2023年湖南省衡陽市中考數(shù)學(xué)試卷

2023年湖南省衡陽市中考數(shù)學(xué)試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．中國是最早采用正負(fù)數(shù)表示相反意義的量、并進行負(fù)數(shù)運算的國家．若收入500元記作元，則支出237元記作（

）A．元 B．元 C．0元 D．元2．下列長度的各組線段能組成一個三角形的是（

）A． B． C． D．3．下面四種化學(xué)儀器的示意圖是軸對稱圖形的是（

）A． B． C． D．

4．作為中國非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一的紫砂壺，成型工藝特別，造型式樣豐富，陶器色澤古樸典雅，從一個方面鮮明地反映了中華民族造型審美意識．如圖是一把做工精湛的紫砂壺“景舟石瓢”，下面四幅圖是從左面看到的圖形的是（

）A． B． C． D．5．計算的結(jié)果正確的是（

）A． B． C． D．6．據(jù)共青團中央2023年5月3日發(fā)布的中國共青團團內(nèi)統(tǒng)計公報，截至2022年12月底，全國共有共青團員7358萬．?dāng)?shù)據(jù)7358萬用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A． B． C． D．7．對于二次根式的乘法運算，一般地，有．該運算法則成立的條件是（

）A． B． C． D．8．如圖，在四邊形ABCD中，BC∥AD，添加下列條件，不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．AB＝CD B．AB∥CD C．∠A＝∠C D．BC＝AD9．《孫子算經(jīng)》中有“雞兔同籠”問題：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何．”設(shè)有x只雞，y只兔．依題意，可列方程組為（

）A． B． C． D．10．某射擊運動隊進行了五次射擊測試，甲、乙兩名選手的測試成績?nèi)缦卤恚?、乙兩名選手成績的方差分別記為和，則與的大小關(guān)系是（

）測試次數(shù)12345甲510938乙86867A． B． C． D．無法確定11．我們可以用以下推理來證明“在一個三角形中，至少有一個內(nèi)角小于或等于”．假設(shè)三角形沒有一個內(nèi)角小于或等于，即三個內(nèi)角都大于．則三角形的三個內(nèi)角的和大于，這與“三角形的內(nèi)角和等于”這個定理矛盾．所以在一個三角形中，至少有一個內(nèi)角小于或等于．上述推理使用的證明方法是（

）A．反證法 B．比較法 C．綜合法 D．分析法12．已知，若關(guān)于x的方程的解為．關(guān)于x的方程的解為．則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．二、填空題13．在平面直角坐標(biāo)系中，點所在象限是第________象限．14．一個布袋中放著3個紅球和9個黑球，這兩種球除了顏色以外沒有任何其他區(qū)別．布袋中的球已經(jīng)攪勻．從布袋中任取1個球，取出紅球的概率是________．15．已知，則代數(shù)式的值為________．16．已知關(guān)于x的方程的一個根是，則它的另一個根是________．17．如圖，在中，．以點C為圓心，r為半徑作圓，當(dāng)所作的圓與斜邊所在的直線相切時，r的值為________．18．如圖，用若干個全等的正五邊形排成圓環(huán)狀，圖中所示的是其中3個正五邊形的位置．要完成這一圓環(huán)排列，共需要正五邊形的個數(shù)是________個．

三、解答題19．計算：20．解不等式組：21．2023年3月27日是第28個全國中小學(xué)生安全教育日，為提高學(xué)生安全防范意識和自我防護能力，某學(xué)校舉行了校園安全知識競賽活動．現(xiàn)從八、九年級中各隨機抽取15名學(xué)生的競賽成績（百分制）進行整理、描述和分析（成績得分用x表示，80分及以上為優(yōu)秀，共分成四組，A：；B：；C：；D：），并給出下面部分信息：八年級抽取的學(xué)生競賽成績在C組中的數(shù)據(jù)為：84，84，88．九年級抽取的學(xué)生競賽成績?yōu)椋?8，77，75，100，80，100，82，86，95，91，100，86，84，94，87．八、九年級抽取的學(xué)生競賽成績統(tǒng)計表年級平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)優(yōu)秀率八87a98九8786bc根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)填空：________，________，________．(2)該校八、九年級共500人參加了此次競賽活動，請你估計該校八、九年級參加此次競賽活動成績達(dá)到90分及以上的學(xué)生人數(shù)．22．如圖，正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于點A．

(1)求點A的坐標(biāo)．(2)分別以點O、A為圓心，大于一半的長為半徑作圓弧，兩弧相交于點B和點C，作直線，交x軸于點D．求線段的長．23．隨著科技的發(fā)展，無人機已廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)生活，如代替人們在高空測量距離和高度．圓圓要測量教學(xué)樓的高度，借助無人機設(shè)計了如下測量方案：如圖，圓圓在離教學(xué)樓底部米的C處，遙控?zé)o人機旋停在點C的正上方的點D處，測得教學(xué)樓的頂部B處的俯角為，長為米．已知目高為米．

