【三維設計】2021-2022學年新課標A版數(shù)學選修1-2習題-階段質(zhì)量推理與證明檢測(二)

推理與證明一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分)1．觀看下列各等式：eq\f(2,2－4)＋eq\f(6,6－4)＝2，eq\f(5,5－4)＋eq\f(3,3－4)＝2，eq\f(7,7－4)＋eq\f(1,1－4)＝2，eq\f(10,10－4)＋eq\f(－2,－2－4)＝2，依照以上各式成立的規(guī)律，得到一般性的等式為()A.eq\f(n,n－4)＋eq\f(8－n,8－n－4)＝2B.eq\f(n＋1,n＋1－4)＋eq\f(n＋1＋5,n＋1－4)＝2C.eq\f(n,n－4)＋eq\f(n＋4,n＋4－4)＝2D.eq\f(n＋1,n＋1－4)＋eq\f(n＋5,n＋5－4)＝2解析：選A觀看分子中2＋6＝5＋3＝7＋1＝10＋(－2)＝8.2．下列三句話按“三段論”模式排列挨次正確的是()①y＝cosx(x∈R)是三角函數(shù)；②三角函數(shù)是周期函數(shù)；③y＝cosx(x∈R)是周期函數(shù)．A．①②③ B．②①③C．②③① D．③②①解析：選B按三段論的模式，排列挨次正確的是②①③.3．由“正三角形的內(nèi)切圓切于三邊的中點”可類比猜想：“正四周體的內(nèi)切球切于四個面________．”()A．各正三角形內(nèi)一點 B．各正三角形的某高線上的點C．各正三角形的中心 D．各正三角形外的某點解析：選C正三角形的邊對應正四周體的面，邊的中點對應正四周體的面正三角形的中心．4．已知a∈(0，＋∞)，不等式x＋eq\f(1,x)≥2，x＋eq\f(4,x2)≥3，x＋eq\f(27,x3)≥4，…，可推廣為x＋eq\f(a,xn)≥n＋1，則a的值為()A．2n B．n2C．22(n－1) D．nn解析：選D將四個答案分別用n＝1,2,3檢驗即可，故選D.5．下列四類函數(shù)中，具有性質(zhì)“對任意的x>0，y>0，函數(shù)f(x)滿足[f(x)]y＝f(xy)”的是()A．指數(shù)函數(shù) B．對數(shù)函數(shù)C．一次函數(shù) D．余弦函數(shù)解析：選A當函數(shù)f(x)＝ax(a>0，a≠1)時，對任意的x>0，y>0，有[f(x)]y＝(ax)y＝axy＝f(xy)，即指數(shù)函數(shù)f(x)＝ax(a>0，a≠1)滿足[f(x)]y＝f(xy)，可以檢驗，B，C，D選項均不滿足要求．6．用火柴棒擺“金魚”，如圖所示：依據(jù)上面的規(guī)律，第n個“金魚”圖形需要火柴棒的根數(shù)為()A．6n－2 B．8n－2C．6n＋2 D．8n＋2解析：選C歸納“金魚”圖形的構(gòu)成規(guī)律知，后面“金魚”都比它前面的“金魚”多了去掉尾巴后6根火柴組成的魚頭部分，故各“金魚”圖形所用火柴棒的根數(shù)構(gòu)成一首項為8，公差是6的等差數(shù)列，通項公式為an＝6n＋2.7．將平面對量的數(shù)量積運算與實數(shù)的乘法運算相類比，易得下列結(jié)論：()①a·b＝b·a；②(a·b)·c＝a·(b·c)；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c；④由a·b＝a·c(a≠0)可得b＝c.則正確的結(jié)論有()A．1個 B．2個C．3個 D．4個解析：選B平面對量的數(shù)量積的運算滿足交換律和支配律，不滿足結(jié)合律，故①③正確，②錯誤；由a·b＝a·c(a≠0)得a·(b－c)＝0，從而b－c＝0或a⊥(b－c)，故④錯誤．8．觀看下列事實：|x|＋|y|＝1的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為4，|x|＋|y|＝2的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為8，|x|＋|y|＝3的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為12，…，則|x|＋|y|＝20的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為()A．76 B．80C．86 D．92解析：選B通過觀看可以發(fā)覺|x|＋|y|的值為1,2,3時，對應的(x，y)的不同整數(shù)解的個數(shù)為4,8,12，可推出當|x|＋|y|＝n時，對應的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為4n，所以|x|＋|y|＝20的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為80.9．觀看下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10＝()A．28 B．76C．123 D．199解析：選C記an＋bn＝f(n)，則f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通過觀看不難發(fā)覺f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，則f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.10．