【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】2022屆數(shù)學(xué)一輪(文科)北師大版-課時作業(yè)10-6-第十章統(tǒng)計(jì)、統(tǒng)計(jì)案例與概率

第6講模擬方法——概率的應(yīng)用基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．取一根長度為4m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得的兩段都不少于1m的概率是 ()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3) C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)解析把繩子4等分，當(dāng)剪斷點(diǎn)位于中間兩部分時，兩段繩子都不少于1m，故所求概率為P＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).答案C2．在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上隨機(jī)取一個數(shù)x，cosx的值介于0到eq\f(1,2)之間的概率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,π) C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)解析若cosx∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，利用三角函數(shù)性質(zhì)解得x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－\f(π,3)))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上隨機(jī)取一個數(shù)是等可能的，結(jié)合幾何概型的概率公式可得所求概率為P＝eq\f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(π,3))),\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2))))＝eq\f(1,3).答案A3．(2022·遼寧卷)若將一個質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入如圖所示的長方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，則質(zhì)點(diǎn)落在以AB為直徑的半圓內(nèi)的概率是 ()A.eq\f(π,2) B.eq\f(π,4) C.eq\f(π,6) D.eq\f(π,8)解析設(shè)質(zhì)點(diǎn)落在以AB為直徑的半圓內(nèi)為大事A，則P(A)＝eq\f(陰影面積,長方形面積)＝eq\f(\f(1,2)π×12,1×2)＝eq\f(π,4).答案B4．在長為12cm的線段AB上任取一點(diǎn)C.現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC，CB的長，則該矩形面積大于20cm2的概率為 ()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3) C.eq\f(2,3) D.eq\f(4,5)解析設(shè)AC＝xcm，0＜x＜12，則CB＝(12－x)cm，要使矩形面積大于20cm2，只要x(12－x)＞20，則x2－12x＋20＜0，解得2＜x＜10，所求概率為P＝eq\f(10－2,12)＝eq\f(2,3).答案C5．(2021·鄭州質(zhì)量猜測)在平面區(qū)域eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤x≤2，,0≤y≤2))內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則所取的點(diǎn)恰好滿足x＋y≤eq\r(2)的概率是 ()A.eq\f(1,16) B.eq\f(1,8) C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,2)解析不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤x≤2，,0≤y≤2))表示的平面區(qū)域的面積為22＝4，不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤x≤2，,0≤y≤2，,x＋y≤\r(2)))表示的平面區(qū)域的面積為eq\f(1,2)×(eq\r(2))2＝1，因此所求的概率是eq\f(1,4)，故選C.答案C二、填空題6．(2021·西安調(diào)研)在區(qū)間[－2，4]上隨機(jī)地取一個數(shù)x，若x滿足|2x|＜a的概率為eq\f(2,3)，則實(shí)數(shù)a＝________．解析由于區(qū)間[－2，4]的長度是6，滿足不等式|2x|＜a?－eq\f(a,2)＜x＜eq\f(a,2)的概率是eq\f(2,3)，所以區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，\f(a,2)))＝(－2，2)，長度為4，則eq\f(a,2)＝2，解得a＝4.答案47．一只蜜蜂在一個棱長為3的正方體內(nèi)自由飛行，若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體6個表面的距離均大于1，稱其為“平安飛行”，則蜜蜂“平安飛行”的概率為________．解析由已知條件，可知蜜蜂只能在一個棱長為1的小正方體內(nèi)飛行，結(jié)合幾何概型，可得蜜蜂“平安飛行”的概率為P＝eq\f(13,33)＝eq\f(1,27).