中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)題型專練（浙江專用）專題15 PISA類實(shí)際應(yīng)用問題（解析版）

題型十五PISA類實(shí)際應(yīng)用問題【要點(diǎn)提煉】什么是PISA試題：PISA測試的重點(diǎn)時(shí)看學(xué)生全面參與社會的知識與技能，對學(xué)生閱讀、數(shù)學(xué)和科學(xué)能力的考察并不限于書本知識，還包括成年人生活中需要的知識與技能。而在數(shù)學(xué)中考中，PISA類試題?？疾鞄缀巫儞Q，如平移、對稱、折疊、旋轉(zhuǎn)等，需要注意的是，雖然這些問題中圖形都是在變化的，但是以不變應(yīng)萬變才是真理！即不論是如何運(yùn)動和變化，都需要找出題目中永遠(yuǎn)不變的量，那就是解題的關(guān)鍵！【專題訓(xùn)練】一．填空題（共7小題）1．圖1是一個(gè)閉合時(shí)的夾子，圖2是該夾子的主視示意圖，夾子兩邊為AC，BD（點(diǎn)A與點(diǎn)B重合），點(diǎn)O是夾子轉(zhuǎn)軸位置，OE⊥AC于點(diǎn)E，OF⊥BD于點(diǎn)F，OE＝OF＝1cm，AC＝BD＝6cm，CE＝DF，CE：AE＝2：3．按圖示方式用手指按夾子，夾子兩邊繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動．（1）當(dāng)E，F(xiàn)兩點(diǎn)的距離最大時(shí)，以點(diǎn)A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形的周長是16cm．（2）當(dāng)夾子的開口最大（即點(diǎn)C與點(diǎn)D重合）時(shí)，A，B兩點(diǎn)的距離為6013cm【答案】16；60【解答】解：（1）當(dāng)E，F(xiàn)兩點(diǎn)的距離最大時(shí)，E，O，F(xiàn)共線，此時(shí)四邊形ABCD是矩形，∵OE＝OF＝1cm，∴EF＝2cm，∴AB＝CD＝2cm，∴此時(shí)四邊形ABCD的周長為2+2+6+6＝16（cm），故答案為16．（2）如圖3中，連接EF交OC于H．由題意CE＝CF=25×6=∵OE＝OF＝1cm，∴CO垂直平分線段EF，∵OC=CE2∵12?OE?EC=12?CO∴EH=1×125∴EF＝2EH=2413（∵EF∥AB，∴EFAB∴AB=52×故答案為60132．圖2，圖3是某公共汽車雙開門的俯視示意圖，ME、EF、FN是門軸的滑動軌道，∠E＝∠F＝90°，兩門AB、CD的門軸A、B、C、D都在滑動軌道上，兩門關(guān)閉時(shí)（圖2），A、D分別在E、F處，門縫忽略不計(jì)（即B、C重合）；兩門同時(shí)開啟，A、D分別沿E→M，F(xiàn)→N的方向勻速滑動，帶動B、C滑動：B到達(dá)E時(shí)，C恰好到達(dá)F，此時(shí)兩門完全開啟，已知AB＝50cm，CD＝40cm．（1）如圖3，當(dāng)∠ABE＝30°時(shí)，BC＝90﹣453cm．（2）在（1）的基礎(chǔ)上，當(dāng)A向M方向繼續(xù)滑動15cm時(shí)，四邊形ABCD的面積為2256cm2．【答案】90﹣453；2256【解析】解：∵A、D分別在E、F處，門縫忽略不計(jì)（即B、C重合）且AB＝50cm，CD＝40cm．