【高考聚焦】2021屆高考數(shù)學(xué)(理)一輪復(fù)習(xí)題庫(梳理自測+重點(diǎn)突破+能力提升)：1.2命題及其關(guān)系

第2課時(shí)命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件1．理解命題的概念．2．了解“若p，則q”形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題，會分析四種命題的相互關(guān)系．3．理解必要條件、充分條件與充要條件的意義．[對應(yīng)同學(xué)用書P4]【梳理自測】一、命題用語言、符號或式子表達(dá)的，可以推斷真假的陳述句叫做命題，其中推斷為真的語句叫做真命題，推斷為假的語句叫做假命題．二、四種命題及其關(guān)系設(shè)a，b是向量，針對下列四種命題，填空并判定真假：A．若a≠－b，則|a|≠|(zhì)b|B．若a＝－b，則|a|≠|(zhì)b|C．若|a|≠|(zhì)b|，則a≠－bD．若|a|＝|b|，則a＝－b命題“若a＝－b，則|a|＝|b|”，其逆命題為______，______(真假)，其否命題為______，________(真假)，其逆否命題為________，________(真假)．答案：D假A假C真◆此題主要考查了下列內(nèi)容：1．四種命題若原命題為“若p，則q”，則其逆命題是若q，則p；否命題是若，則；逆否命題是若，則．2．四種命題間的關(guān)系3．四種命題的真假關(guān)系(1)兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；(2)兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系．三、充分條件，必要條件，充要條件1．若a∈R，則“a＝1”是“|a|＝1”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件2．(2022·溫州適應(yīng)性測試)設(shè)集合A，B，則A?B是A∩B＝A成立的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件3．(2022·高考北京卷)設(shè)a，b∈R，“a＝0”是“復(fù)數(shù)a＋bi是純虛數(shù)”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件答案：1.A2.C3.B◆以上題目主要考查了以下內(nèi)容：(1)“若p，則q”為真命題，記作：p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件．(2)假如既有p?q，又有q?p，記作：p?q，則p是q的充要條件，q也是p的充要條件．【教導(dǎo)迷津】1．否命題和命題的否定是兩個(gè)不同的概念：①否命題是將原命題的條件否定作為條件，將原命題的結(jié)論否定作為結(jié)論構(gòu)造一個(gè)新的命題；②命題的否定只是否定命題的結(jié)論，常用于反證法．若命題為：“若p，則q”，則該命題的否命題是“若，則”；命題的否定為“若p，則”．2．四種命題的三種關(guān)系，互否關(guān)系，互逆關(guān)系，互為逆否關(guān)系，只有互為逆否關(guān)系的命題是等價(jià)命題．3．推斷p與q之間的關(guān)系時(shí)，要留意p與q之間關(guān)系的方向性，充分條件與必要條件方向正好相反，不要混淆．如：a＝0是“a·b＝0”的充分不必要條件，“a·b＝0”是“a＝0”的必要不充分條件．[對應(yīng)同學(xué)用書P5]考向一四種命題及其關(guān)系(1)(2022·濰坊市三模)命題“若a＞b，則2a＞2b”的否命題是()A．若a＞b，則2a≤2bB．若2a＞2bC．若a≤b，則2a≤2bD．若2a≤2b(2)(2022·高考浙江卷)設(shè)a＞0，b＞0，e是自然對數(shù)的底數(shù)()A．若ea＋2a＝eb＋3b，則a＞bB．若ea＋2a＝eb＋3b，則a＜bC．若ea－2a＝eb－3b，則a＞bD．若ea－2a＝eb－3b，則a＜b【審題視點(diǎn)】(1)依據(jù)否命題的定義改寫．(2)利用逆否命題真假關(guān)系判定．【典例精講】(1)否命題為“若a≤b，則2a≤2b”(2)通過逆否命題推斷真假．當(dāng)0＜a≤b時(shí)，明顯ea≤eb，且2a≤2b＜3b，∴ea＋2a＜eb＋3b，即ea＋2a≠eb＋3b成立，所以它的逆否命題：若ea＋2a＝eb＋3b，則a＞b成立，故A正確，B錯(cuò)誤；當(dāng)0＜a≤b時(shí)，由ea≤eb，2a＜3b，知ea－2a與eb－3b的大小關(guān)系不確定，故C錯(cuò)誤；同理，D錯(cuò)誤．【答案】(1)C(2)A【類題通法】在依據(jù)給出的命題構(gòu)造其逆命題、否命題、逆否命題時(shí)，首先要把原命題的條件和結(jié)論弄清楚，這樣逆命題就是把原命題的條件和結(jié)論交換了的命題，否命題就是把原命題中否定了的條件作條件、否定了的結(jié)論作結(jié)論的命題，逆否命題就是把原命題中否定了的結(jié)論作條件、否定了的條件作結(jié)論的命題．在這四種命題中原命題和逆否命題等價(jià)、否命題和逆命題互為逆否命題也是等價(jià)的．1．下列命題：①“全等三角形的面積相等”的逆命題；②“若ab＝0，則a＝0”的否命題；③“正三角形的三個(gè)角均為60°”的逆否命題；④“若x≤－3，則x2＋x－6＞0”的否命題；⑤“若a2＋b2＝0，a，b∈R，則a＝b＝0”的逆否命題．其中真命題的序號是________(把全部真命題的序號填在橫線上)．