答案eq\f(1,27)8.如圖，四邊形ABCD為矩形，AB＝eq\r(3)，BC＝1，以A為圓心，1為半徑作四分之一個圓弧DE，在∠DAB內(nèi)任作射線AP，則射線AP與線段BC有公共點(diǎn)的概率為________．解析由于在∠DAB內(nèi)任作射線AP，則等可能基本大事為“∠DAB內(nèi)作射線AP”，所以它的全部等可能大事所在的區(qū)域H是∠DAB，當(dāng)射線AP與線段BC有公共點(diǎn)時，射線AP落在∠CAB內(nèi)，區(qū)域h為∠CAB，所以射線AP與線段BC有公共點(diǎn)的概率為eq\f(∠CAB,∠DAB)＝eq\f(30°,90°)＝eq\f(1,3).答案eq\f(1,3)三、解答題9．設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.若a是從區(qū)間[0，3]任取的一個數(shù)，b是從區(qū)間[0，2]任取的一個數(shù)，求方程有實(shí)根的概率．解設(shè)大事A為“方程x2＋2ax＋b2＝0有實(shí)根”．當(dāng)a≥0，b≥0時，方程x2＋2ax＋b2＝0有實(shí)根的充要條件為a≥b.試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2}，構(gòu)成大事A的區(qū)域?yàn)閧(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，依據(jù)條件畫出構(gòu)成的區(qū)域(略)，可得所求的概率為P(A)＝eq\f(3×2－\f(1,2)×22,3×2)＝eq\f(2,3).10．身處廣州的姐姐和身處沈陽的弟弟在春節(jié)前商定分別乘A，B兩列火車在鄭州火車站會面，并商定先到者等待時間不超過10分鐘．當(dāng)天A，B兩列火車正點(diǎn)到站的時間是上午9點(diǎn)，每列火車到站的時間誤差為±15分鐘，不考慮其他因素，求姐弟倆在鄭州火車站會面的概率．解設(shè)姐姐到的時間為x，弟弟到的時間為y，建立坐標(biāo)系如圖，由題意可知，當(dāng)|y－x|≤eq\f(1,6)時，姐弟倆會面，又正方形的面積為eq\f(1,4)，陰影部分的面積為eq\f(5,36)，所求概率P＝eq\f(\f(5,36),\f(1,4))＝eq\f(5,9).力量提升題組(建議用時：25分鐘)11．在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一點(diǎn)D，則使△ABD為鈍角三角形的概率為 ()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3) C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)解析如圖，當(dāng)BE＝1時，∠AEB為直角，則點(diǎn)D在線段BE(不包含B，E點(diǎn))上時，△ABD為鈍角三角形；當(dāng)BF＝4時，∠BAF為直角，則點(diǎn)D在線段CF(不包含C、F點(diǎn))上時，△ABD為鈍角三角形．所以△ABD為鈍角三角形的概率為eq\f(1＋2,6)＝eq\f(1,2).答案C12．如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以O(shè)A，OB為直徑作兩個半圓．在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是 ()A.eq\f(1,2)－eq\f(1,π) B.eq\f(1,π)C．1－eq\f(2,π) D.eq\f(2,π)解析如圖，設(shè)OA＝2，S扇形AOB＝π，S△OCD＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)，S扇形OCD＝eq\f(π,4)，∴在以O(shè)A為直徑的半圓中，空白部分面積S1＝eq\f(π,2)－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(1,2)))＝1，全部陰影面積為π－2.故所求概率P＝eq\f(π－1×2,π)＝1－eq\f(2,π).答案C13．在面積為S的△ABC內(nèi)部任取一點(diǎn)P，△PBC的面積大于eq\f(S,4)的概率為________．解析如圖，假設(shè)當(dāng)點(diǎn)P落在EF上時(EF∥BC)，恰好滿足△PBC的面積等于eq\f(S,4)，作PG⊥BC，AH⊥BC，則易知eq\f(PG,AH)＝eq\f(1,4).符合要求的點(diǎn)P可以落在△AEF內(nèi)的任一部分，其概率為P＝eq\f(S△AEF,S△ABC)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(2)＝eq\f(9,16).答案eq\f(9,16)14．設(shè)AB＝6，在線段AB上任取兩點(diǎn)(端點(diǎn)A，B除外)，將線段AB分成了三條線段，(1)若分成的三條線段的長度均為正整數(shù)，求這三條線段可以構(gòu)成三角形的概率；(2)若分成的三條線段的長度均為正實(shí)數(shù)，求這三條線段可以構(gòu)成三角形的概率．解(1)若分成的三條線段的長度均為正整數(shù)，則三條線段的長度全部可能狀況是1，1，4；1，2，3；2，2，2，共3種狀況，其中只有三條線段長為2，2，2時能構(gòu)成三角形，故構(gòu)成三角形的概率為P＝eq\f(1,3).(2)設(shè)其中兩條線段長度分別為x，y，則第三條線段長度為6－x－y，故全部試驗(yàn)結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閑q\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＜x＜6，,0＜y＜6，,0＜6－x－y＜6，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＜x＜6，,0＜