∴EF＝50+40＝90cm∵B到達(dá)E時(shí)，C恰好到達(dá)F，此時(shí)兩門完全開啟，∴B、C兩點(diǎn)的路程之比為5：4（1）當(dāng)∠ABE＝30°時(shí)，在Rt△ABE中，BE=32AB＝253∴B運(yùn)動的路程為（50﹣253）cm∵B、C兩點(diǎn)的路程之比為5：4∴此時(shí)點(diǎn)C運(yùn)動的路程為（50﹣253）×45=（40﹣20∴BC＝（50﹣253）+（40﹣203）＝（90﹣453）cm故答案為：90﹣453；（2）當(dāng)A向M方向繼續(xù)滑動15cm時(shí)，設(shè)此時(shí)點(diǎn)A運(yùn)動到了點(diǎn)A'處，點(diǎn)B、C、D分別運(yùn)動到了點(diǎn)B'、C'、D'處，連接A'D'，如圖：則此時(shí)AA'＝15cm∴A'E＝15+25＝40cm由勾股定理得：EB'＝30cm，∴B運(yùn)動的路程為50﹣30＝20cm∴C運(yùn)動的路程為16cm∴C'F＝40﹣16＝24cm由勾股定理得：D'F＝32cm，∴四邊形A'B'C'D'的面積＝梯形A'EFD'的面積﹣△A'EB'的面積﹣△D'FC'的面積=12×90×(40+32)?12×∴四邊形ABCD的面積為2256cm2．故答案為：2256．3．如圖1是小明制作的一副弓箭，點(diǎn)A，D分別是弓臂BAC與弓弦BC的中點(diǎn)，弓弦BC＝60cm．沿AD方向拉動弓弦的過程中，假設(shè)弓臂BAC始終保持圓弧形，弓弦不伸長．如圖2，當(dāng)弓箭從自然狀態(tài)的點(diǎn)D拉到點(diǎn)D1時(shí)，有AD1＝30cm，∠B1D1C1＝120°．（1）圖2中，弓臂兩端B1，C1的距離為303cm．（2）如圖3，將弓箭繼續(xù)拉到點(diǎn)D2，使弓臂B2AC2為半圓，則D1D2的長為105?10cm【答案】303，105?【解析】解：（1）如圖2中，連接B1C1交DD1于H．∵D1A＝D1B1＝30∴D1是B1∵AD1⊥B1C1，∴B1H＝C1H＝30×sin60°＝153，∴B1C1＝303∴弓臂兩端B1，C1的距離為303（2）如圖3中，連接B1C1交DD1于H，連接B2C2交DD2于G．設(shè)半圓的半徑為r，則πr=120?π?30∴r＝20，∴AG＝GB2＝20，GD1＝30﹣20＝10，在Rt△GB2D2中，GD2=30∴D1D2＝105?故答案為303，105?4．圖1是一張可以折疊的小床展開后支撐起來放在地面的示意圖，此時(shí)點(diǎn)A、B、C在同一直線上，且∠ACD＝90°，圖2是小床支撐腳CD折疊的示意圖，在折疊過程中，△ACD變形為四邊形ABC′D′，最后折疊形成一條線段BD″．（1）小床這樣設(shè)計(jì)應(yīng)用的數(shù)學(xué)原理是三角形具有穩(wěn)定性．（2）若AB：BC＝1：4，則tan∠CAD的值是815【答案】（1）三角形具有穩(wěn)定性（2）8【解答】解：（1）小床這樣設(shè)計(jì)應(yīng)用的數(shù)學(xué)原理是：三角形具有穩(wěn)定性；故答案為：三角形具有穩(wěn)定性；（2）∵AB：BC＝1：4，∴設(shè)AB＝x，DC＝y(tǒng)，則BC＝4x，C″D″＝y(tǒng)，由圖形可得：BC″＝4x，則AC″＝3x，AD＝AD″＝3x+y，故AC2+DC2＝AD2，即（5x）2+y2＝（3x+y）2，解得：y=83則tan∠CAD的值是：DCAC故答案為：8155．如圖是一個(gè)海綿拖把，圖1、圖2是它的示意圖，現(xiàn)用線段BC表示拉手柄，線段DE表示海綿頭，其工作原理是：當(dāng)拉動BC時(shí)線段OA能繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)（設(shè)定轉(zhuǎn)角∠AOQ大于等于0°且小于等于180°），同時(shí)帶動連桿AQ拉著DE向上移動．圖1表示拖把的初始位置（點(diǎn)O、A、Q三點(diǎn)共線，P、Q重合），此時(shí)OQ＝45cm，圖2表示拉動過程中的一種狀態(tài)圖，若DE可提升的最大距離PQ＝10cm．（1）請計(jì)算：OA＝5cm；AQ＝40cm．