解析：①“全等三角形的面積相等”的逆命題為“面積相等的三角形全等”，明顯該命題為假命題；②“若ab＝0，則a＝0”的否命題為“若ab≠0，則a≠0”，而由ab≠0可得a，b都不為零，故a≠0，所以該命題是真命題；③由于原命題“正三角形的三個(gè)角均為60°”是一個(gè)真命題，故其逆否命題也是真命題；④易推斷原命題的逆命題假，則原命題的否命題假；⑤逆命題為“a，b∈R，若a≠0或b≠0，則a2＋b2≠答案：②③⑤考向二充分條件與必要條件的判定(1)(2022·濟(jì)南市高考模擬)設(shè)x∈R，則“x2－3x＞0”是“x＞4”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件(2)(2022·福建省一般高三質(zhì)量檢查)已知向量a＝(m2，4)，b＝(1，1)，則“m＝－2”是“a∥b”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【審題視點(diǎn)】(1)從解不等式x2－3x＞0入手，求x的取值，查找推導(dǎo)關(guān)系．(2)從推斷a∥b的條件入手，查找推導(dǎo)關(guān)系．【典例精講】(1)由x2－3x＞0，得x＞3或x＜0，此時(shí)得不出x＞4，但當(dāng)x＞4時(shí)，不等式x2－3x＞0恒成立，所以正確選項(xiàng)為B.(2)依題意，當(dāng)m＝－2時(shí)，a＝(4，4)，b＝(1，1)，所以a＝4b，a∥b，即由m＝－2可以推出a∥b；當(dāng)a∥b時(shí)，m2＝4，得m＝±2，所以不能推得m＝－2，即“m＝－2”是“a∥b”【答案】(1)B(2)A【類題通法】命題的充要關(guān)系的推斷方法(1)定義法：直接推斷若p則q、若q則p的真假．(2)等價(jià)法：利用A?B與綈B?綈A，B?A與綈A?綈B，A?B與綈B?綈A的等價(jià)關(guān)系，對于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法．(3)利用集合間的包含關(guān)系推斷：若A?B，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若A＝B，則A是B的充要條件．2．(2022·高考上海卷)對于常數(shù)m、n，“mn＞0”是“方程mx2＋ny2＝1的曲線是橢圓”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：選B.分別推斷條件的充分性、必要性是否成立．∵mn＞0，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＞0，,n＞0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＜0，,n＜0，))當(dāng)m＞0，n＞0且m≠n時(shí)，方程mx2＋ny2＝1的曲線是橢圓，但m＜0，n＜0時(shí)，方程mx2＋ny2＝1不表示任何圖形，所以條件不充分；反之，當(dāng)方程mx2＋ny2＝1表示的曲線是橢圓時(shí)有mn＞0，所以“mn＞0”是“方程mx2＋ny2＝1的曲線是橢圓”的必要不充分條件．考向三充分、必要、充要條件的應(yīng)用已知條件p：eq\f(4,x－1)≤－1，條件q：x2＋x＜a2－a，且的一個(gè)充分不必要條件是，則a的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,2)))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))C．[－1，2]D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,2)))∪[2，＋∞)【審題視點(diǎn)】的充分不必要條件是，等價(jià)于p是q的必要不充分條件，化簡p和q后，借助集合間的包含關(guān)系即可求得a的范圍．【典例精講】由eq\f(4,x－1)≤－1，即eq\f(4,x－1)＋1≤0，化簡，得eq\f(x＋3,x－1)≤0，解得－3≤x＜1；由x2＋x＜a2－a，得x2＋x－a2＋a＜0，由的一個(gè)充分不必要條件是，可知是的充分不必要條件，即p是q的必要不充分條件，即條件q對應(yīng)的x取值集合是條件p對應(yīng)的x取值集合的真子集．設(shè)f(x)＝x2＋x－a2＋a，如圖，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（－3）＝－a2＋a＋6＞0,f（1）＝－a2＋a＋2≥0))，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2＜a＜3,－1≤a≤2))，∴－1≤a≤2，故選C.【答案】C【類題通法】(1)解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后依據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式求解．(2)留意利用轉(zhuǎn)化的方法理解充分必要條件：若是的充分不必要(必要不充分、充要)條件，則p是q的必要不充分(充分不必要、充要)條件．3．已知p：－4＜x－a＜4，q：(x－2)(x－3)＜0，且q是p的充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A．－1＜a＜6B．－1≤a≤6C．a(chǎn)＜－1或a＞6D．a(chǎn)≤－1或a≥6解析：選B.設(shè)q，p表示的范圍分別為集合A，B，則A＝(2，3)，B＝(a－4，a＋4)．由于q是p的充分條件，則有A?B，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－4≤2，,a＋4≥3，))所以－1≤a≤6.故選B.

