2022屆《創(chuàng)新設(shè)計》數(shù)學(xué)一輪(文科)浙江專用課時作業(yè)-4-1平面向量的概念及線性運算

第四章平面對量第1講平面對量的概念及線性運算基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．把平面上全部的單位向量平移到相同的起點上，那么它們的終點所構(gòu)成的圖形是()A．一條線段 B．一段圓弧C．兩個孤立點 D．一個圓解析由單位向量的定義可知，假如把平面上全部的單位向量平移到相同的起點上，則全部的終點到這個起點的距離都等于1，全部的終點構(gòu)成的圖形是一個圓．答案D2．設(shè)a是非零向量，λ是非零實數(shù)，下列結(jié)論中正確的是()A．a(chǎn)與λa的方向相反 B．a(chǎn)與λ2aC．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|·a解析對于A，當(dāng)λ＞0時，a與λa的方向相同，當(dāng)λ＜0時，a與λa的方向相反，B正確；對于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不確定，故|－λa|與|a|的大小關(guān)系不確定；對于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示長度，兩者不能比較大小．答案B3．設(shè)a，b都是非零向量，下列四個條件中，使eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充分條件是()A．a(chǎn)＝－b B．a(chǎn)∥bC．a(chǎn)＝2b D．a(chǎn)∥b且|a|＝|b|解析eq\f(a,|a|)表示與a同向的單位向量，eq\f(b,|b|)表示與b同向的單位向量，只要a與b同向，就有eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)，觀看選項易知C滿足題意．答案C4．(2022·福州質(zhì)量檢測)在△ABC中，eq\o(AD,\s\up8(→))＝2eq\o(DC,\s\up8(→))，eq\o(BA,\s\up8(→))＝a，eq\o(BD,\s\up8(→))＝b，eq\o(BC,\s\up8(→))＝c，則下列等式成立的是()A．c＝2b－a B．c＝2a－C．c＝eq\f(3a,2)－eq\f(b,2) D．c＝eq\f(3b,2)－eq\f(a,2)解析依題意得eq\o(BD,\s\up8(→))－eq\o(BA,\s\up8(→))＝2(eq\o(BC,\s\up8(→))－eq\o(BD,\s\up8(→)))，eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\f(3,2)eq\o(BD,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up8(→))＝eq\f(3,2)b－eq\f(1,2)a，故選D.答案D5．在△ABC中，M為邊BC上任意一點，N為AM的中點，eq\o(AN,\s\up8(→))＝λeq\o(AB,\s\up8(→))＋μeq\o(AC,\s\up8(→))，則λ＋μ的值為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D．1解析∵M(jìn)為BC上任意一點，∴可設(shè)eq\o(AM,\s\up8(→))＝xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→))(x＋y＝1)．∵N為AM的中點，∴eq\o(AN,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AM,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)xeq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)yeq\o(AC,\s\up8(→))＝λeq\o(AB,\s\up8(→))＋μeq\o(AC,\s\up8(→))，∴λ＋μ＝eq\f(1,2)(x＋y)＝eq\f(1,2).答案A二、填空題6．向量e1，e2不共線，eq\o(AB,\s\up8(→))＝3(e1＋e2)，eq\o(CB,\s\up8(→))＝e2－e1，eq\o(CD,\s\up8(→))＝2e1＋e2，給出下列結(jié)論：①A，B，C共線；②A，B，D共線；③B，C，D共線；④A，C，D共線，其中全部正確結(jié)論的序號為________．解析由eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(CB,\s\up8(→))＝4e1＋2e2＝2eq\o(CD,\s\up8(→))，且eq\o(AB,\s\up8(→))與eq\o(CB,\s\up8(→))不共線，可得A，C，D共線，且B不在此直線上．答案④7．在?ABCD中，eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AD,\s\up8(→))＝b，eq\o(AN,\s\up8(→))＝3eq\o(NC,\s\up8(→))，M為BC的中點，則eq\o(MN,\s\up8(→))＝________(用a，b表示)．解析由eq\o(AN,\s\up8(→))＝3eq\o(NC,\s\up8(→))，得4eq\o(AN,\s\up8(→))＝3eq\o(AC,\s\up8(→))＝3(a＋b)，eq\o(AM,\s\up8(→))＝a＋eq\f(1,2)b，所以eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\f(3,4)(a＋b)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))＝－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b.答案－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b8．設(shè)a，b是兩個不共線向量，eq\o(AB,\s\up8(→))＝2a＋pb，eq\o(BC,\s\up8(→))＝a＋b，eq\o(CD,\s\up8(→))＝a－2b，若A，B，D三點共線，則實數(shù)p的值為________．解析∵eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))＝2a－b，又A，B，D三點共線，∴存在實數(shù)λ，使eq\o(AB,\s\up8(→))＝λBeq\o(D,\s\up8(→))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝2λ，,p＝－λ，))∴p＝－1.答案－1三、解答題9．已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1，e2不共線，向量c＝2e1－9e2，問是否存在這樣的實數(shù)λ，μ，使向量d＝λa＋μb與c共線？解∵d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，要使d與c共線，則應(yīng)有實數(shù)k，使d＝kc，即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2λ＋2μ＝2k，,－3λ＋3μ＝－9k，))得λ＝－2μ.故存在這樣的實數(shù)λ，μ，只要λ＝－2μ，就能使d與c共線．10．如圖，在平行四邊形OADB中，設(shè)eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(OB,\s\up8(→))＝b，eq\o(BM,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up8(→))，eq\o(CN,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up8(→)).試用a，b表示eq\o(OM,\s\up8(→))，eq\o(ON,\s\up8(→))及eq\o(MN,\s\up8(→)).