北師大版七年級（下冊）數(shù)學(xué)培優(yōu)壓軸題

...wd......wd......wd...北師大版七年級下冊數(shù)學(xué)培優(yōu)壓軸題一．解答題〔共8小題〕1．四邊形ABCD中.AB=BC.∠ABC=120°.∠MBN=60°.∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn).它的兩邊分別交AD.DC〔或它們的延長線〕于E.F．當∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)到AE=CF時〔如圖1〕.易證AE+CF=EF；當∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)到AE≠CF時.在圖2和圖3這兩種情況下.上述結(jié)論是否成立假設(shè)成立.請給予證明；假設(shè)不成立.線段AE.CF.EF又有假設(shè)何的數(shù)量關(guān)系請寫出你的猜想.不需證明．〔1〕如圖.在四邊形ABCD中.AB=AD.∠B=∠D=90°.E、F分別是邊BC、CD上的點.且∠EAF=∠BAD．求證：EF=BE+FD；如圖.在四邊形ABCD中.AB=AD.∠B+∠D=180°.E、F分別是邊BC、CD上的點.且∠EAF=∠BAD.〔1〕中的結(jié)論是否仍然成立〔3〕如圖.在四邊形ABCD中.AB=AD.∠B+∠ADC=180°.E、F分別是邊BC、CD延長線上的點.且∠EAF=∠BAD.〔1〕中的結(jié)論是否仍然成立假設(shè)成立.請證明；假設(shè)不成立.請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系.并證明．3．如圖1.將兩個完全一樣的三角形紙片ABC和DEC重合放置.其中∠C=90°.∠B=∠E=30°．〔1〕操作發(fā)現(xiàn)：如圖2.固定△ABC.使△DEC繞點C旋轉(zhuǎn).當點D恰好落在AB邊上時.填空：①線段DE與AC的位置關(guān)系是；②設(shè)△BDC的面積為S1.△AEC的面積為S2.則S1與S2的數(shù)量關(guān)系是．〔2〕猜想論證：當△DEC繞點C旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時.小明猜想〔1〕中S1與S2的數(shù)量關(guān)系仍然成立.并嘗試分別作出了△BDC和△AEC中BC、CE邊上的高.請你證明小明的猜想．〔3〕拓展探究：∠ABC=60°.點D是角平分線上一點.BD=CD=4.DE∥AB交BC于點E〔如圖4〕．假設(shè)在射線BA上存在點F.使S△DCF=S△BDE.請直接寫出相應(yīng)的BF的長．4．如圖1.線段AB的長為2a.點P是AB上的動點〔P不與A.B重合〕.分別以AP、PB為邊向線段AB的同一側(cè)作正△APC和正△PBD．〔1〕當△APC與△PBD的面積之和取最小值時.AP=；〔直接寫結(jié)果〕〔2〕連接AD、BC.相交于點Q.設(shè)∠AQC=α.那么α的大小是否會隨點P的移動而變化請說明理由；〔3〕如圖2.假設(shè)點P固定.將△PBD繞點P按順時針方向旋轉(zhuǎn)〔旋轉(zhuǎn)角小于180°〕.此時α的大小是否發(fā)生變化〔只需直接寫出你的猜想.不必證明〕5．如圖1.Rt△ABC中AB=AC.點D、E是線段AC上兩動點.且AD=EC.AM垂直BD.垂足為M.AM的延長線交BC于點N.直線BD與直線NE相交于點F．試判斷△DEF的形狀.并加以證明．說明：〔1〕如果你經(jīng)歷反復(fù)探索.沒有找到解決問題的方法.請你把探索過程中的某種思路寫出來〔要求至少寫3步〕；〔2〕在你經(jīng)歷說明〔1〕的過程之后.可以從以下①、②中選取一個補充或者更換條件.完成你的證明．1、畫出將△BAD沿BA方向平移BA長.然后順時針旋轉(zhuǎn)90°后圖形；2、點K在線段BD上.且四邊形AKNC為等腰梯形〔AC∥KN.如圖2〕．附加題：如圖3.假設(shè)點D、E是直線AC上兩動點.其他條件不變.試判斷△DEF的形狀.并說明理由．6．如圖.等邊三角形ABC中.點D.E.F分別為邊AB.AC.BC的中點.M為直線BC上一動點.△DMN為等邊三角形〔點M的位置改變時.△DMN也隨之整體移動〕．〔1〕如圖1.當點M在點B左側(cè)時.請你判斷EN與MF有假設(shè)何的數(shù)量關(guān)系點F是否在直線NE上都請直接寫出結(jié)論.不必證明或說明理由；〔2〕如圖2.當點M在BC上時.其它條件不變.〔1〕的結(jié)論中EN與MF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立假設(shè)成立.請利用圖2證明；假設(shè)不成立.請說明理由；〔3〕假設(shè)點M在點C右側(cè)時.請你在圖3中畫出相應(yīng)的圖形.