【全程復習方略】2022屆高考數(shù)學(文科人教A版)大一輪課時作業(yè)：6.6-直接證明與間接證明-

溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調整合適的觀看比例，答案解析附后。關閉Word文檔返回原板塊。課時提升作業(yè)(三十七)直接證明與間接證明(25分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.(2021·周口模擬)用反證法證明命題:若a+b+c為偶數(shù),則“自然數(shù)a,b,c恰有一個偶數(shù)”時正確反設為()A.自然數(shù)a,b,c都是奇數(shù)B.自然數(shù)a,b,c都是偶數(shù)C.自然數(shù)a,b,c中至少有兩個偶數(shù)D.自然數(shù)a,b,c中都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù)【解析】選D.由于“自然數(shù)a,b,c中恰有一個偶數(shù)”的否定是“自然數(shù)a,b,c都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù)”,故選D.2.(2021·阜陽模擬)若a,b,c是不全相等的實數(shù),求證:a2+b2+c2>ab+bc+ca.證明過程如下:由于a,b,c∈R,所以a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,又由于a,b,c不全相等,所以以上三式至少有一個“=”不成立,所以將以上三式相加得2(a2+b2+c2)>2(ab+bc+ac),所以a2+b2+c2>ab+bc+ca.此證法是()A.分析法 B.綜合法C.分析法與綜合法并用 D.反證法【解析】選B.由已知條件入手證明結論成立,滿足綜合法的定義.3.(2021·東城模擬)在△ABC中,sinAsinC<cosAcosC,則△ABC確定是()A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.不確定【解析】選C.由sinAsinC<cosAcosC得cosAcosC-sinAsinC>0,即cos(A+C)>0,所以A+C是銳角,從而B>QUOTE,故△ABC必是鈍角三角形.4.設a,b∈R,已知p:a=b;q:QUOTE≤QUOTE,則p是q成立的()A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選B,p:a=b是q:QUOTE≤QUOTE成立的充分不必要條件.5.分析法又稱執(zhí)果索因法,若用分析法證明:“設a>b>c,且a+b+c=0,求證QUOTE<QUOTEa”索的因應是()A.a-b>0 B.a-c>0C.(a-b)(a-c)>0 D.(a-b)(a-c)<0【解析】選C.QUOTE<QUOTEa?b2-ac<3a2?(a+c)2-ac<3a2?a2+2ac+c2-ac-3a2<0?-2a2+ac+c2<0?2a2-ac-c2>0?(a-c)(2a+c)>0?(a-c)(a-b)>0.二、填空題(每小題5分,共15分)6.用反證法證明命題“若x2-(a+b)x+ab≠0,則x≠a且x≠b”時,應假設為.【解析】“x≠a且x≠b”的否定是“x=a或x=b”,因此應假設為x=a或x=b.答案:x=a或x=b【誤區(qū)警示】此題簡潔毀滅:”x=a且x=b”的錯誤答案.7.若P=QUOTE+QUOTE,Q=QUOTE+QUOTE(a≥0),則P,Q的大小關系是.【解析】由于P2=2a+7+2QUOTE=2a+7+2QUOTE,Q2=2a+7+2QUOTE=2a+7+2QUOTE,所以P2<Q2,又由于P>0,Q>0,所以P<Q.答案:P<Q8.(2021·銅陵模擬)設a,b是兩個實數(shù),給出下列條件:①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1.其中能推出:“a,b中至少有一個大于1”的條件是【解析】若a=QUOTE,b=QUOTE,則a+b>1,但a<1,b<1,故①推不出;若a=b=1,則a+b=2,故②推不出;若a=-2,b=-3,則a2+b2>2,故④推不出;若a=-2,b=-3,則ab>1,故⑤推不出;對于③,即a+b>2,則a,b中至少有一個大于1,反證法:假設a≤1且b≤1,則a+b≤2與a+b>2沖突,因此假設不成立,故a,b中至少有一個大于1.答案:③三、解答題(每小題10分,共20分)9.已知n≥0,試用分析法證明n+2-n+1<n【證明】要證原不等式成立,需證n+2+<2n+1只需證(n+2+n)2<(2n+1)只需證n+1>n2只需證(n+1)2>n2+2n,需證n2+2n+1>n2+2n,只需證1>0,由于1>0明顯成立,所以原不等式成立.【方法技巧】分析法解決問題的關鍵逆向思考是用分析法證題的主要思想,通過反推,逐步查找結論成立的充分條件,正確把握轉化方向是問題順當解決的關鍵.10.設直線l1:y=k1x+1,l2:y=k2x-1,其中實數(shù)k1,k2滿足k1k2+2=0.(1)證明l1與l2相交.(2)證明l1與l2的交點在橢圓2x2+y2=1上.【證明】(1)假設l1與l2不相交,則l1與l2平行,則有k1=k2,代入k1k2+2=0,得k12+2=0,這與k1為實數(shù)的事實相沖突,從而k1≠k2,即l1與l(2)由方程組解得交點P的坐標為（2k2-k此即表明交點P在橢圓2x2+y2=1上.