解由題意知，在平行四邊形OADB中，eq\o(BM,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\f(1,6)eq\o(BA,\s\up8(→))＝eq\f(1,6)(eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OB,\s\up8(→)))＝eq\f(1,6)(a－b)＝eq\f(1,6)a－eq\f(1,6)b，則eq\o(OM,\s\up8(→))＝eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(BM,\s\up8(→))＝b＋eq\f(1,6)a－eq\f(1,6)b＝eq\f(1,6)a＋eq\f(5,6)b.eq\o(ON,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OD,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→)))＝eq\f(2,3)(a＋b)＝eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b，eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\o(ON,\s\up8(→))－eq\o(OM,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)(a＋b)－eq\f(1,6)a－eq\f(5,6)b＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,6)b.力氣提升題組(建議用時：35分鐘)11．已知點O為△ABC外接圓的圓心，且eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝0，則△ABC的內(nèi)角A等于()A．30°B．60°C．90°D．120°解析由eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝0，知點O為△ABC的重心，又O為△ABC外接圓的圓心，∴△ABC為等邊三角形，A＝60°.答案B12．(2021·紹興聯(lián)考)O是平面上確定點，A，B，C是平面上不共線的三個點，動點P滿足：eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up8(→)),|\o(AB,\s\up8(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up8(→)),|\o(AC,\s\up8(→))|)))，λ∈[0，＋∞)，則P的軌跡確定通過△ABC的()A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心解析作∠BAC的平分線AD.∵eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up8(→)),|\o(AB,\s\up8(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up8(→)),|\o(AC,\s\up8(→))|)))，∴eq\o(AP,\s\up8(→))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up8(→)),|\o(AB,\s\up8(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up8(→)),|\o(AC,\s\up8(→))|)))＝λ′·eq\f(\o(AD,\s\up8(→)),|\o(AD,\s\up8(→))|)(λ′∈[0，＋∞))，∴eq\o(AP,\s\up8(→))＝eq\f(λ′,|\o(AD,\s\up8(→))|)·eq\o(AD,\s\up8(→))，∴eq\o(AP,\s\up8(→))∥eq\o(AD,\s\up8(→)).∴P的軌跡確定通過△ABC的內(nèi)心．答案B13．已知D為三角形ABC邊BC的中點，點P滿足eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(BP,\s\up8(→))＋eq\o(CP,\s\up8(→))＝0，eq\o(AP,\s\up8(→))＝λeq\o(PD,\s\up8(→))，則實數(shù)λ的值為________．解析如圖所示，由eq\o(AP,\s\up8(→))＝λeq\o(PD,\s\up8(→))，且eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(BP,\s\up8(→))＋eq\o(CP,\s\up8(→))＝0，則P是以AB、AC為鄰邊的平行四邊形的第四個頂點，因此eq\o(AP,\s\up8(→))＝－2eq\o(PD,\s\up8(→))，則λ＝－2.答案－214．若點O是△ABC所在平面內(nèi)的一點，且滿足|eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))|＝|eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))－2eq\o(OA,\s\up8(→))|，則△ABC的外形為________．解析eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))－2eq\o(OA,\s\up8(→))＝eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))，eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))＝eq\o(CB,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→))，∴|eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))|＝|eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→))|.故A，B，C為矩形的三個頂點，△ABC為直角三角形．答案直角三角形15．若a，b是兩個不共線的非零向量，a與b起點相同，則當(dāng)t為何值時，a，tb，eq\f(1,3)(a＋b)三向量的終點在同一條直線上？解設(shè)eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(OB,\s\up8(→))＝tb，eq\o(OC,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)，∴eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(OC,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b，eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＝tb－a.要使A，B，C三點共線，只需eq\o(AC,\s\up8(→))＝λeq\o(AB,\s\up8(→))，即－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b＝λ(tb－a)＝λtb－λa.又∵a與b為不共線的非零向量，∴有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)＝－λ，,\f(1,3)＝λt))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(2,3)，,t＝\f(1,2).))∴當(dāng)t＝eq\f(1,2)時，三向量終點在同始終線上．16.在△ABC中，E，F(xiàn)分別為AC，AB的中點，BE與CF相交于G點，設(shè)eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AC,\s\up8(→))＝b，試用a，b表示eq\o(AG,\s\up8(→)).解eq\o(AG,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq