【全程復(fù)習(xí)方略】2022屆高考數(shù)學(xué)(文科人教A版)大一輪課時作業(yè)：8.3-圓的方程-

溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標(biāo)滾軸，調(diào)整合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉Word文檔返回原板塊。課時提升作業(yè)(四十五)圓的方程(25分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.已知一圓的圓心為點(2,-3),一條直徑的兩個端點分別在x軸和y軸上,則此圓的方程是()A.(x-2)2+(y+3)2=13B.(x+2)2+(y-3)2=13C.(x-2)2+(y+3)2=52D.(x+2)2+(y-3)2=52【解析】選A.由于圓心(2,-3)是直徑的中點,所以此直徑的兩個端點坐標(biāo)分別為(4,0),(0,-6),所以半徑長r=所以所求圓的方程為(x-2)2+(y+3)2=13.2.(2021·天津模擬)已知方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圓有最大的面積,則取最大面積時,該圓的圓心的坐標(biāo)為()A.(-1,1) B.(-1,0)C.(1,-1) D.(0,-1)【解析】選D.由x2+y2+kx+2y+k2=0知所表示圓的半徑r=當(dāng)k=0時,rmax==1,此時圓的方程為x2+y2+2y=0,即x2+(y+1)2=1,所以圓心為(0,-1).3.若圓x2+y2-2x+6y+5a=0關(guān)于直線y=x+2b成軸對稱圖形,則a-b的取值范圍是()A.(-∞,4) B.(-∞,0)C.(-4,+∞) D.(4,+∞)【解析】選A.將圓的方程變形為(x-1)2+(y+3)2=10-5a,可知,圓心為(1,-3),且10-5a>0,即a<2.由于圓關(guān)于直線y=x+2b對稱,所以圓心在直線y=x+2b上,即-3=1+2b,解得b=-2,所以a-b<4.【方法技巧】兩種對稱問題的解決方法(1)點(a,b)關(guān)于直線y=x+m的對稱點坐標(biāo)為(b-m,a+m).(2)點(a,b)關(guān)于直線y=-x+m的對稱點坐標(biāo)為(-b+m,-a+m).4.已知兩定點A(-2,0),B(1,0),假如動點P滿足|PA|=2|PB|,則點P的軌跡所包圍的圖形的面積等于()A.π B.4π C.8π D.9π【解析】選B.設(shè)P(x,y),由題意有,(x+2)2+y2=4[(x-1)2+y2],整理得x2-4x+y2=0,配方得(x-2)2+y2=4.可知圓的面積為4π.【加固訓(xùn)練】如圖所示,已知P(4,0)是圓x2+y2=36內(nèi)的一點,A,B是圓上兩動點,且滿足∠APB=90°,求矩形APBQ的頂點Q的軌跡方程.【解析】設(shè)AB的中點為R,坐標(biāo)為(x1,y1),連接OR,PR,則在Rt△ABP中,|AR|=|PR|.又R是弦AB的中點,所以在Rt△OAR中,|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-(x12+又|AR|=|PR|=QUOTEy12,所以有(x1-4)2+y12=36-(x1即x12+y1因此點R在一個圓上,而當(dāng)R在此圓上運動時,點Q即在所求的軌跡上運動.設(shè)Q(x,y),由于R是PQ的中點,所以x1=,y1=,代入方程x12+y12-4x得整理得:x2+y2=56,即所求Q點的軌跡方程為x2+y2=56.5.已知兩點A(0,-3),B(4,0),若點P是圓C:x2+y2-2y=0上的動點,則△ABP面積的最小值為()A.6 B.112 C.8 D.【解題提示】閱歷證可知A,B兩點均在圓C的外部,因此要使△ABP的面積最小,則P到直線AB的距離最小.【解析】選B.如圖,過圓心C向直線AB作垂線交圓于點P,這時△ABP的面積最小.直線AB的方程為x4+y即3x-4y-12=0,圓心C到直線AB的距離為d=|3×0-4×1-12|32所以△ABP的面積的最小值為12×5×(165-1)=二、填空題(每小題5分,共15分)6.(2021·泰州模擬)若過點P(a,a)可作圓x2+y2-2ax+a2+2a-3=0的兩條切線,則實數(shù)a的取值范圍是.【解析】圓的方程可化為(x-a)2+y2=3-2a,由于過點P(a,a)能作圓的兩條切線,所以點P在圓的外部,即解之得a<-3或1<a<.故a的取值范圍為(-∞,-3)∪(1,).答案:(-∞,-3)∪(1,）7.