備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)大一輪數(shù)學(xué)(人教A版理)-第九章-培優(yōu)課-§9-10-圓錐曲線壓軸小題突破練

第九章平面解析幾何§9.10圓錐曲線壓軸

小題突破練

[培優(yōu)課]題型一離心率的范圍問題√由題意，橢圓上存在點(diǎn)P，使得線段AP的垂直平分線過點(diǎn)F，即F點(diǎn)到P點(diǎn)與A點(diǎn)的距離相等，√由所以0<|PF2|≤c，又|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，即(|PF2|＋2a)2＋|PF2|2＝4c2，所以4c2≤(c＋2a)2＋c2，整理得2a2＋2ac－c2≥0，求解圓錐曲線離心率范圍問題的策略(1)利用圓錐曲線的定義，以及余弦定理或勾股定理，構(gòu)造關(guān)于a，b，c的不等式或不等式組求解，要注意橢圓、雙曲線離心率自身的范圍.(2)利用圓錐曲線的性質(zhì)，如：橢圓的最大角、通徑、三角形中的邊角關(guān)系、曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的范圍等，建立不等式(不等式組).(3)利用幾何圖形中幾何量的大小，例如線段的長度、角的大小等，構(gòu)造幾何度量之間的關(guān)系.思維升華跟蹤訓(xùn)練1

(1)(2022·南京市寧海中學(xué)模擬)設(shè)e1，e2分別為具有公共焦點(diǎn)F1與F2的橢圓和雙曲線的離心率，P為兩曲線的一個公共點(diǎn)，且滿足∠F1PF2＝

，則e1e2的最小值為√設(shè)橢圓的長半軸長為a1，雙曲線的實(shí)半軸長為a2，不妨設(shè)|PF1|>|PF2|，由橢圓和雙曲線的定義可得由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2，√連接OP，當(dāng)P不為橢圓的上、下頂點(diǎn)時，設(shè)直線PA，PB分別與圓O切于點(diǎn)A，B，∠OPA＝α，∵存在M，N使得∠MPN＝120°，∴∠APB≥120°，即α≥60°，又α<90°，∴sinα≥sin60°，題型二圓錐曲線中二級結(jié)論的應(yīng)用命題點(diǎn)1橢圓、雙曲線中二級結(jié)論的應(yīng)用√√焦點(diǎn)三角形的面積公式：P為橢圓(或雙曲線)上異于長軸端點(diǎn)的一點(diǎn)，且∠F1PF2＝θ，思維升華周角定理：已知A，B為橢圓(或雙曲線)上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓(或雙曲線)上異于A，B的任一點(diǎn)，思維升華跟蹤訓(xùn)練2

(1)如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C1：

＋y2＝1與雙曲線C2的公共焦點(diǎn)，A，B分別是C1，C2在第二、四象限的公共點(diǎn).若四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率是√√∵∠F1AF2＝90°，∴△F1AF2為等腰直角三角形，∴b＝c，∴a2＝2b2＝2c2，例3

(1)(2022·“四省八?！甭?lián)考)已知拋物線y2＝4x過焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則2|AF|＋|BF|的最小值為

命題點(diǎn)2拋物線中二級結(jié)論的應(yīng)用√64方法一(常規(guī)解法)依題意，拋物線C：y2＝16x的焦點(diǎn)為F(4,0)，方法二(活用結(jié)論)依題意，拋物線y2＝16x，p＝8.思維升華思維升華跟蹤訓(xùn)練3