并判斷〔1〕的結(jié)論中EN與MF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立假設(shè)成立.請直接寫出結(jié)論.不必證明或說明理由．7．：等邊三角形ABC；〔1〕如圖1.P為等邊△ABC外一點.且∠BPC=120°．試猜想線段BP、PC、AP之間的數(shù)量關(guān)系.并證明你的猜想；〔2〕如圖2.P為等邊△ABC內(nèi)一點.且∠APD=120°．求證：PA+PD+PC＞BD．8．認真閱讀材料.然后答復(fù)以下問題：我們初中學(xué)習(xí)了多項式的運算法則.相應(yīng)的.我們可以計算出多項式的展開式.如：〔a+b〕1=a+b.〔a+b〕2=a2+2ab+b2.〔a+b〕3=〔a+b〕2〔a+b〕=a3+3a2b+3ab2+b3.…下面我們依次對〔a+b〕n展開式的各項系數(shù)進一步研究發(fā)現(xiàn).當n取正整數(shù)時可以單獨列成表中的形式：上面的多項式展開系數(shù)表稱為“楊輝三角形〞；仔細觀察“楊輝三角形〞.用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律答復(fù)以下問題：〔1〕多項式〔a+b〕n的展開式是一個幾次幾項式并預(yù)測第三項的系數(shù)；〔2〕請你預(yù)測一下多項式〔a+b〕n展開式的各項系數(shù)之和．〔3〕結(jié)合上述材料.推斷出多項式〔a+b〕n〔n取正整數(shù)〕的展開式的各項系數(shù)之和為S.〔結(jié)果用含字母n的代數(shù)式表示〕．北師大版七年級下冊數(shù)學(xué)培優(yōu)壓軸題參考答案與試題解析1、【解答】∵AB⊥AD.BC⊥CD.AB=BC.AE=CF.在△ABE和△CBF中..∴△ABE≌△CBF〔SAS〕；∴∠ABE=∠CBF.BE=BF；∵∠ABC=120°.∠MBN=60°.∴∠ABE=∠CBF=30°.∴AE=BE.CF=BF；∵∠MBN=60°.BE=BF.∴△BEF為等邊三角形；∴AE+CF=BE+BF=BE=EF；圖2成立.圖3不成立．證明圖2．延長DC至點K.使CK=AE.連接BK.在△BAE和△BCK中.則△BAE≌△BCK.∴BE=BK.∠ABE=∠KBC.∵∠FBE=60°.∠ABC=120°.∴∠FBC+∠ABE=60°.∴∠FBC+∠KBC=60°.∴∠KBF=∠FBE=60°.在△KBF和△EBF中.∴△KBF≌△EBF.∴KF=EF.∴KC+CF=EF.即AE+CF=EF．圖3不成立.AE、CF、EF的關(guān)系是AE﹣CF=EF．2．【解答】〔1〕延長EB到G.使BG=DF.連接AG．∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°.AB=AD.∴△ABG≌△ADF．∴AG=AF.∠1=∠2．∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．又∵AE=AE.∴△AEG≌△AEF．∴EG=EF．∵EG=BE+BG．∴EF=BE+FD；〔1〕中的結(jié)論EF=BE+FD仍然成立．〔3〕結(jié)論EF=BE+FD不成立.應(yīng)當是EF=BE﹣FD．證明：在BE上截取BG.使BG=DF.連接AG．∵∠B+∠ADC=180°.∠ADF+∠ADC=180°.∴∠B=∠ADF．∵AB=AD.∴△ABG≌△ADF．∴∠BAG=∠DAF.AG=AF．∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．∵AE=AE.∴△AEG≌△AEF．∴EG=EF∵EG=BE﹣BG；∴EF=BE﹣FD．3．【解答】〔1〕①∵△DEC繞點C旋轉(zhuǎn)點D恰好落在AB邊上.∴AC=CD.∵∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°.∴△ACD是等邊三角形.∴∠ACD=60°.又∵∠CDE=∠BAC=60°.∴∠ACD=∠CDE.∴DE∥AC；②∵∠B=30°.∠C=90°.∴CD=AC=AB.∴BD=AD=AC.根據(jù)等邊三角形的性質(zhì).△ACD的邊AC、AD上的高相等.∴△BDC的面積和△AEC的面積相等〔等底等高的三角形的面積相等〕.即S1=S2；故答案為：DE∥AC；S1=S2；〔2〕如圖.∵△DEC是由△ABC繞點C旋轉(zhuǎn)得到.∴BC=CE.AC=CD.∵∠ACN+∠BCN=90°.∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°.∴∠ACN=∠DCM.∵在△ACN和△DCM中..∴△ACN≌△DCM〔AAS〕.∴AN=DM.∴△BDC的面積和△AEC的面積相等〔等底等高的三角形的面積相等〕.即S1=S2；如圖.過點D作DF1∥BE.易求四邊形BEDF1是菱形.所以BE=DF1.且BE、DF1上的高相等.