(2021·青島模擬)已知圓M的圓心在直線x-y-4=0上并且經(jīng)過圓x2+y2+6x-4=0與圓x2+y2+6y-28=0的交點,則圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【解析】設(shè)兩圓交點為A,B,由方程組求得故點A(-1,3),B(-6,-2),因此AB的垂直平分線的方程為x+y+3=0.再由故圓心為所以所求的圓的方程為(x-)2+(y+)2=.答案:(x-)2+(y+)2=【加固訓(xùn)練】若圓C的半徑為1,圓心在第一象限,且與直線4x-3y=0和x軸都相切,則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.【解析】設(shè)圓心C(a,b)(a>0,b>0),由題意可得b=1.又圓心C到直線4x-3y=0的距離d==1,解得a=2或a=-(舍去).所以該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y-1)2=1.答案:(x-2)2+(y-1)2=18.(2021·聊城模擬)已知x,y滿足x2+y2=1,則的最小值為.【解析】表示圓上的點P(x,y)與點Q(1,2)連線的斜率,所以的最小值是直線PQ與圓相切時的斜率.設(shè)直線PQ的方程為y-2=k(x-1)即kx-y+2-k=0.由結(jié)合圖形可知,≥,故最小值為.答案:三、解答題(每小題10分,共20分)9.已知以點P為圓心的圓經(jīng)過點A(-1,0)和B(3,4),線段AB的垂直平分線交圓P于點C和D,且|CD|=410.(1)求直線CD的方程.(2)求圓P的方程.【解題提示】由于A,B為圓P上的兩點,故直線CD過圓心.【解析】(1)直線AB的斜率k=1,AB的中點坐標(biāo)為(1,2).則直線CD的方程為y-2=-(x-1),即x+y-3=0.(2)設(shè)圓心P(a,b),則由P在CD上得a+b-3=0.①又由于直徑|CD|=410,所以|PA|=210,所以(a+1)2+b2=40.②由①②解得a=-3,b=6所以圓心P(-3,6)或P(5,-2).所以圓P的方程為(x+3)2+(y-6)2=40或(x-5)2+(y+2)2=40.10.已知方程x2+y2-2x-4y+m=0.(1)若此方程表示圓,求實數(shù)m的取值范圍.(2)若(1)中的圓與直線x+2y-4=0相交于M,N兩點,且坐標(biāo)原點O在以MN為直徑的圓的外部,求實數(shù)m的取值范圍.【解析】(1)由于方程x2+y2-2x-4y+m=0表示圓,所以(-2)2+(-4)2-4m>0,解得m<5,所以實數(shù)m的取值范圍是(-∞,5).(2)直線x+2y-4=0代入圓的方程,消去x可得5y2-16y+8+m=0,由于Δ>0,所以m<245設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則y1+y2=165,y1y2=8所以x1x2=(4-2y1)(4-2y2)=16-8(y1+y2)+4y1y2=-16+4m由于坐標(biāo)原點O在以MN為直徑的圓的外部,所以O(shè)M→·所以x1x2+y1y2<0,所以-16+4m5+解得m<85【加固訓(xùn)練】1.(2021·湛江模擬)已知△ABC的頂點坐標(biāo)分別為A(-1,5),B(-2,-1),C(4,3),M是BC的中點.(1)求AB邊所在直線的方程.(2)求以線段AM為直徑的圓的方程.【解析】(1)由于A(-1,5),B(-2,-1),所以由兩點式得AB的方程為y-5-1-5=(2)由于M是BC的中點,所以M（-2+42,-即M(1,1),所以|AM|=(-1-1)所以圓的半徑為5.所以AM的中點為（-1+12,5所以以線段AM為直徑的圓的方程為x2+(y-3)2=5.2.(2021·新課標(biāo)全國卷Ⅱ)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓P在x軸上截得線段長為22,在y軸上截得線段長為23.(1)求圓心P的軌跡方程.(2)若P點到直線y=x的距離為22【解題提示】第(1)問緊緊抓住“圓心到直線的距離”這個關(guān)鍵量,利用垂徑定理,消去參數(shù)r直接求得軌跡方程.第(2)問利用待定系數(shù)法,依據(jù)題設(shè)條件,利用方程思想,求待定系數(shù).【解析】(1)設(shè)P(x,y),圓P的半徑為r.由題設(shè)y2+2=r2,x2+3=r2.從而y2+2=x2+3.故圓心P的軌跡方程為y2-x2=1.(2)設(shè)P(x0,y0).由已知得|x0-又P點在雙曲線y2-x2=1上,從而得此時,圓P的半徑r=3.此時,圓P的半徑r=3.故圓P的方程為x2+(y+1)2=3或x2+(y-1)2=3.3.已知直角三角形ABC的斜邊為AB,且A(-1,0),B(3,0),求:(1)直角頂點C的軌跡方程.(2)直角邊BC中點M的軌跡方程.【解析】(1)設(shè)頂點C(x,y),由于AC⊥BC,且A,B,C三點不共線,所以x≠3且x≠-1.