（2）當(dāng)sin∠OQA=110時(shí)，則PQ＝42?1211或48﹣1211【答案】（1）5；40（2）42﹣1211或48﹣1211【解析】解：（1）由題意OA=12×10＝5cm，AQ＝45﹣5＝40故答案為5，40．（2）當(dāng)∠OAQ是鈍角時(shí)，如圖1中，作AH⊥PQ于H．在Rt△AHQ中，∵sin∠AQH=AHAQ=∴AH＝4，∴QH=AQ2在Rt△QOH中，OH=O∴OQ＝3+1211，∴PQ＝45﹣（3+1211）＝（42﹣1211）（cm），當(dāng)∠OAQ是銳角時(shí)，如圖2中，作AH⊥OP交PO的延長線于H．同法可得：OQ＝1211?∴PQ＝45﹣（1211?3）＝（48﹣1211）（cm故答案為：42﹣1211或48﹣1211．6．如圖所示是裝有三個(gè)小輪的手拉車在“爬”樓梯時(shí)的側(cè)面示意圖，定長的輪架桿OA，OB，OC抽象為線段，有OA＝OB＝OC，且∠AOB＝120°．折線NG﹣GH﹣HE﹣EF表示樓梯，GH，EF是水平線，NG，HE是鉛垂線，半徑相等的小輪子⊙A，⊙B與樓梯兩邊都相切，且AO∥GH．如圖2，若點(diǎn)H在線段OB時(shí)，則BHOH的值是3【答案】3【解析】解：如圖，作OK⊥GH，BT⊥HE垂足分別為K、T，設(shè)圓的半徑都是r，在Rt△OKH中，∵∠OKH＝90°，OK＝r，∠OHK＝180°﹣∠AOB＝60°，∴cos60°=OK∴OH=23在Rt△HTB中，∵∠HTB＝90°，BT＝r，∠THB＝30°，∴BH＝2BT＝2r，∴BHOH故答案為3．7．如圖1為伸縮衣架，因其便捷性，在生活中應(yīng)用廣泛，該衣架由4根長為26cm的矩形木條和4根長為14cm的矩形木條組成，木條寬度都為2cm，圖2是它收縮時(shí)的狀態(tài)，圓形掛鉤⊙A，⊙B，⊙C，⊙D，⊙G，⊙H，⊙I，⊙J與它所在矩形三邊相切，⊙E，⊙F與它所在矩形兩邊相切，圓心表示兩根木條的鏈接點(diǎn)，點(diǎn)E是線段BH，AI的中點(diǎn)，點(diǎn)F是線段BJ，CI的中點(diǎn)．（1）這種衣架能伸縮，依據(jù)的數(shù)學(xué)原理是四邊形的不穩(wěn)定性．（2）當(dāng)這個(gè)伸縮衣架拉伸到最長時(shí)，DG＝72cm．【答案】（1）四邊形的不穩(wěn)定性（2）72【解析】解：（1）這種衣架能伸縮，依據(jù)的數(shù)學(xué)原理是：四邊形的不穩(wěn)定性，故答案為：四邊形的不穩(wěn)定性；（2）由題意可知，∵木條寬度都為2cm，圖2是它收縮時(shí)的狀態(tài)，圓形掛鉤⊙A，⊙B，⊙C，⊙D，⊙G，⊙H，⊙I，⊙J與它所在矩形三邊相切，∴⊙A，⊙B，⊙C，⊙D，⊙G，⊙H，⊙I，⊙J的半徑都為1，當(dāng)A與H，B與I，C與J重合時(shí)，其重合點(diǎn)在DG上，DG最長，其長為：DG＝DA+AI+IC+CG═（14﹣2）+（26﹣2）+（26﹣2）+（14﹣2）＝72（cm），故答案為：72．二．解答題（共3小題）8．一扇窗戶如圖1所示，窗框和窗扇用“滑塊鉸鏈”連接，如圖2是圖1中“滑塊鉸鏈”的平面示意圖，滑軌MN安裝在窗框上，托懸臂DE安裝在窗扇上，支點(diǎn)A處裝有滑塊，滑塊可以左右滑動，支點(diǎn)B，C，D在一條直線上，延長DE交MN于點(diǎn)F．已知AC＝DE＝20cm，AE＝CD＝10cm，BD＝40cm．（1）當(dāng)∠CAB＝35°時(shí)，求窗扇與窗框的夾角∠DFB的度數(shù)．（2）當(dāng)窗扇關(guān)閉時(shí)，圖中點(diǎn)E，A，D，C，B都在滑軌MN上，求此時(shí)點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離．（3）在（2）的前提下，將窗戶推開至四邊形ACDE為矩形時(shí)，求點(diǎn)A處的滑塊移動的距離．【答案】（1）35°（2）50cm（3）（50﹣1013）cm【解析】解：（1）∵AC＝DE＝20cm，AE＝CD＝10cm，∴四邊形DEAC是平行四邊形，∴DF∥AC，∴∠DFB＝∠CAB＝35°．