此時S△DCF1=S△BDE；過點D作DF2⊥BD.∵∠ABC=60°.F1D∥BE.∴∠F2F1D=∠ABC=60°.∵BF1=DF1.∠F1BD=∠ABC=30°.∠F2DB=90°.∴∠F1DF2=∠ABC=60°.∴△DF1F2是等邊三角形.∴DF1=DF2.∵BD=CD.∠ABC=60°.點D是角平分線上一點.∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°.∴∠CDF1=180°﹣∠BCD=180°﹣30°=150°.∠CDF2=360°﹣150°﹣60°=150°.∴∠CDF1=∠CDF2.∵在△CDF1和△CDF2中..∴△CDF1≌△CDF2〔SAS〕.∴點F2也是所求的點.∵∠ABC=60°.點D是角平分線上一點.DE∥AB.∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×60°=30°.又∵BD=4.∴BE=×4÷cos30°=2÷=.∴BF1=.BF2=BF1+F1F2=+=.故BF的長為或．4．【解答】〔1〕設(shè)AP的長是x.則BP=2a﹣x.∴S△APC+S△PBD=x?x+〔2a﹣x〕?〔2a﹣x〕=x2﹣ax+a2.當x=﹣=﹣=a時△APC與△PBD的面積之和取最小值.故答案為：a；〔2〕α的大小不會隨點P的移動而變化.理由：∵△APC是等邊三角形.∴PA=PC.∠APC=60°.∵△BDP是等邊三角形.∴PB=PD.∠BPD=60°.∴∠APC=∠BPD.∴∠APD=∠CPB.∴△APD≌△CPB.∴∠PAD=∠PCB.∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°.∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=120°.∴∠AQC=180°﹣120°=60°；〔3〕此時α的大小不會發(fā)生改變.始終等于60°．理由：∵△APC是等邊三角形.∴PA=PC.∠APC=60°.∵△BDP是等邊三角形.∴PB=PD.∠BPD=60°.∴∠APC=∠BPD.∴∠APD=∠CPB.∴△APD≌△CPB.∴∠PAD=∠PCB.∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°.∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=120°.∴∠AQC=180°﹣120°=60°．5．【解答】△DEF是等腰三角形；證明：如圖.過點C作CP⊥AC.交AN延長線于點P∵Rt△ABC中AB=AC；∴∠BAC=90°.∠ACB=45°∴∠PCN=∠ACB.∠BAD=∠ACP；∵AM⊥BD；∴∠ABD+∠BAM=∠BAM+∠CAP=90°；∴∠ABD=∠CAP；∴△BAD≌△ACP；∴AD=CP.∠ADB=∠P；∵AD=CE；∴CE=CP；∵CN=CN；∴△CPN≌△CEN；∴∠P=∠CEN；∴∠CEN=∠ADB；∴∠FDE=∠FED；∴△DEF是等腰三角形．附加題：△DEF為等腰三角形；證明：過點C作CP⊥AC.交AM的延長線于點P∵Rt△ABC中AB=AC；∴∠BAC=90°.∠ACB=45°；∴∠PCN=∠ACB=∠ECN；∵AM⊥BD；∴∠ABD+∠BAM=∠BAM+∠CAP=90°；∴∠ABD=∠CAP；∴△BAD≌△ACP；∴AD=CP.∠D=∠P；∵AD=EC.CE=CP；又∵CN=CN；∴△CPN≌△CEN；∴∠P=∠E；∴∠D=∠E；∴△DEF為等腰三角形．6．【解答】〔1〕判斷：EN與MF相等〔或EN=MF〕.點F在直線NE上.〔2〕成立．連接DF.NF.證明△DBM和△DFN全等〔AAS〕.∵△ABC是等邊三角形.∴AB=AC=BC．又∵D.E.F是三邊的中點.∴EF=DF=BF．∵∠BDM+∠MDF=60°.∠FDN+∠MDF=60°.∴∠BDM=∠FDN.在△DBM和△DFN中..∴△DBM≌△DFN.∴BM=FN.∠DFN=∠FDB=60°.∴NF∥BD.∵E.F分別為邊AC.BC的中點.∴EF是△ABC的中位線.∴EF∥BD.∴F在直線NE上.∵BF=EF.∴MF=EN．〔3〕如圖③.MF與EN相等的結(jié)論仍然成立〔或MF=NE成立〕．連接DF、DE.由〔2〕知DE=DF.∠NDE=∠FDM.DN=DM.在△DNE和△DMF中.；∴△DNE≌△DMF.∴MF=NE．7．【解答】AP=BP+PC.〔1〕證明：延長BP至E.使PE=PC.連接CE.∵∠BPC=120°.∴∠CPE=60°.又PE=PC.∴△CPE為等邊三角形.∴CP=PE=CE.∠PCE=60°.∵△ABC為等邊三角形.∴AC=BC.∠BCA=60°.∴∠ACB=∠PCE.∴∠ACB+∠BCP=∠PCE+∠BCP.即：∠ACP=∠BCE.∴△ACP≌△BCE〔SAS〕.∴AP=BE.∵BE=BP+PE.∴AP=BP+PC．〔2〕證明：在AD外側(cè)作等邊△AB′D.則點P在三角形ADB′