【復(fù)習(xí)參考】2021年高考數(shù)學(xué)(理)提升演練：直線、平面垂直的判定及性質(zhì)

2021屆高三數(shù)學(xué)（理）提升演練：直線、平面垂直的判定及性質(zhì)一、選擇題1．給出以下命題，其中錯(cuò)誤的是()A．假如一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的很多條直線，則這條直線垂直于這個(gè)平面B．垂直于同一平面的兩條直線相互平行C．垂直于同始終線的兩個(gè)平面相互平行D．兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面2．設(shè)l，m是兩條不同的直線，α是一個(gè)平面，則下列命題正確的是()A．若l⊥m，m?α，則l⊥αB．若l⊥α，l∥m，則m⊥αC．若l∥α，m?α，則l∥mD．若l∥α，m∥α，則l∥m3．若m、n是兩條不同的直線，α、β、γ是三個(gè)不同的平面，則下列命題中的真命題是()A．若m?β，α⊥β，則m⊥αB．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，則α∥βC．若m⊥β，m∥α，則α⊥βD．若α⊥γ，α⊥β，則β⊥γ4．已知α，β，γ是三個(gè)不同的平面，命題“α∥β，且α⊥γ?β⊥γ”是真命題，假如把α，β，γ中的任意兩個(gè)換成直線，另一個(gè)保持不變，在所得的全部新命題中，真命題有()A．0個(gè) B．1個(gè)C．2個(gè) D．3個(gè)5．已知兩條直線m，n，兩個(gè)平面α，β，給出下面四個(gè)命題：①m∥n，m⊥α?n⊥α；②α∥β，m?α，n?β?m∥n；③m∥n，m∥α?n∥α；④α∥β，m∥n，m⊥α?n⊥β.其中正確命題的序號(hào)是()A．①③ B．②④C．①④ D．②③6．如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝eq\r(2)，BD⊥CD.將四邊形ABCD沿對(duì)角線BD折成四周體A′－BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，則下列結(jié)論正確的是()A．A′C⊥BDB．∠BA′C＝90°C．CA′與平面A′BD所成的角為30°D．四周體A′－BCD的體積為eq\f(1,3)二、填空題7．已知直線l，m，n，平面α，m?α，n?α，則“l(fā)⊥α”是“l(fā)⊥m且l⊥n”的________條件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”“既不充分也不必要”)8．正四棱錐S－ABCD的底面邊長(zhǎng)為2，高為2，E是邊BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在表面上運(yùn)動(dòng)，并且總保持PE⊥AC，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的周長(zhǎng)為_(kāi)_______．9．如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足__________時(shí)，平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫(xiě)個(gè)你認(rèn)為是正確的條件即可)三、解答題10.三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC＝BC＝AA1＝2，∠ACB＝90°，E為BB1的中點(diǎn)，∠A1DE＝90°，求證：CD⊥平面A1ABB1.11.如圖，三棱錐A－BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F(xiàn)分別是AC，AD上的動(dòng)點(diǎn)，且eq\f(AE,AC)＝eq\f(AF,AD)＝λ(0＜λ＜1)．(1)求證：不論λ為何值，總有平面BEF⊥平面ABC；(2)當(dāng)λ為何值時(shí)，平面BEF⊥平面ACD.12．如圖，直角三角形BCD所在的平面垂直于正三角形ABC所在的平面，其中DC⊥CB，PA⊥平面ABC，DC＝BC＝2PA，E、F分別為DB、CB的中點(diǎn)．(1)證明：AE⊥BC；(2)求直線PF與平面BCD所成的角．詳解答案一、選擇題1．解析：一條直線可以垂直于一個(gè)平面內(nèi)的很多條平行直線，但這條直線不垂直這個(gè)平面．答案：A2．解析：依據(jù)定理：兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，另一條也垂直于這個(gè)平面可知B正確．答案：B3．解析：對(duì)于A，由m?β，α⊥β明顯不能得知m⊥α；對(duì)于B，由條件也不能確定α∥β；對(duì)于C，由m∥α得，在平面α上必存在直線l∥m.