zhǎng)AB=a，

則AC=2a，

對(duì)于A：在直角△A1AC中，A1C=A1A2+AC2=a2+2a2=3a，

即A1C=3AB，故A正確；

對(duì)于B：因?yàn)閂A1?B1D1A=VA?A1B1D1=13×12×a2×a=a36，

而V正方體=a3，

所以三棱錐A1?B1D1A與正方體ABCD?A1B1C1D1的體積比為1：6，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：在正方體中，AD1=AB1=B1D1，

所以10.【正確答案】ACD

解：對(duì)于A選項(xiàng)，根據(jù)題意可得(0.015+a+0.030+0.020+0.010)×10=1，

解得a=0.025，故A選項(xiàng)正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)閇110,120)與[120,130)兩組的頻率之比為2：1，

所以樣本中底部周長(zhǎng)不少于110cm的樹(shù)木的底部周長(zhǎng)的平均數(shù)估計(jì)為：

115×23+125×13=3553≈118，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)椴恍∮?10cm的頻數(shù)為(0.020+0.010)×10=0.3，

所以不小于110cm的樹(shù)木有0.3×60=18株，故C選項(xiàng)正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)榍叭齻€(gè)矩形的面積為：(0.015+0.025+0.030)×10=0.7，

前四個(gè)矩形的面積為：(0.015+0.025+0.030+0.020)×10=0.9，

所以80%分位數(shù)位于區(qū)間[110,120),則110+0.01011.【正確答案】ACD

解：對(duì)于A，F(xiàn)(x)=ex?e?x2的定義域?yàn)镽，

且F(?x)=e?x?ex2=?ex?e?x2=?F(x)，

所以F(x)是奇函數(shù)，故A正確；

對(duì)于B，因?yàn)閥=ex為增函數(shù)，y=e?x為減函數(shù)，

所以F(x)=ex?e?x2在R上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，S(x)=11+e?x=ex1+ex=ex+1?11+ex=1?11+ex，

因?yàn)閑x>0，所以0<11+ex<1，所以0<1?11+ex<1，

所以12.【正確答案】π4解：設(shè)向量a與b的夾角為θ，θ∈[0,π]，

|a+2b|=25，

則a2+4a?b+4b13.【正確答案】4

解：因?yàn)閤=π4和x=π2都是函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的極值點(diǎn)，

所以周期為T(mén)≤2×(π2?π4)=π2，

所以2πω≤π2，

所以ω≥4，即14.【正確答案】630

解：根據(jù)題意，只需確定區(qū)域1，2，3，4的顏色，即可確定整個(gè)傘面的涂色．

先涂區(qū)域1，有6種選擇，再涂區(qū)域2，有5種選擇，

當(dāng)區(qū)域3與區(qū)域1涂的顏色不同時(shí)，區(qū)域3有4種選擇，剩下的區(qū)域4有4種選擇；

當(dāng)區(qū)域3與區(qū)域1涂的顏色相同時(shí)，剩下的區(qū)域4有5種選擇，

故不同的涂色方案有6×5×(4×4+5)=630種．

故630.

根據(jù)題意，先確定區(qū)域1，2，3，4的顏色，分區(qū)域3與區(qū)域1涂的顏色是否相同兩種情況討論，進(jìn)而可得出答案．

本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．15.【正確答案】解：(Ⅰ)在△ABC中，2cos2A2?1=3sin(B+C)，

由二倍角的余弦公式和三角形的內(nèi)角和定理、誘導(dǎo)公式，

可得cosA=3sinA，即有tanA=sinAcosA=33，

∵A∈(0,π)，∴A=π6；

(Ⅰ)由二倍角的余弦公式和三角形的內(nèi)角和定理、誘導(dǎo)公式，以及同角的基本關(guān)系式，可得所求值；

(Ⅱ)由三角形的余弦定理和勾股定理的逆定理，可得證明．

本題考查余弦定理、二倍角公式、誘導(dǎo)公式和同角公式，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．16.【正確答案】解：(1)當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=4x3?x2+1，則f(1)=4，

f′(x)=12x2?2x，f′(1)=10，

則f(x)在(1,f(1）處的切線方程為y?4=10(x?1)，即10x?y?6=0；

(2)∵f(x)=4x3?ax2+a2，

∴f′(x)=12x2?2ax，

令f′(x)=0，得x1=0，x2=a6>0，

當(dāng)0<x<a6時(shí)，f′x<0;

當(dāng)x>a6時(shí)，f′x>0本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問(wèn)題，屬于中檔題.

(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解;

(2)求出f(x)的單調(diào)性，由當(dāng)x>0時(shí)，f(x)≥0恒成立，得f(a617.【正確答案】(Ⅰ)證明：由四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°，可得△ABC為正三角形，

∵E為BC的中點(diǎn)，∴AE⊥BC，∴AE⊥AD，

∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，∴PA⊥AE，

又PA∩AD=A，PA，AD?平面PAD，

∴AE⊥平面PAD.

(Ⅱ)解：由(Ⅰ)可知，AE，AD，AP兩兩垂直，

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A(0,0,0)，P(0,0,2)，E(3,0,0)，F(xiàn)(32,12,1)，

∴AE=(3,0,0)，AF=(32,12,1)，AP=(0,0,2)，

設(shè)平面AEF的法向量為m=(x,y,z)，則AE?m=3x=0(Ⅰ)易得△ABC為正三角形，從而知AE⊥AD，由PA⊥平面ABCD，得PA⊥AE，再利用線面垂直的判定定理，即可得證；

(Ⅱ)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求二面角即可．

本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，熟練掌握線面垂直的判定與性質(zhì)定理，利用向量法求二面角是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感，邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．18.【正確答案】解：(1)設(shè)A為“隨機(jī)抽取一單，賠償不少于2次”，

由題設(shè)中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可得P(A)=60+30+10800+100+60+30+10=110；

(2)(i)設(shè)ξ為賠付金額，則ξ可取0，0.8，1.6，2.4，3，

由題可得P(ξ=0)=8001000=45，P(ξ=0.8)=1001000=110，

P(ξ=1.6)=601000=350，P(ξ=2.4)=301000=3100，P(ξ=3)=101000=1100，

所以E(ξ)=0×45(1)根據(jù)題設(shè)中的數(shù)據(jù)可求賠償次數(shù)不少2的概率；

(2)(i)設(shè)ξ為賠付金額，則ξ可取0，0.8，1.6，2.4，3，用頻率估計(jì)概率后可求得分布列及數(shù)學(xué)期望，從而可求E(X)；

(ii)先算出下一期保費(fèi)的變化情況，結(jié)合(i)的結(jié)果可求E(Y).

本題考查用概率的數(shù)學(xué)期望的知識(shí)解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，屬于中檔題．19.【正確答案】解：(Ⅰ)因?yàn)闄E圓的離心率為32