(1)求教學(xué)樓的高度．(2)若無人機保持現(xiàn)有高度沿平行于的方向，以米/秒的速度繼續(xù)向前勻速飛行，求經(jīng)過多少秒時，無人機剛好離開圓圓的視線．24．如圖，是的直徑，是一條弦，D是的中點，于點E，交于點F，交于點H，交于點G．

(1)求證：．(2)若，求的半徑．25．（1）[問題探究]如圖1，在正方形中，對角線相交于點O．在線段上任取一點P（端點除外），連接．

①求證：；②將線段繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，使點D落在的延長線上的點Q處．當(dāng)點P在線段上的位置發(fā)生變化時，的大小是否發(fā)生變化？請說明理由；③探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（2）[遷移探究]如圖2，將正方形換成菱形，且，其他條件不變．試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

26．如圖，已知拋物線與x軸交于點和點B，與y軸交于點C，連接，過B、C兩點作直線．

(1)求a的值．(2)將直線向下平移個單位長度，交拋物線于、兩點．在直線上方的拋物線上是否存在定點D，無論m取何值時，都是點D到直線的距離最大，若存在，請求出點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．(3)拋物線上是否存在點P，使，若存在，請求出直線的解析式；若不存在，請說明理由．

2023年湖南省衡陽市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案：1．B【分析】根據(jù)相反意義的量的意義解答即可．【詳解】∵收入500元記作元，∴支出237元記作元，故選B．【點睛】本題考查了相反意義的量，正確理解定義是解題的關(guān)鍵．2．D【分析】根據(jù)兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊判斷即可．【詳解】A.，不符合題意；B.，不符合題意；C.，不符合題意；

D.，符合題意，故選D．【點睛】本題考查了是否構(gòu)成三角形，熟練掌握三角形兩邊之和大于第三邊是解題的關(guān)鍵．3．C【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．【詳解】解：A．不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；B．不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；C．是軸對稱圖形，故本選項合題意；D．不是軸對稱圖形，故本選項不合題意．故選：C．【點睛】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．4．B【分析】根據(jù)左視圖定義從左向右看得到的圖形，從左面看看到壺嘴，畫的全身，看不見弧把手，對各選項進行分析判斷即可．【詳解】A.是從上向下看得到的圖形為俯視圖，故選項A不合題意；B.是從左向右看得到的圖形為左視圖，故選項B符合題意；C.是從下往上看得到的圖形是仰視圖，故選項C不合題意；D.是從前往后看得到的圖形是主視圖，故選項D不合題意．故選擇B．【點睛】本題考查物體的三視圖，掌握三視圖的定義是解題關(guān)鍵．5．B【分析】運用積的乘方法則、冪的乘方法則即可得出結(jié)果．【詳解】解：，故選：B．【點睛】本題考查了積的乘方法則、冪的乘方法則，熟練運用積的乘方法則、冪的乘方法則是解題的關(guān)鍵．6．A【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時，要看把原數(shù)變成時，小數(shù)點移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值時，是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值時，是負(fù)數(shù)．據(jù)此可得出結(jié)果．【詳解】7358萬，故選：A．【點睛】此題主要考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．正確確定的值以及的值是本題的關(guān)鍵．7．D【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件得出不等式組，再解不等式組即可得出結(jié)果．【詳解】解：根據(jù)二次根式有意義的條件，得，，故選：D．【點睛】二次根式有意義的條件，及解不等式組，掌握二次根式有意義的條件是被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)是本題的關(guān)鍵．8．A【分析】依據(jù)平行四邊形的判定，依次分析判斷即可得出結(jié)果．【詳解】解：A、當(dāng)BC∥AD，AB＝CD時，不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項符合題意；B、當(dāng)AB∥CD，BC∥AD時，依據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項不合題意；C、當(dāng)BC∥AD，∠A＝∠C時，可推出AB∥DC，依據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項不合題意；D、當(dāng)BC∥AD，BC＝AD時，依據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項不合題意；故選：A．【點睛】此題考查了平行四邊形的判定，解決問題的關(guān)鍵要熟記平行四邊形的判定方法．9．C【分析】根據(jù)等量關(guān)系“雞的只數(shù)兔的只數(shù)”和“2雞的只數(shù)兔的只數(shù)”即可列出方程組．【詳解】解：設(shè)有x只雞，y只兔，由題意可得：，故選：C．【點睛】本題主要考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是找出等量關(guān)系．10．A【分析】先分別求出甲、乙的平均數(shù)，再求出甲、乙的方差即可得出答案．【詳解】解：甲的平均數(shù)為，甲的方差為，乙的平均數(shù)為，乙的方差為，∵，∴．故選：A．【點睛】此題主要考查了平均數(shù)及方差的知識．方差的定義：一般地設(shè)n個數(shù)據(jù)，，，…的平均數(shù)為，則方差，它反映了一組數(shù)據(jù)的波動大小，方差越大，波動性越大，反之也成立．11．A【分析】根據(jù)反證法的步驟分析判斷，即可解答．【詳解】解：假設(shè)三角形沒有一個內(nèi)角小于或等于，即三個內(nèi)角都大于．則三角形的三個內(nèi)角的和大于，這與“三角形的內(nèi)角和等于”這個定理矛盾．所以在一個三角形中，至少有一個內(nèi)角小于或等于．以上步驟符合反證法的步驟．故推理使用的證明方法是反證法．故選：A．【點睛】本題考查了反證法，解答此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟．反證法的步驟是：（1）假設(shè)結(jié)論不成立；（2）從假設(shè)出發(fā)推出矛盾；（3）假設(shè)不成立，則結(jié)論成立．12．B【分析】把看做是直線與拋物線交點的橫坐標(biāo)，把看做是直線與拋物線交點的橫坐標(biāo)，畫出對應(yīng)的函數(shù)圖象即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，設(shè)直線與拋物線交于A、B兩點，直線與拋物線交于C、D兩點，∵，關(guān)于x的方程的解為，關(guān)于x的方程的解為，∴分別是A、B、C、D的橫坐標(biāo)，∴，故選B．

