【全程復(fù)習(xí)方略】2020年北師版數(shù)學(xué)文(陜西用)課時(shí)作業(yè)：第四章-第三節(jié)平面向量的數(shù)量積

溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)整合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉Word文檔返回原板塊。課時(shí)提升作業(yè)(二十六)一、選擇題1.有下列四個(gè)命題:①(a·b)2=a2·b2;②|a+b|>|a-b|;③|a+b|2=(a+b)2;④若a∥b,則a·b=|a|·|b|.其中真命題的個(gè)數(shù)是()(A)1(B)2(C)3(D)42.(2022·遼寧高考)已知兩個(gè)非零向量a,b滿足|a+b|=|a-b|,則下面結(jié)論正確的是()(A)a∥b (B)a⊥b(C)|a|=|b| (D)a+b=a-b3.(2021·渭南模擬)設(shè)向量a=(cos25°,sin25°),b=(sin20°,cos20°),若t是實(shí)數(shù),且u=a+tb,則|u|的最小值是()(A)QUOTE (B)1 (C)QUOTE (D)QUOTE4.(2021·南昌模擬)已知平面對量a=(3,1),b=(x,-6),設(shè)a與b的夾角的正切值等于-QUOTE,則x的值為()(A)QUOTE (B)2(C)-2 (D)-2,QUOTE5.在△ABC中,QUOTE=1,QUOTE=2,則AB邊的長度為()(A)1 (B)3 (C)5 (D)96.向量a=(-1,1),且a與a+2b方向相同,則a·b的范圍是()(A)(1,+∞) (B)(-1,1)(C)(-1,+∞)(D)(-∞,1)7.設(shè)a,b是非零向量,若函數(shù)f(x)=(xa+b)·(a-xb)的圖像是一條直線,則必有()(A)a⊥b (B)a∥b(C)|a|=|b| (D)|a|≠|(zhì)b|8.已知O是△ABC內(nèi)部一點(diǎn),QUOTE+QUOTE+QUOTE=0,QUOTE·QUOTE=2QUOTE,且∠BAC=30°,則△AOB的面積為()(A)2 (B)1 (C)QUOTE (D)QUOTE9.在△ABC中,a,b,c分別為三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對的邊,設(shè)向量m=(b-c,c-a),n=(b,c+a),若m⊥n,則角A的大小為()(A)QUOTE (B)QUOTE(C)QUOTE (D)QUOTE10.(力氣挑戰(zhàn)題)如圖,已知點(diǎn)A(1,1)和單位圓上半部分上的動(dòng)點(diǎn)B.且QUOTE⊥QUOTE,則向量QUOTE的坐標(biāo)為()(A)(-QUOTE,QUOTE)(B)(-QUOTE,QUOTE)(C)(-QUOTE,QUOTE)(D)(-QUOTE,QUOTE)二、填空題11.(2021·黃山模擬)已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5QUOTE,則|b|=.12.如圖,半圓的直徑|AB|=6,O為圓心,C為半圓上不同于A,B的任意一點(diǎn),若P為半徑OC上的動(dòng)點(diǎn),則(QUOTE+QUOTE)·QUOTE的最小值是.13.(2021·杭州模擬)以下命題:①若|a·b|=|a|·|b|,則a∥b;②a=(-1,1)在b=(3,4)方向上的投影為QUOTE;③若△ABC中,a=5,b=8,c=7,則QUOTE·QUOTE=20;④若非零向量a,b滿足|a+b|=|b|,則|2b|>|a+2b|.其中全部真命題的序號是.14.(力氣挑戰(zhàn)題)給定兩個(gè)長度為1的平面對量QUOTE和QUOTE,它們的夾角為90°.如圖所示,點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上運(yùn)動(dòng),若QUOTE=xQUOTE+yQUOTE,其中x,y∈R,則xy的范圍是.三、解答題15.(2021·晉中模擬)已知A(-1,0),B(0,2),C(-3,1),QUOTE·QUOTE=5,=10.(1)求D點(diǎn)的坐標(biāo).(2)設(shè)QUOTE=(m,2),若3QUOTE+QUOTE與QUOTE垂直,求QUOTE的坐標(biāo).答案解析1.【解析】選A.設(shè)a,b夾角為θ,①(a·b)2=|a|2·|b|2·cos2θ≤|a|2·|b|2=a2·b2;②|a+b|與|a-b|大小不確定;③正確;④a∥b,當(dāng)a,b同向時(shí)有a·b=|a|·|b|;當(dāng)a,b反向時(shí)有a·b=-|a|·|b|.故不正確.2.【思路點(diǎn)撥】將所給等式兩邊平方,找到兩個(gè)向量的關(guān)系.【解析】選B.|a+b|=|a-b|?|a+b|2=|a-b|2?a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2?a·b=0?a⊥【變式備選】已知非零向量a,b滿足向量a+b與向量a-b的夾角為QUOTE,那么下列結(jié)論中確定成立的是()(A)a=b (B)|a|=|b|(C)a⊥b (D)a∥b【解析】選B.