【創(chuàng)新設計】2022屆數學一輪(理科)浙江專用-課時作業(yè)10-5-第十章-計數原理、概率

第5講古典概型基礎鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．(2021·江西卷)集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，從A、B中各任意取一個數，則這兩數之和等于4的概率是()A.eq\f(2,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,6)解析從A、B中任意取一個數，共有6種情形，兩數和等于4的情形只有(2,2)，(3,1)兩種，∴P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).答案C2．有3個愛好小組，甲、乙兩位同學各自參與其中一個小組，每位同學參與各個小組的可能性相同，則這兩位同學參與同一個愛好小組的概率為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,4)解析甲、乙兩人都有3種選擇，共有3×3＝9種狀況，甲、乙兩人參與同一愛好小組共有3種狀況，∴甲、乙兩人參與同一愛好小組的概率P＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3)，故選A.答案A3．(2021·安徽卷)若某公司從五位高校畢業(yè)生甲、乙、丙、丁、戊中錄用三人，這五人被錄用的機會均等，則甲或乙被錄用的概率為()A.eq\f(2,3)B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(9,10)解析設大事“甲或乙被錄用”為大事A，則eq\x\to(A)表示“甲、乙都沒被錄用”，由古典概型，P(eq\x\to(A))＝eq\f(1,C\o\al(3,5))＝eq\f(1,10)，∴P(A)＝1－eq\f(1,10)＝eq\f(9,10).答案D4．連擲兩次骰子分別得到點數m、n，則向量(m，n)與向量(－1,1)的夾角θ>90°的概率是()A.eq\f(5,12)B.eq\f(7,12)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,2)解析∵(m，n)·(－1,1)＝－m＋n<0，∴m>n.基本大事總共有6×6＝36(個)，符合要求的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，…，(5,4)，(6,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15(個)．∴P＝eq\f(15,36)＝eq\f(5,12)，故選A.答案A5．有5本不同的書，其中語文書2本，數學書2本，物理書1本，若將其隨機地并排擺放到書架的同一層上，則同一科目的書都不相鄰的概率是()A.eq\f(1,5)B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)解析第一步先排語文書有Aeq\o\al(2,2)＝2(種)排法．其次步排物理書，分成兩類．一類是物理書放在語文書之間，有1種排法，這時數學書可從4個空中選兩個進行排列，有Aeq\o\al(2,4)＝12(種)排法；一類是物理書不放在語文書之間有2種排法，再選一本數學書放在語文書之間有2種排法，另一本有3種排法．因此同一科目的書都不相鄰共有2×(12＋2×2×3)＝48(種)排法，而5本書全排列共有Aeq\o\al(5,5)＝120(種)，所以同一科目的書都不相鄰的概率是eq\f(48,120)＝eq\f(2,5).答案B二、填空題6．(2022·江蘇卷)從1,2,3,6這4個數中一次隨機地取2個數，則所取2個數的乘積為6的概率是________．解析從1,2,3,6這4個數中一次隨機地取2個數，有(1,2)，(1,3)，(1,6)，(2,3)，(2,6)，(3,6)，共6種狀況．滿足條件的有(2,3)，(1,6)，共2種狀況．故P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).答案eq\f(1,3)7．(2022·廣東卷)從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七個不同的數，則這七個數的中位數是6的概率為________．解析從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七個不同的數有Ceq\o\al(7,10)種選法．要使抽取的七個數的中位數是6，則6,7,8,9必需取，再從0,1,2,3,4,5中任取3個，有Ceq\o\al(3,6)種選法，故概率為eq\f(C\o\al(3,6),C\o\al(7,10))＝eq\f(1,6).答案eq\f(1,6)8．(2022·江西卷)10件產品中有7件正品、3件次品，從中任取4件，則恰好取到1件次品的概率是________．解析從10件產品中任取4件共Ceq\o\al(4,10)種取法，取出的4件產品中恰有一件次品，有Ceq\o\al(3,7)Ceq\o\al(1,3)種取法，則所求概率P＝eq\f(C\o\al(3,7)C\o\al(1,3),C\o\al(4,10))＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)三、解答題9．在甲、乙兩個盒子中分別裝有標號為1,2,3,4的四個小球，現從甲、乙兩個盒子中各取出1個小球，每個小球被取出的可能性相等．(1)求取出的兩個小球上的標號為相鄰整數的概率；(2)求取出的兩個小球上的標號之和能被3整除的概率．解法一利用樹狀圖可以列出從甲、乙兩個盒子中各取出1個球的全部可能結果：可以看出，試驗的全部可能結果數為16種．(1)所取兩個小球上的標號為相鄰整數的結果有1—2，2—1，2—3,3—2,3—4,4—3，共6種，故所求概率P＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8).(2)所取兩個小球上的標號之和能被3整除的結果有1—2，2—1,2—4,3—3,4—2，共5種．故所求概率P＝eq\f(5,16).法二設從甲、乙兩個盒子中各取1個小球，其標號分別記為x、y，用(x，y)表示抽取結果，則全部可能有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16種．(1)所取兩個小球上的標號為相鄰整數的結果有(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)，共6種．