【全程復習方略】2020-2021學年高中數(shù)學(北師大版)必修二課時作業(yè)-1.6.1垂直關(guān)系的判定

溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調(diào)整合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉Word文檔返回原板塊。課時提升作業(yè)(九)垂直關(guān)系的判定一、選擇題(每小題3分，共18分)1.(2022·淮北高一檢測)三棱錐的四個面中直角三角形最多有()A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【解析】選D.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，選取頂點D1，D，A，B構(gòu)成三棱錐D1-2.下列說法中正確的個數(shù)是()①假如直線l與平面α內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則l⊥α；②假如直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線垂直，則l⊥α；③假如直線l不垂直于α，則α內(nèi)沒有與l垂直的直線；④假如直線l不垂直于α，則α內(nèi)也可以有很多條直線與l垂直.A.0個 B.1個 C.2個 D.3個【解析】選D.由直線和平面垂直的定理知①對，由直線與平面垂直的定義知②正確，當l與α不垂直時，l可能與α內(nèi)的很多條直線垂直，故③不對，④正確.3.(2022·遼寧高考)已知m，n表示兩條不同的直線，α表示平面，下列說法正確的是()A.若m∥α，n∥α，則m∥n B.若m⊥α，nα，則m⊥nC.若m⊥α，m⊥n，則n∥α D.若m∥α，m⊥n，則n⊥α【解析】選B.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1直線AA1，AB1分別與平面CC1D1D平行，但是直線AA1，AB1相交，故選項A錯誤；依據(jù)線面垂直的定義，一條直線垂直一個平面，則該直線垂直于平面內(nèi)的任一條直線，可見選項B正確；直線AA1⊥平面ABCD，AA1⊥BC，但直線BC平面ABCD，故選項C錯誤；直線AA1∥平面CC1D1D，AA1⊥CD，但直線CD平面CC1D1D，故選項D錯誤.4.(2022·泰安高一檢測)三棱錐P-ABC中，∠ABC=90°，PA=PB=PC，則下列說法正確的是()A.平面PAC⊥平面ABC B.平面PAB⊥平面PBCC.PB⊥平面ABC D.BC⊥平面PAB【解析】選A.如圖，由于∠ABC=90°，PA=PB=PC，所以點P在底面的射影落在△ABC的斜邊的中點O處，連接OB，OP，則PO⊥OB，又PA=PC，所以PO⊥AC，且AC∩OB=O，所以PO⊥平面ABC，又PO平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC.5.在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，PA⊥平面ABC，PA=8，則P到BC的距離是()A.5 B.2 C.35 D.45【解析】選D.如圖所示，作PD⊥BC于D，連接AD，由于PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，PD∩PA=P，所以CB⊥平面PAD，所以AD⊥BC.由于AB=AC，所以CD=BD=3.在Rt△ACD中，AC=5，CD=3，所以AD=4，在Rt△PAD中，PA=8，AD=4，所以PD=82+46.(2021·蘭州高一檢測)長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=23，CC1=2，則二面角C1-BD-C的大小為A.30° B.45° C.60° D.90°【解析】選A.由于ABCD-A1B1C1D1所以CC1⊥平面ABCD，所以BD⊥CC1.由于ABCD是矩形，且AB=AD，所以ABCD是正方形，所以BD⊥AC.又AC∩CC1=C，所以BD⊥平面AA1C所以∠COC1是二面角C1-BD-C的平面角，Rt△CC1O中∠C1CO=90°，CC1=2，OC=22BC=22×23=所以tan∠COC1=CC1OC=2所以∠COC1=30°.二、填空題(每小題4分，共12分)7.(2022·杭州高二檢測)四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為a的正方形，側(cè)棱PA=a，PB=PD=2a，則PC=________.【解析】連接AC，由于PA=AB=a，PB=2a，所以PA2+AB2=PB2，所以PA⊥AB，同理可證PA⊥AD，又AB∩AD=A，所以PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AC，故PC=PA2+AC2答案：3a8.(2022·西安高一檢測)平行四邊形ABCD的對角線交于點O，點P在□ABCD所在平面外，且PA=PC，PD=PB，則PO與平面ABCD的位置關(guān)系是________.