又kAC=yx+1,kBC=yx-3,且kAC·k所以yx+1·yx-3=-1,化簡得x2+y因此,直角頂點C的軌跡方程為x2+y2-2x-3=0(x≠3且x≠-1).(2)設(shè)點M(x,y),點C(x0,y0),由于B(3,0),M是線段BC的中點,由中點坐標(biāo)公式得x=x0+32(x≠3且x≠1),y=y0+02,由(1)知,點C在圓(x-1)2+y2=4(x≠3且x≠-1)上運動,將x0,y0代入該方程得(2x-4)2+(2y)2=4,即(x-2)2+y2=1.因此直角邊BC中點M的軌跡方程為(x-2)2+y2=1(x≠3且x≠1).(20分鐘40分)1.(5分)(2021·濱州模擬)已知圓M方程:x2+(y+1)2=4,圓N的圓心(2,1),若圓M與圓N交于A,B兩點,且|AB|=22,則圓N方程為()A.(x-2)2+(y-1)2=4B.(x-2)2+(y-1)2=20C.(x-2)2+(y-1)2=12D.(x-2)2+(y-1)2=4或(x-2)2+(y-1)2=20【解析】選D.設(shè)圓N(x-2)2+(y-1)2=R2,則圓M與圓N的公共弦方程為:4x+4y-8+R2=0,得2=|-4-8+R2|42,因此2.(5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線y=x2-6x+1與坐標(biāo)軸的交點都在圓C上,則圓C的方程為.【解析】曲線y=x2-6x+1與y軸的交點為(0,1),與x軸的交點是(3+22,0),(3-22,0),設(shè)圓的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),則有解得故圓的方程是x2+y2-6x-2y+1=0.答案:x2+y2-6x-2y+1=0【一題多解】本題還可以按如下方法求解曲線y=x2-6x+1與y軸的交點為(0,1),與x軸的交點為(3+22,0),(3-22,0).故可設(shè)C的圓心為(3,t),則有32+(t-1)2=(22)2+t2,解得t=1,則圓C的半徑為32所以圓C的方程為(x-3)2+(y-1)2=9.答案:(x-3)2+(y-1)2=93.(5分)(2021·寧德模擬)已知直線l:x+y-2=0和圓C:x2+y2-12x-12y+54=0,則與直線l和圓C都相切且半徑最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.【解析】圓:x2+y2-12x-12y+54=0的圓心C(6,6),半徑r=32,圓心C(6,6)到x+y-2=0的距離:d=|6+6-2|2=52,與直線x+y-2=0和圓x2+y2-12x-12y+54=0都相切的半徑最小的圓的圓心在過C與x+y-2=0垂直的直線l1上,所求圓的半徑R=12(52-32)=2,直線l1:y-6=x-6,即y=x,設(shè)所求圓的方程為:(x-a)2+(y-a)2=2,解方程組得x+y-2=0與l1的交點(1,1),解方程:(a-1)2+(a-1)2=2,得a=2,或a=0不符合已知條件,舍去,所以所求圓的方程為:(x-2)2+(y-2)答案:(x-2)2+(y-2)2=2【加固訓(xùn)練】已知點P(2,2),點M是圓O1:x2+(y-1)2=14上的動點,點N是圓O2:(x-2)2+y2=1A.5-1 B.5-2C.2-5 D.3-5【解析】選D.|PN|-|PM|的最大值是|PO2|+12-(|PO1|-12)=|PO2|-|PO=2-5+1=3-5.4.(12分)已知點A(-3,0),B(3,0),動點P滿足|PA|=2|PB|.(1)若點P的軌跡為曲線C,求此曲線的方程.(2)若點Q在直線l1:x+y+3=0上,直線l2經(jīng)過點Q且與曲線C只有一個公共點M,求|QM|的最小值.【解析】(1)設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,y),則(x+3)2化簡可得(x-5)2+y2=16,此即為所求.(2)曲線C是以點(5,0)為圓心,4為半徑的圓,如圖,由直線l2是此圓的切線,連接CQ,CM,則|QM|=|CQ|2當(dāng)CQ⊥l1時,|CQ|取最小值,|CQ|=|5+3|2=4此時|QM|的最小值為32-16【方法技巧】解決有關(guān)圓的最值問題一般要“數(shù)”與“形”結(jié)合,依據(jù)圓的學(xué)問探求最值時的位置關(guān)系.解析幾何中數(shù)形結(jié)合思想主要表現(xiàn)在以下兩方面:(1)構(gòu)建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型爭辯最值問題.(2)爭辯圖形的外形、位置關(guān)系、性質(zhì)等.5.(13分)(力氣挑戰(zhàn)題)如圖,經(jīng)過