2022屆數學(文科)高考總復習-課時提升作業(yè)(三十)-5.3等比數列及其前n項和

溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調整合適的觀看比例，答案解析附后。關閉Word文檔返回原板塊。課時提升作業(yè)(三十)等比數列及其前n項和(25分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.(2021·南昌模擬)等比數列x,3x+3,6x+6,…的第四項等于()A.-24B.0C.12D.24【解析】選A.由題意知(3x+3)2=x(6x+6),即x2+4x+3=0,解得x=-3或x=-1(舍去),所以等比數列的前3項是-3,-6,-12,則第四項為-24.【加固訓練】(2021·福州模擬)已知等比數列{an}的前n項和為Sn=x·3n-1-QUOTE,則x的值為()A.QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE【解析】選C.當n=1時,a1=S1=x-QUOTE①,當n≥2時,an=Sn-Sn-1=（x·3n-1-QUOTE）-（x·3n-2-QUOTE）=x·(3n-1-3n-2)=2x·3n-2,由于{an}是等比數列,所以由①②得x-QUOTE=QUOTE,解得x=QUOTE.2.已知各項均為正數的等比數列{an}中,lg(a3a8a13)=6,則a1A.100 B.1000 C.10000 D.10【解析】選C.由于lg(a3a8a13)=6,所以a3a8a13=QUOTE=106,所以a8=100,所以a1a15=QUOTE=10000.3.(2021·昆明模擬)在等比數列{an}中,若a3,a7是方程x2+4x+2=0的兩根,則a5的值是()A.-2 B.-QUOTE C.±QUOTE D.QUOTE【解析】選B.依據根與系數之間的關系得a3+a7=-4,a3a7=2,由a3+a7=-4<0,a3a7>0,所以a3<0,a7<0,即a5<0,由a3a7=QUOTE,所以a5=-QUOTE=-QUOTE.4.在等比數列{an}中,有a3a11=4a7,數列{bn}是等差數列,且b7=a7,則b5+b9()A.2 B.4 C.8 D.16【解析】選C.由于a3a11=QUOTE=4a7,a7≠0,a7=4,所以b7=4.{bn}為等差數列,所以b5+b9=2b7=8,故選C.【加固訓練】已知各項不為0的等差數列{an},滿足2a3-QUOTE+2a11=0,數列{bn}是等比數列,且b7=a7,則b6b8=()A.2 B.4 C.8 D.16【解析】選D.由于數列{an}是等差數列,所以a3+a11=2a7由2a3-QUOTE+2a11=0得4a7-QUOTE=0,又an≠0,所以a7=4,所以b6b8=QUOTE=42=16.5.已知數列{an}的前n項和Sn=3n+k(k為常數),那么下述結論正確的是()A.k為任意實數時,{an}是等比數列B.k=-1時,{an}是等比數列C.k=0時,{an}是等比數列D.{an}不行能是等比數列【解析】選B.由于Sn=3n+k(k為常數),所以a1=S1=3+k,n≥2時,an=Sn-Sn-1=3n+k-(3n-1+k)=2×3n-1,當k=-1時,a1=2滿足an=2×3n-1,{an}是等比數列,當k=0時,a1=3不滿足an=2×3n-1,{an}不是等比數列.【加固訓練】(2021·青島模擬)已知等比數列{an}的前n項和為Sn=3n+1+a,n∈N*,則實數a的值是()A.-3 B.3 C.-1 D.1【解題提示】由Sn求an,而后由a1=S1求a.【解析】選A.當n≥2時,an=Sn-Sn-1=3n+1-3n=2·3n,當n=1時,a1=S1=9+a,由于{an}是等比數列,所以有9+a=2×3,解得a=-3.二、填空題(每小題5分,共15分)6.設等比數列{an}的前n項和為Sn,若QUOTE=3,則QUOTE=.【解析】方法一:由已知QUOTE=3,知QUOTE=1+q3=3,所以q3=2,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.方法二:由已知QUOTE=3,得S6=3S3,又由于S3,S6-S3,S9-S6為等比數列,所以(S6-S3)2=S3(S9-S6),則(2S3)2=S3(S9-3S3),化簡即得S9=7S3,從而QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE【加固訓練】在正項等比數列{an}中,若QUOTE+QUOTE+QUOTE=81,則QUOTE+QUOTE=.