【點睛】本題主要考查了拋物線與一元二次方程的關(guān)系，正確把一元二次方程的解轉(zhuǎn)換成直線與拋物線交點的橫坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．13．三【分析】根據(jù)各象限內(nèi)點的坐標(biāo)特征解答．【詳解】解：的橫坐標(biāo)為負(fù)數(shù)，縱坐標(biāo)為負(fù)數(shù)，在第三象限，故答案為：三．【點睛】本題考查了各象限內(nèi)點的坐標(biāo)的符號特征，記住各象限內(nèi)點的坐標(biāo)的符號是解題的關(guān)鍵，四個象限的符號特點分別是：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．14．【分析】根據(jù)公式計算即可．【詳解】∵一個布袋中放著3個紅球和9個黑球，∴取出紅球的概率是，故答案為：．【點睛】本題考查了根據(jù)概率公式計算概率，熟練掌握公式是解題的關(guān)鍵．15．【分析】先通分，再根據(jù)同分母分式的減法運算法則計算，然后代入數(shù)值即可．【詳解】解：原式=故答案為：【點睛】本題主要考查了分式通分計算的能力，解決本題的關(guān)鍵突破口是通分整理．16．5【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，根據(jù)該方程一個根為，即可求出另一個根．【詳解】解：根據(jù)題意可得：，∴，∵該方程一個根為，令，∴，解得：．故答案為：5．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程有兩根為，，則，．17．【分析】根據(jù)勾股定理，得，根據(jù)切線的性質(zhì)，得到圓的半徑等于邊上的高，根據(jù)直角三角形的面積不變性計算即可．【詳解】∵，∴，根據(jù)切線的性質(zhì)，得到圓的半徑等于邊上的高，∴,∴，故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理，切線的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理，切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．10【分析】先求出正五邊形的外角為，則，進而得出，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意可得：∵正五邊形的一個外角，∴，∴，∴共需要正五邊形的個數(shù)（個），故答案為：10．

