【-學(xué)案導(dǎo)學(xué)設(shè)計(jì)】2020-2021學(xué)年高中人教B版數(shù)學(xué)選修2-1課時作業(yè)：3.1.3

3.1.3兩個向量的數(shù)量積課時目標(biāo)1.把握空間向量夾角的概念及表示方法，把握兩個向量的數(shù)量積概念、性質(zhì)和計(jì)算方法及運(yùn)算規(guī)律.2.把握兩個向量的數(shù)量積的主要用途，會用它解決立體幾何中的夾角問題．1．空間向量的夾角定義已知兩個非零向量a，b，在空間中任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角記法范圍________.當(dāng)〈a，b〉＝eq\f(π,2)時，a______b想一想：〈a，b〉與〈b，a〉相等嗎？〈a，b〉與〈a，－b〉呢？2．空間向量的數(shù)量積(內(nèi)積)(1)定義：已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b.(2)向量的數(shù)量積的性質(zhì)①a·e＝____________；②非零向量a，b，a⊥b?__________；③|a|2＝________；④|a·b|≤________.(3)向量的數(shù)量積滿足如下運(yùn)算律①(λa)·b＝________；②a·b＝________(交換律)；③(a＋b)·c＝____________(支配律)．3．異面直線(1)異面直線的定義______________________的兩條直線叫做異面直線．(2)兩條異面直線所成的角把異面直線________________________，這時兩條直線的夾角(________________)叫做兩條異面直線所成的角．假如所成的角是________，則稱兩條異面直線相互垂直．一、選擇題1．設(shè)a、b、c是任意的非零向量，且它們相互不共線，下列命題：①(a·b)·c－(c·a)·b＝0；②|a|－|b|<|a－b|；③(b·a)·c－(c·a)·b不與c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|其中正確的有()A．①②B．②③C．③④D．②④2．若a，b均為非零向量，則a·b＝|a||b|是a與b共線的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件3．已知a，b均為單位向量，它們的夾角為60°，那么|a＋3b|等于()A.eq\r(7)B.eq\r(10)C.eq\r(13)D．44.在棱長為1的正四周體ABCD中，E,F分別是BC,AD的中點(diǎn)，則eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))等于()A．0B.eq\f(1,2)C．－eq\f(3,4)D．－eq\f(1,2)5.如圖，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，則PC等于()A．6eq\r(2)B．6C．12D．1446．若向量m垂直于向量a和b，向量n＝λa＋μb(λ，μ∈R且λ、μ≠0)，則()A．m∥nB．m⊥nC．m不平行于n，m也不垂直于nD．以上三種狀況都有可能題號123456答案二、填空題7．已知a，b是空間兩向量，若|a|＝3，|b|＝2，|a－b|＝eq\r(7)，則a與b的夾角為________．8．若空間向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，且a與b的夾角為eq\f(π,3)，則|a＋b|＝________.9．在△ABC中，有下列命題：①eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))；②eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0；③(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，則△ABC為等腰三角形；④若eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))>0，則△ABC為銳角三角形．其中正確的是________．(填寫正確的序號)三、解答題10.如圖，已知在空間四邊形OABC中，OB＝OC，AB＝AC.求證：OA⊥BC.11.如圖，在空間四邊形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA與BC所成角的余弦值．力氣提升12.平面式O,A.B三點(diǎn)不共線，設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則△OAB的面積等于()A.eq\r(|a|2|b|2－a·b2)B.eq\r(|a|2|b|2＋a·b2)C.eq\f(1,2)eq\r(|a|2|b|2－a·b2)D.eq\f(1,2)eq\r(|a|2|b|2＋a·b2)13．在正四周體ABCD中，棱長為a，M、N分別是棱AB、CD上的點(diǎn)，且|MB|＝2|AM|，|CN|＝eq\f(1,2)|ND|，求|MN|.1．空間向量數(shù)量積直接依據(jù)定義計(jì)算．2．利用數(shù)量積可以解決兩直線夾角問題和線段長度問題：(1)利用a⊥b?a·b＝0證線線垂直(a，b為非零向量)．(2)利用a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)，求兩直線的夾角．(3)利用|a|2＝a·a，求解有關(guān)線段的長度問題．3．1.3兩個向量的數(shù)量積學(xué)問梳理1.