【解析】由于a2a4=QUOTE,a4a6=QUOTE,QUOTE=a3·a5.所以QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE+QUOTE=81,即又a3>0,a5>0,故QUOTE+QUOTE=9.答案:97.(2021·徐州模擬)若等比數列{an}滿足:a2+a4=20,a3+a5=40,則公比q=;前n項和Sn=.【解析】由a2+a4=20,a3+a5=40,得即解得q=2,a1=2,所以Sn=QUOTE=QUOTE=2n+1-2.答案:22n+1-28.定義“等平方和數列”:在一個數列中,假如每一項與它的后一項的平方和都等于同一個常數,那么這個數列叫做等平方和數列,這個常數叫做該數列的平方和,已知數列{an}是等平方和數列,且a1=1,平方和為5,且an>0,則a2021=,這個數列的前n項和Sn的計算公式為.【解析】由定義知QUOTE+QUOTE=5,a1=1,所以QUOTE=4,由于an>0,所以a2=2.又由QUOTE+QUOTE=5,所以QUOTE=1,由于a3>0,所以a3=1,由此可知a4=2,a5=1,…即數列{an}的奇數項均為1,偶數項均為2,所以a2021=1.當n為偶數時,Sn=QUOTE(a1+a2)=QUOTEn,當n為奇數時,Sn=QUOTE(a1+a2)+an=QUOTE+1=QUOTE.故Sn=答案:1Sn=三、解答題(每小題10分,共20分)9.(2021·天津模擬)已知等比數列{an}的前n項和為Sn,若S1,2S2,3S3成等差數列,且S4=QUOTE.(1)求數列{an}的通項公式.(2)求證Sn<QUOTE.【解析】(1)設等比數列{an}的公比為q.由于S1,2S2,3S3成等差數列,所以4S2=S1+3S3,即4(a1+a2)=a1+3(a1+a2+a3),所以a2=3a3,所以q=QUOTE=QUOTE.又S4=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,解得a1=1,(2)由(1)得【方法技巧】等差數列與等比數列的聯系與區(qū)分等差數列等比數列不同點(1)強調每一項與前一項的差(2)a1和d可以為0(3)任意兩實數的等差中項唯一(4)當m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)時am+an=ap+aq(1)強調每一項與前一項的比(2)a1與q均不為0(3)兩同號實數(不為0)的等比中項有兩個值(4)當m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)時aman=apaq

相同點(1)都強調每一項與其前一項的關系(2)結果都必需是常數(3)數列都可以由a1,d或a1,q確定聯系(1)若{an}為正項等比數列,則{logman}為等差數列,其中m>0,且m≠1(2){an}為等差數列,則為等比數列(3)非零常數列既是等差數列又是等比數列10.設f1(x)=2x-1,f2(x)=x2,數列{an}的前n項和為Sn,且Sn=f2(n),數列{bn}中,b1=2,bn=f1(bn-1).(1)求數列{an}的通項公式.(2)求證:數列{bn-1}是等比數列.【解析】(1)由題意知Sn=n2.當n≥2時,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,當n=1時,a1=S1=1也適合上式,故an=2n-1.(2)由題意知bn=2bn-1-1,即bn-1=2(bn-1-1),由于b1-1=1,所以{bn-1}是以2為公比,以1為首項的等比數列.(20分鐘40分)1.(5分)(2021·濟南模擬)已知等比數列{an}的前三項依次為a-1,a+1,a+4,則an=()【解析】選C.由題意知(a+1)2=(a-1)(a+4),解得a=5,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE,又a-1=4.所以數列{an}是公比為QUOTE,首項為4的等比數列,2.