【優(yōu)教通-同步備課】高中數(shù)學(xué)(北師大版)必修五教案：1.1-拓展資料：常見的新定義數(shù)列問題

常見的新定義數(shù)列問題近年高考中，經(jīng)常毀滅新定義數(shù)列的考題．題目經(jīng)常給出一種新數(shù)列的定義，通過閱讀與理解題意，完成相關(guān)的問題．這是一類創(chuàng)新題型，需要對(duì)已經(jīng)學(xué)過的數(shù)列學(xué)問理解徹透，并學(xué)會(huì)機(jī)敏運(yùn)用這些學(xué)問去解決相關(guān)問題．一、等和數(shù)列（2004·北京）定義“等和數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，假如每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和．已知數(shù)列是等和數(shù)列，且，公和為，那么的值為，且這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和的值為．先對(duì)等和數(shù)列進(jìn)行一般性的探討．設(shè)是等和數(shù)列，公和為，則由等和數(shù)列的定義知，數(shù)列的各項(xiàng)依次為即為奇數(shù)；為偶數(shù)．為奇數(shù)；為偶數(shù)．為奇數(shù)；為偶數(shù)．為奇數(shù)；為偶數(shù)．由于，公和為，所以，．二、等積數(shù)列（2005·保定市高考模擬）在一個(gè)數(shù)列中，若每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的積都為同一個(gè)常數(shù)（有限數(shù)列的最終一項(xiàng)除外），則稱該數(shù)列為等積數(shù)列，其中的常數(shù)稱為公積．若數(shù)列是等積數(shù)列，且，公積為，則（）A． B． C． D．先對(duì)等積數(shù)列進(jìn)行一般性的探討．設(shè)是等積數(shù)列，公積為，則由等積數(shù)列的定義知，數(shù)列的各項(xiàng)依次為為奇數(shù)；為偶數(shù)．即為奇數(shù)；為偶數(shù)．由可得：，又由于，公積為，所以，，故選C．三、等方比數(shù)列（2007·湖北）若數(shù)列滿足，（為正常數(shù)，），則稱為“等方比數(shù)列”．甲：數(shù)列是等方比數(shù)列；乙：數(shù)列是等比數(shù)列，則（）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件由等比數(shù)列的定義數(shù)列，若乙：是等比數(shù)列，公比為，即，則甲命題成立；反之，若甲：數(shù)列是等方比數(shù)列，即，即數(shù)列公比不愿定為，則命題乙不成立，故選B．四、確定差數(shù)列（2006·北京）在數(shù)列中，若是正整數(shù)，且，，則稱為“確定差數(shù)列”．⑴舉出一個(gè)前五項(xiàng)不為零的“確定差數(shù)列”（只要求寫出前項(xiàng)）；⑵若“確定差數(shù)列”中，，數(shù)列滿足，，分別推斷當(dāng)時(shí)，與的極限是否存在，假如存在，求出其極限值；⑶證明任何“確定差數(shù)列”中總含有無窮多個(gè)為零的項(xiàng)．關(guān)鍵是讀懂題目中“確定差數(shù)列”的含義．⑴，，，，，，，，，．（答案不唯一）；⑵在“確定差數(shù)列”中，由于，，所以自第項(xiàng)開頭，，，，，，…，即每個(gè)相鄰的項(xiàng)周期地取值，，，所以當(dāng)時(shí)，的極限不存在，而當(dāng)時(shí)，，所以．⑶證明依據(jù)定義，數(shù)列必在有限項(xiàng)后毀滅零項(xiàng)．證明如下：假設(shè)中沒有零項(xiàng)，由于，所以對(duì)任意的，都有，從而當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即的值要么比至少小，要么比至少??；令則由于是確定的正整數(shù)，這樣削減下去，必定存在，這與沖突．所以必有零項(xiàng)．若第一次毀滅的零項(xiàng)為第項(xiàng)，記，則自第項(xiàng)開頭，第三個(gè)相鄰的項(xiàng)周期地取值，，，即，，，．所以“確定差數(shù)列”中總含有無窮多個(gè)為零的項(xiàng)．五、對(duì)稱數(shù)列（2007·上海）若有窮數(shù)列，，（是正整數(shù)），滿足，，…，，即（是正整數(shù)，且），就稱該數(shù)列為“對(duì)稱數(shù)列”．⑴已知數(shù)列是項(xiàng)數(shù)為的對(duì)稱數(shù)列，且成等差數(shù)列，，試寫出的每一項(xiàng)；⑵已知是項(xiàng)數(shù)為的對(duì)稱數(shù)列，且構(gòu)成首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則當(dāng)為何值時(shí)，取到最大值？最大值為多少？⑶對(duì)于給定的正整數(shù)，試寫出全部項(xiàng)數(shù)不超過的對(duì)稱數(shù)列，使得成為數(shù)列中的連續(xù)項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，試求其中一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和．⑴設(shè)的公差為，則，解得，所以數(shù)列為．⑵，，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值．的最大值為．⑶全部可能的“對(duì)稱數(shù)列”是：①；②；③；④．對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．對(duì)于④，當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．六、一階差分?jǐn)?shù)列（2007·青島質(zhì)檢）對(duì)于數(shù)列，定義為數(shù)列的“一階差分?jǐn)?shù)列”，其中．⑴若數(shù)列的通項(xiàng)公式，求的通項(xiàng)公式；⑵若數(shù)列的首項(xiàng)是，且，①證明數(shù)列為等差數(shù)列；②求的前項(xiàng)和．⑴依題意，所以．⑵①由于，所以，即，所以，又由于，所以是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列；②由①得：．所以．所以．錯(cuò)位相減得：．七、周期數(shù)列在數(shù)列中，假如存在非零常數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)均成立，那么就稱為“周期數(shù)列”，其中叫做數(shù)列的周期．已知數(shù)列滿足，假如，，當(dāng)數(shù)列周期