[對應(yīng)同學(xué)用書P6]充分、必要條件的判定方法(2021·高考陜西卷)設(shè)a，b為向量，則“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【正解】①弄清題目中誰是條件，誰是結(jié)論：條件是“|a·b|”＝|a||b|，結(jié)論是“a∥b”．解題目標(biāo)是什么？判定|a·b|＝|a||b|?a∥b還是a∥b?|a·b|＝|a||b|.②探究轉(zhuǎn)化關(guān)系一方面：由|a·b|＝|a||b|，爭辯零向量與非零向量，結(jié)合數(shù)量積定義探究a與b的關(guān)系．另一方面：由a∥b，計(jì)算|a·b|解答過程若|a·b|＝|a||b|，若a，b中有零向量，明顯a∥b；若a，b均不為零向量，則|a·b|＝|a||b||cos〈a，b〉|＝|a||b|，∴|cos〈a，b〉|＝1，∴〈a，b〉＝π或0，∴a∥b，即|a·b|＝|a||b|?a∥b.若a∥b，則〈a，b〉＝0或π，∴|a·b|＝||a||b|cos〈a，b〉|＝|a||b|，其中，若a，b有零向量也成立，即a∥b?|a·b|＝|a||b|.綜上知，“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的充分必要條件．【答案】C【回歸反思】①此題在推導(dǎo)過程中易忽視零向量的存在，導(dǎo)致解答不全面．②此類題務(wù)必要從兩方面探究關(guān)系：即探究|a·b|＝|a|·|b|?a∥b后，還要探究a∥b?|a·b|＝|a||b|，結(jié)合充要條件的概念，才能正確作答．1．(2021·高考湖南卷)“1＜x＜2”是“x＜2”成立的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件解析：選A.利用集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化．設(shè)A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜2}，∴AB，即當(dāng)x0∈A時(shí)，有x0∈B，反之不肯定成立．因此“1＜x＜2”是“x＜2”成立的充分不必要條件．2．(2021·高考天津卷)已知下列三個(gè)命題：①若一個(gè)球的半徑縮小到原來的eq\f(1,2)，則其體積縮小到原來的eq\f(1,8)；②若兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，則它們的標(biāo)準(zhǔn)差也相等；③直線x＋y＋1＝0與圓x2＋y2＝eq\f(1,2)相切．其中真命題的序號是()A．①②③B．①②C．①③D．②③解析：選C.對各個(gè)命題逐一進(jìn)行推斷，得出結(jié)論．對于命題①，設(shè)球的半徑為R，則eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(1,8)·eq\f(4,3)·πR3，故體積縮小到原來的eq\f(1,8)，命題正確；對于命題②，若兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同，則它們的標(biāo)準(zhǔn)差不肯定相同，例如數(shù)據(jù)：1，3，5和3，3，3的平均數(shù)相同，但標(biāo)準(zhǔn)差不同，命題不正確；對于命題③，圓x2＋y2＝eq\f(1,2)的圓心(0，0)到直線x＋y＋1＝0的距離d＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，等于圓的半徑，所以直線與圓相切，命題正確．3．(2021·高考山東卷)給定兩個(gè)命題p，q.若是q的必要而不充分條件，則p是的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件