(5分)等比數列{an}的公比為q,則“a1>0,且q>1”是“對于任意正整數n,都有an+1>an”A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【解析】選A.易知,當a1>0,且q>1時,an>0,所以QUOTE=q>1,表明an+1>an;若對任意自然數n,都有an+1>an成立,當an>0時,同除以an得q>1,但當an<0時,同除以an得q<1.3.(5分)(2021·唐山模擬)已知數列{an}是等比數列,a1,a2,a3依次位于下表中第一行,其次行,第三行中的某一格內,又a1,a2,a3中任何兩個都不在同一列,則an=(n∈N*).第一列其次列第三列第一行1102其次行6144第三行9188【解析】觀看題中的表格可知a1,a2,a3分別為2,6,18,即{an}是首項為2,公比為3的等比數列,所以an=2·3n-1.答案:2·3n-1【加固訓練】下面給出一個“直角三角形數陣”QUOTE,QUOTEQUOTE,QUOTE,QUOTE……滿足每一列成等差數列,從第三行起,每一行的數成等比數列,且每一行的公比相等,記第i行第j列的數為aij(i≥j,i,j∈N*),則(1)anm=,(2)a83=.【解題提示】先求出成等差數列的第一列的通項,然后再求出第三行數列的公比.【解析】由已知第一列數列的通項為QUOTE,從第三行起各行等比數列的公比為QUOTE.答案:4.(12分)已知數列{an}滿足a1=1,an+1=2an+n+1,設bn=an+n+2(1)證明:數列{bn}是等比數列.(2)設數列{an}的前n項和為Sn,求an和Sn.【解析】(1)由bn=an+n+2,則QUOTE=QUOTE=QUOTE=2,又b1=a1+3=4,故{bn}是首項為4,公比為2的等比數列.(2)由(1)得bn=4·2n-1=2n+1,所以an=2n+1-n-2,故Sn=a1+a2+…+an=(22+23+…+2n+1)-(1+2+3+…+n)-2n=QUOTE-QUOTE-2n=2n+2-QUOTE-4.【加固訓練】已知數列{an}中,a1=1,a2=2,且an+1=(1+q)an-qan-1(n≥2,q≠0).(1)設bn=an+1-an(n∈N*),證明:{bn}是等比數列.(2)求數列{an}的通項公式.(3)若a3是a6與a9的等差中項,求q的值,并證明:對任意的n∈N*,an是an+3與an+6的等差中項.【解析】(1)由題設an+1=(1+q)an-qan-1(n≥2),得an+1-an=q(an-an-1),即bn=qbn-1,n≥2.由b1=a2-a1=1,q≠0,所以{bn}是首項為1,公比為q的等比數列.(2)由(1),a2-a1=1,a3-a2=q,…,an-an-1=qn-2(n≥2),將以上各式相加,得an-a1=1+q+…+qn-2(n≥2),即an=a1+1+q+…+qn-2(n≥2).上式對n=1明顯成立.(3)由(2),當q=1時,明顯a3不是a6與a9的等差中項,故q≠1,由a3-a6=a9-a3,可得q5-q2=q2-q8,由q≠0得q3-1=1-q6,①整理得(q3)2+q3-2=0,解得q3=-2.于是q=-QUOTE.由①可得an-an+3=an+6-an,所以對任意的n∈N*,an是an+3與an+6的等差中項.5.(13分)(力氣挑戰(zhàn)題)已知等比數列{an}滿足:|a2-a3|=10,a1a2(1)求數列{an}的通項公式.(2)是否存在正整數m,使得QUOTE+QUOTE+…+QUOTE≥1?若存在,求m的最小值;若不存在,說明理由.【解析】(1)設等比數列{an}的公比為q,則由已知可得故an=QUOTE·3n-1,或an=-5·(-1)n-1.(2)若an=QUOTE·3n-1,則QUOTE=QUOTE·故{QUOTE}是首項為QUOTE,公比為QUOTE的等比數列,若an=(-5)·(-1)n-1,則QUOTE=-QUOTE(-1)n-1,故{QUOTE}是首項為-QUOTE,公比為-1的等比數列,綜上,對任何正整數m,總有QUOTE<1.故不存在正整數m,使得QUOTE+QUOTE+…+QUOTE≥1成立.【方法技巧】解決數列探究性問題基本方法(1)對于條件開放的探究性問題,往往接受分析法,從結論和部分已知條件入手,執(zhí)果索因,導出所需的條件.(2)對于結論探究性問題,需要先得出一個結論,再進行證明.留意含有兩個變量的問題,變量歸一是常用的解題思想,一般把其中的一個變量轉化為另一個變量,依據題目條件,確定變量的值.數列中大小關系的探究問題可