【一題多解】解答本題(2)還可以使用以下方法.交點P的坐標(x,y)滿足代入k1k2+2=0,得y-1x·整理后,得2x2+y2=1,所以交點P在橢圓2x2+y2=1上.(20分鐘40分)1.(5分)(2021·青島模擬)設x,y,z>0,則三個數(shù)QUOTE+QUOTE,QUOTE+QUOTE,QUOTE+QUOTE()A.都大于2 B.至少有一個大于2C.至少有一個不小于2 D.至少有一個不大于2【解析】選C.由于x>0,y>0,z>0,所以QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE+QUOTE≥6,當且僅當x=y=z時等號成立,則三個數(shù)中至少有一個不小于2,故選C.2.(5分)(2021·池州模擬)若a,b,c是不全相等的正數(shù),給出下列推斷:①(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0;②a>b與a<b及a=b中至少有一個成立;③a≠c,b≠c,a≠b不能同時成立.其中推斷正確的個數(shù)是()A.0B.1C.2【解析】選C.由已知得①②正確,③中,a≠c,b≠c,a≠b可能同時成立,如a=1,b=2,c=3.3.(5分)下列條件:①ab>0,②ab<0,③a>0,b>0,④a<0,b<0,其中能使QUOTE+QUOTE≥2成立的條件的個數(shù)是.【解析】要使QUOTE+QUOTE≥2,只要QUOTE>0且QUOTE>0,即a,b不為0且同號即可,故有3個.答案:34.(12分)(2021·銀川模擬)如圖,幾何體ABC-EFD是由直三棱柱截得的,EF∥AB,∠ABC=90°,AC=2AB=2,CD=2AE=QUOTE,(1)求三棱錐D-BEC的體積.(2)求證:CE⊥DB.【解析】(1)由題意可證,EF⊥平面BCD,VD-BCE=VE-BCD=QUOTE·S△BCD·EF=QUOTE×QUOTE×QUOTE×QUOTE×1=QUOTE.(2)連接CF,依題意可得:AB⊥BF,AB⊥BC,而BF和BC是平面BFD內的兩條相交直線,故有AB⊥平面BFD.而BD在平面BFD內,故AB⊥BD.再由EF∥AB可得EF⊥BD.又在Rt△BCF和Rt△CDB中,由于QUOTE=QUOTE=QUOTE,QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,所以Rt△BCF∽Rt△CDB,所以∠BDC=∠BCF,所以∠BDC+∠DCF=∠BCF+∠DCF=90°,所以CF⊥BD.綜上可得,BD垂直于平面CEF內的兩條相交直線,故有BD⊥平面CEF.又CE?平面CEF,所以CE⊥DB.5.(13分)(力氣挑戰(zhàn)題)已知數(shù)列{An}:a1,a2,…,an.假如數(shù)列{Bn}:b1,b2,…,bn滿足b1=an,bk=ak-1+ak-bk-1,其中k=2,3,…,n,則稱{Bn}為{An}的“衍生數(shù)列”.(1)寫出數(shù)列{A4}:2,1,4,5的“衍生數(shù)列”{B4}.(2)若n為偶數(shù),且{An}的“衍生數(shù)列”是{Bn},證明:bn=a1.(3)若n為奇數(shù),且{An}的“衍生數(shù)列”是{Bn},{Bn}的“衍生數(shù)列”是{Cn},…,依次將數(shù)列{An},{Bn},{Cn},…首項取出,構成數(shù)列{Ω}:a1,b1,c1,…,證明:{Ω}是等差數(shù)列.【解析】(1){B4}:5,-2,7,2.(2)由于b1=an,b1+b2=a1+a2,b2+b3=a2+a3,…,bn-1+bn=an-1+an,由于n為偶數(shù),將上述n個等式中的第2,4,6,…,n這QUOTE個式子都乘以-1,相加得b1-(b1+b2)+(b2+b3)-…-(bn-1+bn)=an-(a1+a2)+(a2+a3)-…-(an-1+an),即-bn=-a1,bn=a1.(3)對于數(shù)列{An}及其“衍生數(shù)列”{Bn},由于b1=an,b1+b2=a1+a2,b2+b3=a2+a3,…,bn-1+bn=an-1+an,由于n為奇數(shù),將上述n個等式中的第2,4,6,…,n-1這QUOTE個式子都乘以-1,相加得b1-(b1+b2)+(b2+b3)-…+(bn-1+bn)=an-(a1+a2)+(a2+a3)-…+(an-1+an)即bn=an-a1+an=2an-a1.設數(shù)列{Bn}的“衍生數(shù)列”為{Cn},由于b1=an,c1=bn=2an-a1,所以2b1=a1+c1,即a1,b1,c1成等差數(shù)列.同理可證,b1,c1,d1;c1,d1,e1,…也成等差數(shù)列.從而{Ω}是等差數(shù)列.【加固訓練】(1)假如a,b都是正數(shù),且a≠b,求證a6+b6>a4b2+a2b4.(2)設a,b,c為△ABC的三條邊,求證(a+b+c)2<4(ab+bc+ca).【證明】(1)a6+b6-(a4b2+a2b4)=a4(a2-b2)-b4(a2-b2)=(a2-b2)2(a2+b2),由于a,b都是正數(shù),且a≠b,所以(a2-b2)2(a2+b2)>0,所以a6+b6>a4b2+a2b4.(2)要證原不等式成立,只需