定義已知兩個非零向量a，b，在空間中任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角記法〈a，b〉范圍[0，π]．當(dāng)〈a，b〉＝eq\f(π,2)時，a⊥b2.(2)①|(zhì)a|cos〈a，e〉②a·b＝0③a·a④|a||b|(3)①λ(a·b)②b·a③a·c＋b·c3．(1)不同在任何一個平面內(nèi)(2)平移到一個平面內(nèi)銳角或直角直角作業(yè)設(shè)計(jì)1．D[①錯；②正確，可以利用三角形法則作出a－b，三角形的兩邊之差小于第三邊；③錯，當(dāng)b·a＝c·b＝0時，(b·a)·c－(c·a)·b與c垂直；④正確，直接利用數(shù)量積的運(yùn)算律．]2．A[a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b|?cos〈a，b〉＝1?〈a，b〉＝0?a，b同向．當(dāng)a與b反向時，不能成立．]3．C[|a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b＝1＋6·cos60°＋9＝13.∴|a＋3b|＝eq\r(13).]4．D[eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＝eq\f(1,4)cos60°＋eq\f(1,4)cos60°－eq\f(1,2)cos60°－eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2).]5．C[∵eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))，∴|eq\o(PC,\s\up6(→))|2＝(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))2＝eq\o(PA,\s\up6(→))2＋eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(BC,\s\up6(→))2＋2eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝108＋2×6×6×eq\f(1,2)＝144，∴|eq\o(PC,\s\up6(→))|＝12.]6．B[由題意m⊥a，m⊥b，則有m·a＝0，m·b＝0，m·n＝m(λa＋μb)＝λm·a＋μm·b＝0，∴m⊥n.]7．60°解析由|a－b|＝eq\r(7)，得(a－b)2＝7，即|a|2－2a·b＋|b|2＝7，∴2a∴|a||b|cos〈a，b〉＝3，∴cos〈a，b〉＝eq\f(1,2)，〈a，b〉＝60°.即a與b的夾角為60°.8.eq\r(7)解析|a＋b|＝eq\r(a2＋2a·b＋b2)＝eq\r(1＋2×2×\f(1,2)＋4)＝eq\r(7).9．②③解析①錯，eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))；②正確；③正確，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|；④錯，△ABC不愿定是銳角三角形．10．證明∵OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA，∴△OAC≌△OAB.∴∠AOC＝∠AOB.∵eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))·(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(OC,\s\up6(→))|cos∠AOC－|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(OB,\s\up6(→))|·cos∠AOB＝0，∴OA⊥BC.11．解由于eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(AC,\s\up6(→))|cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉－|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(AB,\s\up6(→))|cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))〉＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝－16eq\r(2)＋24.所以cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\x\to(OA)·\x\to(BC),|\x\to(OA)||\x\to(BC)|)＝eq\f(24－16\r(2),8×5)＝eq\f(3－2\r(2),5).即OA與BC所成角的余弦值為eq\f(3－2\r(2),5).12.C[如圖所示，S△OAB＝eq\f(1,2)|a||b|·sin〈a，b〉＝eq\f(1,2)|a||b|eq\r(1－cos〈a，b〉2)＝eq\f(1,2)|a||b|eq\r(1－\f(a·b,|a||b|)2)＝eq\f(1,2)|a||b|eq\r(\f(|a|2|b|2－a·b2,|a|2|b|2))＝eq\f(1,2)eq\r(|a|2|b|2－a·b2).]13．解如圖所示，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝a，eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＋eq\f(1,3)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→)).又eq