故所求概率P＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8).(2)所取兩個小球上的標號和能被3整除的結果有(1,2)，(2,1)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，共5種．故所求概率P＝eq\f(5,16).10．袋中有五張卡片，其中紅色卡片三張，標號分別為1,2,3；藍色卡片兩張，標號分別為1,2.(1)從以上五張卡片中任取兩張，求這兩張卡片顏色不同且標號之和小于4的概率；(2)向袋中再放入一張標號為0的綠色卡片，從這六張卡片中任取兩張，求這兩種卡片顏色不同且標號之和小于4的概率．解(1)從5張卡片中任取兩張，共有n＝Ceq\o\al(2,5)＝10種方法．記“兩張卡片顏色不同且標號之和小于4”為大事A，則A包含基本大事m＝Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)－1＝3個．由古典概型概率公式，P(A)＝eq\f(m,n)＝eq\f(3,10).(2)從6張卡片中任取兩張，共有n＝Ceq\o\al(2,6)＝15個基本大事，記“兩張卡片顏色不同且標號之和小于4”為大事B，則大事B包含基本大事總數m＝Ceq\o\al(1,1)(Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(1,3))＋(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)－1)＝8，∴所求大事的概率P(B)＝eq\f(m,n)＝eq\f(8,15).力量提升題組(建議用時：35分鐘)11．(2021·東北八校二模)甲、乙兩人玩猜數字玩耍，先由甲心中想一個數字，記為a，再由乙猜甲剛才所想的數字，把乙猜的數字記為b，其中a，b∈{1,2,3,4,5,6}，若|a－b|≤1，就稱甲、乙“心有靈犀”．現任意找兩人玩這個玩耍，則他們“心有靈犀”的概率為()A.eq\f(1,9)B.eq\f(2,9)C.eq\f(7,18)D.eq\f(4,9)解析任意找兩人玩這個玩耍，共有6×6＝36種猜數字結果，其中滿足|a－b|≤1的有如下情形：①若a＝1，則b＝1,2；②若a＝2，則b＝1,2,3；③若a＝3，則b＝2,3,4；④若a＝4，則b＝3,4,5；⑤若a＝5，則b＝4,5,6；⑥若a＝6，則b＝5,6，總共16種，故他們“心有靈犀”的概率為P＝eq\f(16,36)＝eq\f(4,9).答案D12．(2022·濟南質檢)三位同學參與跳高、跳遠、鉛球項目的競賽．若每人都選擇其中兩個項目，則有且僅有兩人選擇的項目完全相同的概率是()A.eq\f(2,3)B.eq\f(2,9)C.eq\f(1,3)D.eq\f(7,9)解析三位同學每人選擇三項中的兩項有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(2,3)＝3×3×3＝27種選法，其中有且僅有兩人所選項目完全相同的有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,2)＝3×3×2＝18(種)選法．∴所求概率為P＝eq\f(18,27)＝eq\f(2,3).答案A13．某藝校在一天的6節(jié)課中隨機支配語文、數學、外語三門文化課和其他三門藝術課各1節(jié)，則在課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間至少間隔1節(jié)藝術課的概率為______(用數字作答)．解析法一6節(jié)課的全排列為Aeq\o\al(6,6)種，相鄰兩節(jié)文化課之間至少間隔1節(jié)藝術課的排法是：先排三節(jié)文化課，再利用插空法排藝術課，即為(Aeq\o\al(3,3)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＋2Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3))種，由古典概型概率公式得P(A)＝eq\f(A\o\al(3,3)C\o\al(2,3)A\o\al(2,2)A\o\al(2,2)＋2A\o\al(3,3)A\o\al(3,3),A\o\al(6,6))＝eq\f(1,5).法二6節(jié)課的全排列為Aeq\o\al(6,6)種，先排三節(jié)藝術課有Aeq\o\al(3,3)種不同方法，同時產生四個空，再利用插空法排文化課共有Aeq\o\al(3,4)種不同方法，故由古典概型概率公式得P(A)＝eq\f(A\o\al(3,3)A\o\al(3,4),A\o\al(6,6))＝eq\f(1,5).答案eq\f(1,5)14．一個袋中裝有四個外形大小完全相同的球，球的編號分別為1,2,3,4.(1)從袋中隨機取一個球，求取出的球的編號之和不大于4的概率；(2)先從袋中隨機取一個球，該球的編號為m，將球放回袋中，然后再從袋中隨機取一個球，該球的編號為n，求n＜m＋2的概率．解(1)從袋中隨機取兩個球，其一切可能的結果組成的基本大事有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6個．從袋中取出的球的編號之和不大于4的大事共有{1,2}，{1,3}兩個．因此所求大事的概率P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).(2)先從袋中隨機取一個球，登記編號為m，放回后，再從袋中隨機取一個球，登記編號為n，其一切可能的結果(m，n)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16個．又滿足條件n≥m＋2的大事為(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3個，所以滿足條件n≥m＋2的大事的概率為P1＝eq\f(3,16).故滿足條件n＜m＋2的大事的概率為1－P1＝1－eq\f(3,16)＝eq\f(13,16).15．(2021·河南三門峽4月)某校50名同學參與智力答題活動，每人回答3個問題，答對題目個數及對應人數統(tǒng)計結果見下表：答對題目個數0123人數5102015依據上表信息解答以下問題：從50名同學中任選兩人，求兩人答對題目個數之和為4或5的概率．解記“兩人答對題目個數之和為4或5”為大事AP(A)＝eq\f(C\o\al(2,20)＋C\o\al(1,10)C\o\al(1,15)＋C\o\al(1,20)C\o\al(1,15),C\o\al(2,50))＝eq\f(190＋150＋300,25×49)＝eq\f(128,245)，即兩人答對題目個數之和為4或5的概率為eq\f(128,245).16．為了解同學身高狀況，某校以10%的比例對