（2）由題意AB＝AC+BC＝20+30＝50（cm），（3）當(dāng)四邊形DEAC是矩形時(shí)，AB=AC2+BC∴點(diǎn)A處的滑塊移動的距離＝（50﹣1013）cm．9．如圖①是一張可折疊的海綿床的示意圖，這是展開后支撐起來放在地面上的情況．如果折疊起來，床頭部分被折到了床面之下（這里的A、B、C、D各點(diǎn)都是活動的，BC段和EF段都視為床頭部分），其折疊過程可由圖②的變化過程反映出來．經(jīng)測量四邊形ABCD中，AB＝6cm，CD＝15cm，當(dāng)床水平支撐在地面時(shí)△ADC周長為90cm．（1）活動床頭的固定與折疊的設(shè)計(jì)依據(jù)是三角形的穩(wěn)定性與四邊形的不穩(wěn)定性（請?zhí)顚懴鄳?yīng)的數(shù)學(xué)原理）（2）BC、AD各取多長時(shí)，才能實(shí)現(xiàn)上述的折疊變化？【答案】（1）三角形的穩(wěn)定性與四邊形的不穩(wěn)定性（2）BC＝30，AD＝39【解析】解：（1）活動床頭的固定與折疊的設(shè)計(jì)依據(jù)是三角形的穩(wěn)定性與四邊形的不穩(wěn)定性，故答案為：三角形的穩(wěn)定性與四邊形的不穩(wěn)定性；（2）由圖形可知，AD+AB=CB+CDAD+CD+AC=90即AD+6=BC+15AD+BC=90?6?15解得，AD＝30，BC＝39，答：當(dāng)BC＝30，AD＝39時(shí)，才能實(shí)現(xiàn)上述的折疊變化．10．觀察思考某種在同一平面進(jìn)行傳動的機(jī)械裝置如圖1，圖2是它的示意圖．其工作原理是：滑塊Q在平直滑道l上可以左右滑動，在Q滑動的過程中，連桿PQ也隨之運(yùn)動，并且PQ帶動連桿OP繞固定點(diǎn)O擺動．在擺動過程中，兩連桿的接點(diǎn)P在以O(shè)P為半徑的⊙O上運(yùn)動．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組為進(jìn)一步研究其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識，過點(diǎn)O作OH⊥l于點(diǎn)H，并測得OH＝4分米，PQ＝3分米，OP＝2分米．解決問題（1）點(diǎn)Q與點(diǎn)O間的最小距離是4分米；點(diǎn)Q與點(diǎn)O間的最大距離是5分米；點(diǎn)Q在l上滑到最左端的位置與滑到最右端位置間的距離是6分米．（2）如圖3，小明同學(xué)說：“當(dāng)點(diǎn)Q滑動到點(diǎn)H的位置時(shí)，PQ與⊙O是相切的．”你認(rèn)為他的判斷對嗎？為什么？（3）①小麗同學(xué)發(fā)現(xiàn)：“當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到OH上時(shí)，點(diǎn)P到l的距離最小．”事實(shí)上，還存在著點(diǎn)P到l距離最大的位置，此時(shí)，點(diǎn)P到l的距離是3分米；②當(dāng)OP繞點(diǎn)O左右擺動時(shí)，所掃過的區(qū)域?yàn)樯刃?，求這個(gè)扇形面積最大時(shí)圓心角的度數(shù)．【解析】解：（1）當(dāng)OQ最小時(shí)，Q、H重合，此時(shí)OQ＝OH＝4；當(dāng)O、Q的距離最大時(shí)，O、P、Q三點(diǎn)共線，此時(shí)OQ＝OP+PQ＝5；當(dāng)O、P、Q三點(diǎn)共線時(shí)，在Rt△OQH中，由勾股定理可求得QH＝3，那么點(diǎn)Q在l上的最大滑動距離為2QH＝6．故答案為：4，5，6；（2）不對．∵OP＝2，PQ＝3，OH＝4，∵當(dāng)Q、H重合時(shí)，OQ＝OH＝4，∵42≠32+22，即OQ2≠PQ