【解析】由于AO=CO，PA=PC，所以PO⊥AC，由于BO=DO，PD=PB，所以PO⊥BD.又AC∩BD=O，所以PO⊥平面ABCD.答案：PO⊥平面ABCD9.如圖，正四棱錐P-ABCD中，PO⊥底面ABCD，O為正方形ABCD的中心，PO=1，AB=2，則二面角P-AB-D的大小為________.【解題指南】先找二面角的平面角，然后放在直角三角形中求解.【解析】如圖所示，取AB中點E，連接PE，OE.由O為正方形ABCD的中心知AB⊥EO.由PA=PB，E為AB中點，知AB⊥EP，所以∠PEO為二面角P-AB-D的平面角，在Rt△PEO中，tan∠PEO=POOE=PO12AB=答案：45°三、解答題(每小題10分，共20分)10.如圖，在錐體P-ABCD中，ABCD是菱形，且∠DAB=60°，PA=PD，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點.證明：AD⊥平面DEF.【證明】取AD的中點G，連接PG，BG，由于PA=PD，所以AD⊥PG.設(shè)菱形ABCD邊長為1，在△ABG中，由于∠GAB=60°，AG=12所以∠AGB=90°，即AD⊥GB.又PG∩GB=G，所以AD⊥平面PGB，所以AD⊥PB.由于E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點，所以EF∥PB，AD⊥EF，又DE∥GB，AD⊥GB，所以AD⊥DE，又DE∩EF=E，所以AD⊥平面DEF.11.(2022·江蘇高考)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分別是棱BC，CC1上的點(點D不同于點C)，且AD⊥DE，F(xiàn)為B1求證：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)直線A1F∥【解題指南】(1)關(guān)鍵在平面ADE與平面BCC1B1中的一個平面上找一條直線與另一個平面垂直.(2)關(guān)鍵在平面ADE內(nèi)找一條直線與直線A1F【證明】(1)D，E分別是棱BC，CC1上的點(點D不同于點C)，且AD⊥DE，又因三棱柱ABC-A1B1C1所以有BB1⊥平面ADC，即有AD⊥BB1.又在平面BCC1B1內(nèi)BB1與DE必相交，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1A1B1=A1C1又由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以AD⊥BC，所以D為邊BC上的中點，連接DF，得AA1FD為平行四邊形，故A1F∥AD，又AD平面ADE，A1F?平面ADE，所以直線A1F【拓展延長】利用直線與平面垂直的判定定理判定直線與平面垂直的技巧證明線面垂直時要留意分析幾何圖形，查找隱含的和題目中推導出的線線垂直關(guān)系，進而證明線面垂直.三角形全等，等腰三角形、梯形底邊的中線、高，菱形、正方形的對角線，三角形中的勾股定理等都是找線線垂直的方法.一、選擇題(每小題4分，共16分)1.下列命題正確的是()①過平面外一點有且僅有一個平面與已知平面垂直；②假如一條直線和兩個垂直平面中的一個垂直，它必和另一個平面平行；③過不在平面內(nèi)的一條直線可作很多個平面與已知平面垂直；④假如兩個平面相互垂直，經(jīng)過一個平面內(nèi)一點與另一平面垂直的直線在第一個平面內(nèi).A.①③ B.②③ C.②③④ D.④【解析】選D.過平面外一點可作一條直線與平面垂直，過該直線的任何一個平面都與已知平面垂直，所以①不對；若α⊥β，a⊥α，則aβ或a∥β，所以②不對；當平面外的直線是平面的垂線時，能作很多個平面與已知平面垂直，否則只能作一個，所以③也不對.2.(2022·漢中高一檢測)設(shè)α，β，γ為兩兩不重合的平面，l，m，n為兩兩不重合的直線，給出下列三個命題：①若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β；②若α∥β，lα，則l∥β；③若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，l∥γ，則m∥n.其中真命題的個數(shù)為()A.0 B.1 C.2 【解析】選C.①中α與β可能相交，②③正確.3.(2022·吉安高二檢測)已知PA⊥矩形ABCD所在的平面如圖所示，圖中相互垂直的平面有()A.1對 B.2對C.5對 D.4對【解析】選C.由于DA⊥AB，DA⊥PA，AB∩PA=A，所以DA⊥平面PAB，同理BC⊥平面PAB，AB⊥平面PAD，DC⊥平面PAD，所以平面ABCD⊥平面PAD，平面ABCD⊥平面PAB，平面PBC⊥平面PAB，平面PDC⊥平PAD，平面PAB⊥平面PAD.4.如圖，四邊形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=2，BD⊥CD，將四邊形ABCD沿對角線BD折成四周體A′-BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，則下列結(jié)論正確的是()A.A′C⊥BD B.