√∴F為AB的三等分點(diǎn)，令|BF|＝t，則|AF|＝2t，圓錐曲線與其他知識的綜合例4油紙傘是中國傳統(tǒng)工藝品，至今已有1000多年的歷史，為宣傳和推廣這一傳統(tǒng)工藝，某市文化宮于春分時節(jié)開展油紙傘文化藝術(shù)節(jié).活動中，某油紙傘撐開后擺放在戶外展覽場地上，如圖所示，該傘的傘沿是一個半徑為1的圓，圓心到傘柄底端的距離為1，陽光照射油紙傘在地面上形成了一個橢圓形的影子(春分時，該市的陽光照射方向與地面的夾角為60°)，若傘柄底端正好位于該橢圓的左焦點(diǎn)位置，則題型三②③如圖，A，B分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，F(xiàn)1是橢圓的左焦點(diǎn)，BC是圓的直徑，D為圓的圓心.高考對圓錐曲線的考查，經(jīng)常出現(xiàn)一些與其他知識交匯的題目，如與平面向量交匯、與三角函數(shù)交匯、與不等式交匯、與導(dǎo)數(shù)交匯等等，這些問題的實(shí)質(zhì)是圓錐曲線問題，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的應(yīng)用性.思維升華跟蹤訓(xùn)練4

(2022·福州質(zhì)檢)如圖為陜西博物館收藏的國寶——唐·金筐寶鈿團(tuán)花紋金杯，杯身曲線內(nèi)收，巧奪天工，是唐代金銀細(xì)作的典范.C.存在一點(diǎn)，使過該點(diǎn)的任意直線與雙曲線C有兩個交點(diǎn)D.存在無數(shù)個點(diǎn)，使它與D，E兩點(diǎn)的連線的斜率之積為3√對于C，由雙曲線的性質(zhì)可知，漸近線與雙曲線沒有交點(diǎn)，與漸近線平行的直線與雙曲線有一個交點(diǎn)，故不存在點(diǎn)，使過該點(diǎn)的任意直線與雙曲線C有兩個交點(diǎn)，故C錯誤；即存在無數(shù)個點(diǎn)，使它與D，E兩點(diǎn)的連線的斜率之積為3，故D正確.課時精練12345678√12345678∴點(diǎn)M的軌跡是以F1F2為直徑的圓，其半徑r＝c，依題意，該圓總在橢圓內(nèi)部，∴c<b，即c2<b2＝a2－c2，12345678√12345678如圖，由對稱性知MN與F1F2互相平分，∴四邊形MF2NF1為平行四邊形，∵F2為MM′的中點(diǎn)，且|MN|＝|M′N|，∴NF2⊥MF2，∴MF2NF1為矩形，∴

＝4a2，123456783.已知雙曲線C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，其中一個焦點(diǎn)為F(－2,0)，過F的直線l與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為N(－3，－1)，則C的離心率為12345678√12345678由F，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)得直線l的斜率k＝1.∵雙曲線一個焦點(diǎn)為(－2,0)，∴c＝2.12345678即a2＝3b2，易得a2＝3，b2＝1，c2＝4，123456784.已知F是拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F作兩條相互垂直的直線l1，l2，直線l1與C相交于A，B兩點(diǎn)，直線l2與C相交于D，E兩點(diǎn)，則|AB|＋|DE|的最小值為A.16 B.14 C.12 D.10√123456781234567812345678√1234567812345678又MF2∥OP，O為F1F2的中點(diǎn)，所以P為MF1的中點(diǎn)，12345678√1234567812345678123456787.直線l過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F(1,0)且與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則|AF|－

的最小值為________.12345678所以拋物線的方程為y2＝4x，若直線l與x軸重合，則該直線與拋物線只有一個交點(diǎn)，不符合題意；設(shè)直線l的方程為x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2).123456781234567812345678123456788.(2023·蘇州模擬)如圖，一個酒杯的內(nèi)壁的軸截面是拋物線的一部分，杯口寬

，杯深8cm，稱為拋物線酒杯.(1)在杯口放一個表面積為36πcm2的玻璃球，則球面上的點(diǎn)到杯底的最小距離為__cm；(2)在杯內(nèi)放入一個小的玻璃球，要使球觸及酒杯底部，則玻璃球的半徑的取值范圍為______(單位：cm).612345678所以|DE|＝2，又因為杯深8cm，即|OD|＝8，故最小距離為|OD|－|DE|＝6，圖1