2022屆《創(chuàng)新設(shè)計(jì)》數(shù)學(xué)一輪課時(shí)作業(yè)(理科)人教A版-第四章-三角函數(shù)、解三角形-4-5

第5講函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及應(yīng)用基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．函數(shù)f(x)＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,4)))，x∈R的最小正周期為 ()A.eq\f(π,2) B．π C．2π D．4π解析最小正周期為T＝eq\f(2π,\f(1,2))＝4π.答案D2．(2021·濟(jì)南模擬)將函數(shù)y＝cos2x＋1的圖象向右平移eq\f(π,4)個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位后得到的函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的表達(dá)式為 ()A．y＝sin2x B．y＝sin2x＋2C．y＝cos2x D．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))解析將函數(shù)y＝cos2x＋1的圖象向右平移eq\f(π,4)個(gè)單位得到y(tǒng)＝cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＋1＝sin2x＋1，再向下平移1個(gè)單位得到y(tǒng)＝sin2x，故選A.答案A3．(2022·浙江卷)為了得到函數(shù)y＝sin3x＋cos3x的圖象，可以將函數(shù)y＝eq\r(2)cos3x的圖象 ()A．向右平移eq\f(π,12)個(gè)單位 B．向右平移eq\f(π,4)個(gè)單位C．向左平移eq\f(π,12)個(gè)單位 D．向左平移eq\f(π,4)個(gè)單位解析∵y＝sin3x＋cos3x＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,4)))＝eq\r(2)coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))))，將y＝eq\r(2)cos3x的圖象向右平移eq\f(π,12)個(gè)單位即可得到y(tǒng)＝eq\r(2)coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))))的圖象，故選A.答案A4．(2022·成都診斷)函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－eq\f(π,2)<φ<eq\f(π,2))的部分圖象如圖所示，則ω，φ的值分別是()A．2，－eq\f(π,3)B．2，－eq\f(π,6)C．4，－eq\f(π,6)D．4，eq\f(π,3)解析由圖象知f(x)的周期T＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,12)－\f(5π,12)))＝π，又T＝eq\f(2π,ω)，ω>0，∴ω＝2.由于f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－eq\f(π,2)<φ<eq\f(π,2))的一個(gè)最高點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，2))，故有2×eq\f(5π,12)＋φ＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，即φ＝2kπ－eq\f(π,3)，又－eq\f(π,2)<φ<eq\f(π,2)，∴φ＝－eq\f(π,3)，選A.答案A5．(2022·福建卷)將函數(shù)y＝sinx的圖象向左平移eq\f(π,2)個(gè)單位，得到函數(shù)y＝f(x)的圖象，則下列說法正確的是 ()A．y＝f(x)是奇函數(shù)B．y＝f(x)的周期為πC．y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,2)對(duì)稱D．y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))對(duì)稱解析將函數(shù)y＝sinx的圖象向左平移eq\f(π,2)個(gè)單位，得到函數(shù)y＝f(x)的圖象，則y＝f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝cosx．此函數(shù)為偶函數(shù)，周期為2π.由于feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＝coseq\f(π,2)＝0，所以y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))對(duì)稱，故選D.答案D二、填空題6．將函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω＞0，－\f(π,2)≤φ＜\f(π,2)))圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的一半，縱坐標(biāo)不變，再向右平移eq\f(π,6)個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)＝sinx的圖象，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝______．即f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)＋\f(π,6)))＝sineq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2).答案eq\f(\r(2),2)7．已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω＞0，－\f(π,2)≤φ≤\f(π,2)))的圖象上的兩個(gè)相鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的距離為2eq\r(2)，且過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(1,2)))，則函數(shù)解析式f(x)＝________．解析據(jù)已知兩個(gè)相鄰最高和最低點(diǎn)距離為2eq\r(2)，可得eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T,2)))\s\up12(2)＋（1＋1）2)＝2eq\r(2)，解得T＝4，故ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(π,2)，即f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(πx,2)＋φ))，又函數(shù)圖象過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(1,2)))，故f(2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)×2＋φ))＝－sinφ＝－eq\f(1,2)，又－eq\f(π,2)≤φ≤eq\f(π,2)，解得φ＝eq\f(π,6)，故f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(πx,2)＋\f(π,6))).答案sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(πx,2)＋\f(π,6)))8．(2022·北京卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常數(shù)，A>0，ω>0)．若f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))上具有單調(diào)性，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))，則f(x)的最小正周期為________．解析∵f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))上具有單調(diào)性，所以eq\f(T,2)≥eq\f(π,2)－eq\f(π,6)，即T≥eq\f(2π,3)，又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))，所以x＝eq\f(π,2)和x＝eq\f(2π,3)均不是f(x)的對(duì)稱軸，其對(duì)稱軸應(yīng)為x＝eq\f(\f(π,2)＋\f(2π,3),2)＝eq\f(7π,12)，又由于feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))，且f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))上具有單調(diào)性，所以f(x)的一個(gè)對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為eq\f(\f(π,2)＋\f(π,6),2)＝eq\f(π,3)，故函數(shù)f(x)的最小正周期T＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)－\f(π,3)))＝π.