數(shù)列{an}滿足a1＝eq\f(1,2)，an＋1＝1－eq\f(1,an)，則a2013等于()A.eq\f(1,2) B.－1C．2 D．3解析：選C∵a1＝eq\f(1,2)，an＋1＝1－eq\f(1,an)，∴a2＝1－eq\f(1,a1)＝－1，a3＝1－eq\f(1,a2)＝2，a4＝1－eq\f(1,a3)＝eq\f(1,2)，a5＝1－eq\f(1,a4)＝－1，a6＝1－eq\f(1,a5)＝2，∴an＋3k＝an(n∈N*，k∈N*)∴a2013＝a3＋3×670＝a3＝2.二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)11．已知圓的方程是x2＋y2＝r2，則經(jīng)過圓上一點M(x0，y0)的切線方程為x0x＋y0y＝r2.類比上述性質(zhì)，可以得到橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1類似的性質(zhì)為________________．解析：圓的性質(zhì)中，經(jīng)過圓上一點M(x0，y0)的切線方程就是將圓的方程中的一個x與y分別用M(x0，y0)的橫坐標與縱坐標替換．故可得橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1類似的性質(zhì)為：過橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1上一點P(x0，y0)的切線方程為eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1.答案：經(jīng)過橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1上一點P(x0，y0)的切線方程為eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝112．已知eq\r(2＋\f(2,3))＝2eq\r(\f(2,3))，eq\r(3＋\f(3,8))＝3eq\r(\f(3,8))，eq\r(4＋\f(4,15))＝4eq\r(\f(4,15))，…，若eq\r(6＋\f(a,b))＝6eq\r(\f(a,b))(a，b均為實數(shù))，請推想a＝________，b＝________.解析：由前面三個等式，推想歸納被平方數(shù)的整數(shù)與分數(shù)的關系，發(fā)覺規(guī)律，由三個等式知，整數(shù)和這個分數(shù)的分子相同，而分母是這個分子的平方減1，由此推想eq\r(6＋\f(a,b))中：a＝6，b＝62－1＝35，即a＝6，b＝35.答案：63513．若定義在區(qū)間D上的函數(shù)f(x)對于D上的n個值x1，x2，…，xn，總滿足eq\f(1,n)[f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)]≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋…＋xn,n)))，稱函數(shù)f(x)為D上的凸函數(shù)；現(xiàn)已知f(x)＝sinx在(0，π)上是凸函數(shù)，則△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值是________．解析：由于f(x)＝sinx在(0，π)上是凸函數(shù)(小前提)，所以eq\f(1,3)(sinA＋sinB＋sinC)≤sineq\f(A＋B＋C,3)(結(jié)論)，即sinA＋sinB＋sinC≤3sineq\f(π,3)＝eq\f(3\r(3),2).因此，sinA＋sinB＋sinC的最大值是eq\f(3\r(3),2).答案：eq\f(3\r(3),2)14．觀看下圖：12343456745678910……則第________行的各數(shù)之和等于20132.解析：觀看知，圖中的第n行各數(shù)構(gòu)成一個首項為n，公差為1，共2n－1項的等差數(shù)列，其各項和為Sn＝(2n－1)n＋eq\f(2n－12n－2,2)＝(2n－1)n＋(2n－1)(n－1)＝(2n－1)2，令(2n－1)2＝20132，得2n－1＝2013，解得n＝1007.答案：1007三、解答題(本大題共4小題，共50分．解答時應寫出文字說明，證明過程或運算步驟．)15．(本小題滿分12分)(本小題滿分12分)觀看①sin210°＋cos240°＋sin10°·cos40°＝eq\f(3,4)；②sin26°＋cos236°＋sin6°cos36°＝eq\f(3,4).由上面兩題的結(jié)構(gòu)規(guī)律，你能否提出一個猜想？并證明你的猜想．解：猜想：sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinαcos(30°＋α)＝eq\f(3,4).