∠BA′C=90°C.△A′DC是正三角形 D.四周體A′-BCD的體積為1【解析】選B.若A′C⊥BD，又已知BD⊥CD，則BD⊥平面A′CD，即BD⊥A′D，與已知BD與A′D不垂直沖突，故A′C⊥BD不正確.由BD⊥CD，平面A′BD⊥平面BCD，我們易得CD⊥平面A′BD，所以CD⊥A′B，又由AB=AD=1，BD=2，可得A′B⊥A′D，又A′D∩CD=D，則A′B垂直于平面A′CD，所以∠BA′C=90°，故B正確.由CD⊥平面A′BD得CD⊥A′D，即△A′DC是直角三角形，故C錯誤；由于四周體A′-BCD的體積V=13×CD×S△A′BD=1二、填空題(每小題5分，共10分)5.(2022·哈爾濱高一檢測)四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，其他四個側(cè)面都是側(cè)棱長為5的等腰三角形，則二面角V-AB-C的大小為________.【解析】取AB，CD的中點E，F(xiàn)，連接VE，VF，EF，由于底面ABCD是邊長為2的正方形，側(cè)面都是棱長為5的等腰三角形，所以VE⊥AB，EF⊥AB，所以∠VEF即為二面角V-AB-C的平面角.又EF=BC=2，VE=VA故△VEF為等邊三角形，所以∠VEF=60°.答案：60°6.(2022·馬鞍山高一檢測)在空間四邊形ABCD中，△ABD，△CBD都是邊長為1的正三角形，且平面ABD⊥平面CBD，E，F(xiàn)，G，H為空間四邊形AB，AD，CD，BC邊上的中點，則四邊形EFGH的面積是________.【解析】依題意，作圖如下：取BD的中點為O，連接AO，CO，由于△ABD，△CBD都是邊長為1的正三角形，所以AO⊥BD，CO⊥BD，AO∩CO=O，所以BD⊥平面AOC，AC平面AOC，所以BD⊥AC.由于E，F(xiàn)，G，H為空間四邊形AB，AD，CD，BC邊上的中點，所以EFGH12BD=12，F(xiàn)GEH12AC，由于BD⊥AC，故EF⊥FG，即四邊形EFGH為矩形.在等腰直角三角形AOC中，AC2=AO2+CO2=322+32所以AC=62，故FG=6所以四邊形EFGH的面積S=EF·FG=12×64=答案：6三、解答題(每小題12分，共24分)7.(2022·宿州高一檢測)在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥BC，∠A1AC=60°，AA1=AC=BC=1，A1B=(1)求證：平面A1BC⊥平面ACC1A1(2)假如D為AB的中點，求證：BC1∥平面A1DC.【證明】(1)在△A1AC中，∠A1AC=60°，AA所以A1C=1，在△A1BC中，BC=1，A1C=1，A1B=由于BC2+A1C2=A1B2，所以BC⊥A1又AA1⊥BC，AA1∩A1C=A1所以BC⊥平面ACC1A1由于BC平面A1BC，所以平面A1BC⊥平面ACC1A1(2)連接AC1，交A1C則由D為AB中點，O為AC1中點得，OD∥BC1，OD平面A1DC，BC1?平面A1DC，所以BC1∥平面A1DC.【變式訓練】如圖，已知三棱錐P-ABC，∠ACB=90°，D為AB的中點，且△PDB是正三角形，PA⊥PC.求證：(1)PA⊥平面PBC.(2)平面PAC⊥平面ABC.【解題指南】(1)關(guān)鍵是依據(jù)△PDB是正三角形，D是AB的中點證明PA⊥PB.(2)關(guān)鍵是證明BC⊥平面PAC.【證明】(1)由于△PDB是正三角形，所以∠BPD=60°.由于D是AB的中點，所以AD=BD=PD.又∠ADP=120°，所以∠DPA=30°，所以∠DPA+∠BPD=90°，即∠APB=90°，所以PA⊥PB.又PA⊥PC，PB∩PC=P，所以PA⊥平面PBC.(2)由于PA⊥平面PBC，所以PA⊥BC.由于∠ACB=90°，所以AC⊥BC.又PA∩AC=A，所以BC⊥平面PAC.由于BC平面ABC，所以平面PAC⊥平面ABC.8.(2022·武漢高二檢測)如圖，在四周體ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1，(1)設(shè)P為AC的中點，證明：在AB上存在一點Q，使PQ⊥OA，并計算AB(2)求二面角O-AC-B的平面角的余弦值.【解析】(1)在平面OAB內(nèi)作ON⊥OA交AB于N，連接NC，又OA⊥OC，ON∩OC=O，所以O(shè)A⊥平面ONC.由于NC平面ONC，所以O(shè)A⊥NC，取Q為AN的中點，連接PQ.則PQ∥NC，所以PQ⊥OA.在等腰△AOB中，∠AOB=120°，所以∠OAB=∠OBA=30°.在Rt△AON中，∠OAN=30°，所以O(shè)N=12在△ONB中，∠NOB=120°-90°=30°=∠NBO，所以NB=ON=AQ，所以AB(2)連接PN，PO.由于OC⊥OA，OC⊥OB，OA∩OB=O，所以O(shè)C⊥平面OAB.又ON平面OAB，所以O(shè)C⊥ON，又由ON⊥OA，OA∩OC=O，所以O(shè)N⊥平面AO