答案π三、解答題9．(2021·景德鎮(zhèn)測(cè)試)已知函數(shù)f(x)＝4cosx·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＋a的最大值為2.(1)求a的值及f(x)的最小正周期；(2)在坐標(biāo)系上作出f(x)在[0，π]上的圖象．解(1)f(x)＝4cosxsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＋a＝4cosx·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sinx＋\f(1,2)cosx))＋a＝eq\r(3)sin2x＋2cos2x＋a＝eq\r(3)sin2x＋cos2x＋1＋a＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋1＋a的最大值為2，∴a＝－1，最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.(2)列表：x0eq\f(π,6)eq\f(5π,12)eq\f(2π,3)eq\f(11π,12)π2x＋eq\f(π,6)eq\f(π,6)eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πeq\f(13π,6)f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))120－201畫圖如下：10．(2022·湖北卷)某試驗(yàn)室一天的溫度(單位：℃)隨時(shí)間t(單位：h)的變化近似滿足函數(shù)關(guān)系：f(t)＝10－eq\r(3)coseq\f(π,12)t－sineq\f(π,12)t，t∈[0，24)．(1)求試驗(yàn)室這一天的最大溫差；(2)若要求試驗(yàn)室溫度不高于11℃，則在哪段時(shí)間試驗(yàn)室需解(1)由于f(t)＝10－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cos\f(π,12)t＋\f(1,2)sin\f(π,12)t))＝10－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))，又0≤t<24，所以eq\f(π,3)≤eq\f(π,12)t＋eq\f(π,3)<eq\f(7π,3)，－1≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))≤1.當(dāng)t＝2時(shí)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))＝1；當(dāng)t＝14時(shí)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))＝－1.于是f(x)在[0，24)上取得最大值12，取得最小值8.故試驗(yàn)室這一天最高溫度為12℃，最低溫度為8℃，最大溫差為4℃.(2)依題意，當(dāng)f(t)>11時(shí)試驗(yàn)室需要降溫．由(1)得f(t)＝10－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))，故有10－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))>11，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))<－eq\f(1,2).又0≤t<24，因此eq\f(7π,6)<eq\f(π,12)t＋eq\f(π,3)<eq\f(11π,6)，即10<t<18.所以在10時(shí)至18時(shí)試驗(yàn)室需要降溫．力氣提升題組(建議用時(shí)：25分鐘)11．已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φφ|＜eq\f(π,2))的圖象在y軸上的截距為1，在相鄰兩最值點(diǎn)(x0，2)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(3,2)，－2))(x0＞0)上f(x)分別取得最大值和最小值．若函數(shù)g(x)＝af(x)＋b的最大值和最小值分別為6和2，則|a|＋b的值為 ()A．5 B．6 C．7 D．8解析由題意知A＝2，eq\f(T,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(3,2)))－x0＝eq\f(3,2)，∴T＝3，即eq\f(2π,|ω|)＝3，又ω＞0，∴ω＝eq\f(2π,3).∴f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)x＋φ))，又函數(shù)f(x)過點(diǎn)(0，1)，代入得2sinφ＝1，而|φ|＜eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,6)，∴f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)x＋\f(π,6)))，g(x)＝af(x)＋b＝2asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)x＋\f(π,6)))＋b.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2|a|＋b＝6，,－2|a|＋b＝2，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|a|＝1，,b＝4，))∴|a|＋b＝5.答案A12．(2022·東北三省三校聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|φ|＜\f(π,2)))向左平移eq\f(π,6)個(gè)單位后是奇函數(shù)，則函數(shù)f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最小值為 ()A．－eq\f(\r(3),2) B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),2)解析函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|φ|＜\f(π,2)))向左平移eq\f(π,6)個(gè)單位后得到函數(shù)為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＋φ))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)＋φ))，由于此時(shí)函數(shù)為奇函數(shù)，所以eq\f(π,3)＋φ＝kπ(k∈Z)，所以φ＝－eq\f(π,3)＋kπ(k∈Z)．由于|φ|＜eq\f(π,2)，所以當(dāng)k＝0時(shí)，φ＝－eq\f(π,3)，所以f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3))).當(dāng)0≤x≤eq\f(π,2)時(shí)，－eq\f(π,3)≤2x－eq\f(π,3)≤eq\f(2π,3)，即當(dāng)2x－eq\f(π,3)＝－eq\f(π,3)時(shí)，函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))有最小值為sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝－eq\f(\r(3),2).答案A13．已知f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))(ω>0)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))，且f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))上有最小值，無最大值，則ω＝________．解析依題意，x＝eq\f(\f(π,6)＋\f(π,3),2)＝eq\f(π,4)時(shí)，y有最小值，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)·ω＋\f(π,3)))＝－1，∴eq\f(π,4)ω＋eq\f(π,3)＝2kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z)．∴ω＝8k＋eq\f(14,3)(k∈Z)，由于f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))上有最小值，無最大值，所以eq\f(π,3)－eq\f(π,4)≤eq\f(π,ω)，即ω≤12，令k＝0，得ω＝eq\f(14,3).答案eq\f(14,3)14．已知函數(shù)f(x)＝2eq\r(3)sinxcosx＋2sin2x－1，x∈R.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)將函數(shù)y＝f(x)的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的eq\f(1,2)，再把所得到的圖象向左平移eq\f(π,6)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求函數(shù)y＝g(x)在