證明如下：sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinαcos(30°＋α)＝eq\f(1－cos2α,2)＋eq\f(1＋cos60°＋2α,2)＋eq\f(1,2)[sin(30°＋2α)＋sin(－30°)]＝1＋eq\f(cos60°＋2α－cos2α,2)＋eq\f(1,2)sin(2α＋30°)－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)＋eq\f(1,2)[cos60°·cos2α－sin60°sin2α－cos2α]＋eq\f(1,2)sin(2α＋30°)＝eq\f(3,4)－eq\f(1,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cos2α＋\f(\r(3),2)sin2α))＋eq\f(1,2)sin(2α＋30°)＝eq\f(3,4)－eq\f(1,2)sin(2α＋30°)＋eq\f(1,2)sin(2α＋30°)＝eq\f(3,4)，即sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinα·cos(30°＋α)＝eq\f(3,4).16．(本小題滿分12分)(本小題滿分12分)已知△ABC的三邊長分別為a，b，c，且其中任意兩邊長均不相等，若eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)成等差數(shù)列．(1)比較eq\r(\f(b,a))與eq\r(\f(c,b))的大小，并證明你的結(jié)論；(2)求證：角B不行能是鈍角．解：(1)eq\r(\f(b,a))＜eq\r(\f(c,b)).證明如下：要證eq\r(\f(b,a))＜eq\r(\f(c,b))，只需證eq\f(b,a)＜eq\f(c,b).∵a，b，c＞0，∴只需證b2＜ac.∵eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)成等差數(shù)列，∴eq\f(2,b)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)≥2eq\r(\f(1,ac))，∴b2≤ac.又a，b，c均不相等，∴b2＜ac.故所得大小關系正確．(2)證明：法一：假設角B是鈍角，則cosB＜0.由余弦定理得，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)≥eq\f(2ac－b2,2ac)＞eq\f(ac－b2,2ac)＞0，這與cosB＜0沖突，故假設不成立．所以角B不行能是鈍角．法二：假設角B是鈍角，則角B的對邊b為最大邊，即b＞a，b＞c，所以eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)＞0，eq\f(1,c)＞eq\f(1,b)＞0，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)＞eq\f(1,b)＋eq\f(1,b)＝eq\f(2,b)，這與eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)＝eq\f(2,b)沖突，故假設不成立．所以角B不行能是鈍角．17．(本小題滿分12分)(本小題滿分12分)我們已經(jīng)學過了等比數(shù)列，你有沒有想到是否也有等積數(shù)列呢？(1)類比“等比數(shù)列”，請你給出“等積數(shù)列”的定義．(2)若{an}是等積數(shù)列，且首項a1＝2，公積為6，試寫出{an}的通項公式及前n項和公式．解：(1)假如一個數(shù)列從第2項起，每一項與它前一項的乘積是同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等積數(shù)列，其中，這個常數(shù)叫做公積．(2)由于{an}是等積數(shù)列，且首項a1＝2，公積為6，所以a2＝3，a3＝2，a4＝3，a5＝2，a6＝3，…，即{an}的全部奇數(shù)項都等于2，偶數(shù)項都等于3，因此{an}的通項公式為an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，n為奇數(shù)，,3，n為偶數(shù).))其前n項和公式Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(5n,2)，n為偶數(shù)，,\f(5n－1,2)＋2＝\f(5n－1,2)，n為奇數(shù).))18．(本小題滿分14分)將數(shù)列{an}中的全部項按每一行比上一行多一項的規(guī)章排成如下數(shù)表：a1a2aa4a5a7a8a9…記表中的第一列數(shù)a1，a2，a4，a7，…構(gòu)成的數(shù)列為{bn}，b1＝a1＝1.Sn為數(shù)列{bn}的前n項和，且滿足eq\f(2bn,bnSn－S\o\al(2,n))＝1(n≥2)．(1)證明數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))成等差數(shù)列，并求數(shù)列{bn}的通項公式；(2)上面數(shù)表中，若從第三行起，每一行中的數(shù)按從左到右的挨次均構(gòu)成等比數(shù)列，且公比為同一個正數(shù)．當a81＝－eq\f(4,91)時，求上表中第k(k≥3)行全部項的和．解：(1)由已知，當n≥2時，eq\f(2bn,bnSn－S\o\al(2,