【點睛】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，正多邊形的外角，解題的關(guān)鍵是掌握正多邊形的外角的求法．19．【分析】根據(jù)求一個數(shù)的絕對值，二次根式的性質(zhì)，有理數(shù)的乘法進行計算即可求解．【詳解】解：【點睛】本題考查了實數(shù)的混合運算，熟練掌握求一個數(shù)的絕對值，二次根式的性質(zhì)，有理數(shù)的乘法是解題的關(guān)鍵．20．【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．【詳解】解：解不等式①得：解不等式②得：∴不等式組的解集為：【點睛】本題考查了解一元一次不等式組，正確掌握一元一次不等式解集確定方法是解題的關(guān)鍵．21．(1)84，100，；(2)200人【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)的定義得出a為第七名學(xué)生和第八名學(xué)生成績的平均數(shù)；找出抽取的九年級學(xué)生的競賽成績中出現(xiàn)次數(shù)最多的分?jǐn)?shù)，即可求出b；用抽取的九年級學(xué)生的競賽成績中80分以上的個數(shù)除以15，即可求出c；（2）用500人乘以抽取的八、九年級學(xué)生競賽成績中90分以上的人數(shù)所占百分比，即可求解．【詳解】（1）解：由頻數(shù)分布直方圖可知：第七名學(xué)生和第八名學(xué)生在C組，∵一共抽取八年級學(xué)生15人，∴a為第七名學(xué)生和第八名學(xué)生成績的平均數(shù)，即；∵抽取的九年級學(xué)生競賽成績中，100分出現(xiàn)了3次，出現(xiàn)次數(shù)最多，∴，∵抽取的九年級學(xué)生競賽成績中，80分及以上的有12個，∴；故答案為：84，100，；（2）解：根據(jù)頻數(shù)分布直方圖可得，抽取的八年級學(xué)生競賽成績中，90分以上的有6個；根據(jù)抽取的九年級學(xué)生的競賽成績可得，90分以上的有6個；∴該校八、九年級參加此次競賽活動成績達(dá)到90分及以上的學(xué)生人數(shù)為：（人），答：該校八、九年級參加此次競賽活動成績達(dá)到90分及以上的學(xué)生人數(shù)為200人．【點睛】本題主要考查了頻數(shù)分布直方圖，中位數(shù)，眾數(shù)，頻率，以及用樣本估計總體，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識點，并靈活運用，正確從統(tǒng)計圖中獲取需要數(shù)據(jù)．22．(1)(2)【分析】（1）解兩個函數(shù)聯(lián)立組成的方程組即可；（2）由題意可得：垂直平分，連接，如圖，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，設(shè)，根據(jù)兩點間的距離建立方程，解方程即可求出答案．【詳解】（1）解：解方程組，得，∵，∴；（2）解：由題意可得：垂直平分，連接，如圖，則，設(shè)，則，解得，∴．

【點睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點、線段垂直平分線的尺規(guī)作圖和性質(zhì)以及兩點間的距離等知識，熟練掌握上述知識是解題的關(guān)鍵．23．(1)教學(xué)樓的高度為米(2)無人機剛好離開視線的時間為12秒【分析】（1）過點B作于點G，根據(jù)題意可得：，米，，通過證明四邊形為矩形，得出米，進而得出米，最后根據(jù)線段之間的和差關(guān)系可得，即可求解；（2）連接并延長，交于點H，先求出米，進而得出，則，則米，即可求解．【詳解】（1）解：過點B作于點G，根據(jù)題意可得：，米，，∵，，，∴四邊形為矩形，∴米，∵，，∴，∴，∴米，∵長為米，∴（米），答：教學(xué)樓的高度為米．（2）解：連接并延長，交于點H，∵米，米，∴米，∵米，，∴，∴，米，∴（米），∵無人機以米/秒的速度飛行，∴離開視線的時間為：（秒），答：無人機剛好離開視線的時間為12秒．

【點睛】本題主要考查了解直角三角形的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確畫出輔助線，構(gòu)造直角三角形，熟練掌握解直角三角形的方法和步驟．24．(1)見解析(2)5【分析】（1）根據(jù)D是的中點，于點E，得到,得到即可得證．（2）根據(jù)，設(shè)，運用勾股定理，得到，結(jié)合，得到，運用勾股定理，得到，從而得到，在中，實施勾股定理計算x即可．【詳解】（1）∵D是的中點，∴，∵，是的直徑，∴，∴，∴，∴．（2）∵，是的直徑，∴，∵，設(shè)，∴，∵，∴，∴，∴，在中，，∴，解得，∴，∴的半徑為5．【點睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，圓周角定理，正弦函數(shù)，熟練掌握垂徑定理，勾股定理，圓周角定理，正弦函數(shù)是解題的關(guān)鍵．25．（1）①見解析；②不變化，，理由見解析；③，理由見解析；（2），理由見解析【分析】（1）①根據(jù)正方形的性質(zhì)證明，即可得到結(jié)論；②作，垂足分別為點M、N，如圖，可得，證明四邊形是矩形，推出，證明，得出，進而可得結(jié)論；③作交于點E，作于點F，如圖，證明，即可得出結(jié)論；（2）先證明，作交于點E，交于點G，如圖，則四邊形是平行四邊形，可得，都是等邊三角形，進一步即可證得結(jié)論．【詳解】（1）①證明：∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，∴；②的大小不發(fā)生變化，；證明：作，垂足分別為點M、N，如圖，

∵四邊形是正方形，∴，，∴四邊形是矩形，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，即；③；證明：作交于點E，作于點F，如圖，

∵四邊形是正方形，∴，，∴，四邊形是矩形，∴，∴，∵，，∴，作于點M，則，∴，∵，∴，∴；（2）