又m⊥β，因此l⊥β，且l?α，故α⊥β；對(duì)于D，垂直于同一平面的兩個(gè)平面不肯定垂直，因此D也不正確．答案：C4．解析：若α，β?lián)Q為直線a，b，則命題化為“a∥b，且a⊥γ?b⊥γ”，此命題為真命題；若α，γ換為直線a，b，則命題化為“a∥β，且a⊥b?b⊥β”，此命題為假命題；若β，γ換為直線a，b，則命題化為“a∥α，且b⊥α?a⊥b”，此命題為真命題，故選C.答案：C5．解析：對(duì)于①，由于兩條平行線中的一條直線與一個(gè)平面垂直，則另一條直線也與該平面垂直，因此①是正確的；對(duì)于②，分別位于兩個(gè)平行平面內(nèi)的兩條直線必沒(méi)有公共點(diǎn)，但它們不肯定平行，因此②是錯(cuò)誤的；對(duì)于③，直線n可能位于平面α內(nèi)，此時(shí)結(jié)論明顯不成立，因此③是錯(cuò)誤的；對(duì)于④，由m⊥α且α∥β得m⊥β，又m∥n，故n⊥β，因此④是正確的．答案：C6．解析：取BD的中點(diǎn)O，∵A′B＝A′D，∴A′O⊥BD，又平面A′BD⊥平面BCD，平面A′BD∩平面BCD＝BD，∴A′O⊥平面BCD，∵CD⊥BD，∴OC不垂直于BD.假設(shè)A′C⊥BD，∵OC為A′C在平面BCD內(nèi)的射影，∴OC⊥BD，沖突，∴A′C不垂直于BD，A錯(cuò)誤；∵CD⊥BD，平面A′BD⊥平面BCD，∴CD⊥平面A′BD，A′C在平面A′BD內(nèi)的射影為A′D，∵A′B＝A′D＝1，BD＝eq\r(2)，∴A′B⊥A′D，A′B⊥A′C，B正確；∠CA′D為直線CA′與平面A′BD所成的角，∠CA′D＝45°，C錯(cuò)誤；VA′－BCD＝eq\f(1,3)S△A′BD·CD＝eq\f(1,6)，D錯(cuò)誤．答案：B二、填空題7．解析：若l⊥α，則l垂直于平面α內(nèi)的任意直線，故l⊥m且l⊥n，但若l⊥m且l⊥n，不能得出l⊥α.答案：充分不必要8．解析：如圖，取CD的中點(diǎn)F、SC的中點(diǎn)G，連接EF，EG，F(xiàn)G，設(shè)EF交AC于點(diǎn)H，易知AC⊥EF，又GH∥SO，∴GH⊥平面ABCD.∴AC⊥GH.又GH∩EF＝H，∴AC⊥平面EFG.故點(diǎn)P的軌跡是△EFG，其周長(zhǎng)為eq\r(2)＋eq\r(6).答案：eq\r(2)＋eq\r(6)9．解析：由PA⊥BD，AC⊥BD可得BD⊥平面PAC，所以BD⊥PC.所以當(dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)時(shí)，即有PC⊥平面MBD，而PC?平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)三、解答題10.證明：∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，∴AB＝2eq\r(2).設(shè)AD＝x，則BD＝2eq\r(2)－x，∴A1D2＝4＋x2，DE2＝1＋(2eq\r(2)－x)2，A1E2＝(2eq\r(2))2＋1.∵∠A1DE＝90°，∴A1D2＋DE2＝A1E2.∴x＝eq\r(2).∴D為AB的中點(diǎn)．∴CD⊥AB.又AA1⊥CD且AA1∩AB＝A，∴CD⊥平面A1ABB1.11.解：(1)∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.∵CD⊥BC，且AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.又∵eq\f(AE,AC)＝eq\f(AF,AD)＝λ(0＜λ＜1)，∴不論λ為何值，恒有EF∥CD.∴EF⊥平面ABC，EF?平面BEF.∴不論λ為何值恒有平面BEF⊥平面ABC.(2)由(1)知，BE⊥EF，∵平面BEF⊥平面ACD，∴BE⊥平面ACD.∴BE⊥AC.∵BC＝CD＝1，∠BCD＝90°，∠ADB＝60°，∴BD＝eq\r(2)，AB＝eq\r(2)tan60°＝eq\r(6).∴AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(7).由AB2＝AE·AC，得AE＝eq\f(6,\r(7)).∴λ＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(6,7).12．解：(1)證明：連接EF，AF.由于E、F分別是BD、BC的中點(diǎn)，所以EF∥DC.又DC⊥BC，所以EF⊥BC.由于△ABC為等邊三角形，所以BC⊥AF.EF∩AF＝F所以BC⊥平面AEF，又AE?平面AEF，故BC⊥AE.(2)連接PE.由于平面BCD⊥平面ABC，DC⊥BC，AF⊥BC，所以DC⊥平面ABC，AF⊥平面BCD.由于PA⊥平面ABC，PA＝eq\f(1,2)DC，所以PA綊eq\f(1,2)DC.又由于EF綊eq\f(1,2)DC，所