由條件得(a+b)·(a-b)=a2-b2=0,故可得|a|=|b|.3.【解析】選C.∵|u|2=(a+tb)2=a2+2ta·b+t2b2=1+2t(cos25°sin20°+sin25°cos20°)+t2=t2+QUOTEt+1=(t+QUOTE)2+QUOTE≥QUOTE,∴|u|≥QUOTE,故選C.4.【解析】選C.∵a=(3,1),b=(x,-6),設(shè)a與b的夾角等于θ,∴a·b=3x-6=QUOTEcosθ,∴cosθ=QUOTE.∵tanθ=-QUOTE,∴cosθ=-QUOTE.∴QUOTE=-QUOTE,整理得3x2-20x-52=0.解得x1=-2,x2=QUOTE.經(jīng)檢驗(yàn)x2=QUOTE是增根,x1=-2滿足要求.∴x=-2.5.【思路點(diǎn)撥】依據(jù)數(shù)量積的定義計(jì)算,并結(jié)合解三角形的學(xué)問得到結(jié)果.【解析】選B.過點(diǎn)C作AB的垂線,垂足為D.由條件得QUOTE=QUOTE=|QUOTE|cosA=|AD|=1,同理|BD|=2.故|AB|=|AD|+|DB|=3.6.【解析】選C.∵a與a+2b同向,∴可設(shè)a+2b=λa(λ>0),則有b=QUOTEa.又∵|a|=QUOTE=QUOTE,∴a·b=QUOTE·|a|2=QUOTE×2=λ-1>-1,∴a·b的范圍是(-1,+∞),故應(yīng)選C.7.【解析】選A.f(x)=(xa+b)·(a-xb)的圖像是一條直線,即f(x)的表達(dá)式是關(guān)于x的一次函數(shù).而(xa+b)·(a-xb)=x|a|2-x2a·b+a·b-x|b|2故a·b=0.又∵a,b為非零向量,∴a⊥b,故應(yīng)選A.8.【解析】選D.由QUOTE+QUOTE+QUOTE=0得O為△ABC的重心,∴S△AOB=QUOTES△ABC.又QUOTE·QUOTE=|QUOTE||QUOTE|cos30°=2QUOTE,得|QUOTE||QUOTE|=4,∴S△ABC=QUOTE|QUOTE||QUOTE|sin30°=1.∴S△AOB=QUOTE.9.【解析】選B.由m⊥n可得m·n=0,即(b-c)b+(c-a)(c+a)=0,∴b2-bc+c2-a2=0.由余弦定理得cosA=QUOTE=QUOTE,所以A=QUOTE.10.【解析】選B.依題意設(shè)B(cosθ,sinθ),0≤θ≤π.則QUOTE=(1,1),QUOTE=(cosθ,sinθ).由于QUOTE⊥QUOTE,所以QUOTE·QUOTE=0,即cosθ+sinθ=0,解得θ=QUOTE,所以QUOTE=(-QUOTE,QUOTE).【方法技巧】解題時(shí)引入恰當(dāng)?shù)膮?shù)θ是解題的關(guān)鍵,進(jìn)而可利用三角函數(shù)的定義求得點(diǎn)B的坐標(biāo),可將問題轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算問題來解決.11.【解析】∵50=|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2=5+20+|b|2,∴|b答案:512.【思路點(diǎn)撥】設(shè)|PO|=x(0≤x≤3),運(yùn)用向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為函數(shù)學(xué)問求解.【解析】設(shè)|PO|=x,則|PC|=3-x(0≤x≤3),則(QUOTE+QUOTE)·QUOTE=2QUOTE·QUOTE=2·x·(3-x)·cosπ=2x(x-3)=2(x-QUOTE)2-QUOTE.∵0≤x≤3,∴當(dāng)x=QUOTE時(shí),(QUOTE+QUOTE)·QUOTE有最小值-QUOTE.答案:-QUOTE13.【解析】設(shè)a,b的夾角為θ,①中,由|a·b|=|a||b||cosθ|=|a||b|,知cosθ=±1,故θ=0或θ=π,所以a∥b,故正確;②中a在b方向上的投影為|a|·cosθ=|a|·QUOTE=QUOTE=QUOTE,故正確;③中,由余弦定理得cosC=QUOTE=QUOTE,故QUOTE·QUOTE=-QUOTE·QUOTE=-5×8×QUOTE=-20,故錯(cuò)誤.④中,由|a+b|=|b|知|b|+|a+b|=|b|+|b|,∴|2b|=|b|+|a+b|≥|b+a+b|=|a+2b|,故錯(cuò)誤.答案:①②14.【解析】由QUOTE=xQUOTE+yQUOTE,得QUOTE=x2QUOTE+y2QUOTE+2xyQUOTE·QUOTE.又|QUOTE|=|QUOTE|=|QUOTE|=1,QUOTE·QUOTE=0,∴1=x2+y2≥2xy,得xy≤QUOTE,而點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上運(yùn)動(dòng),得x,y∈[0,1],于是0≤xy≤QUOTE.答案:[0,QUOTE]15.【解析】(1)設(shè)D(x,y),QUOTE=(1,2),QUOTE=(x+1,y).由題得QUOTE∴QUOTE或QUOTE∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,3)或(2,1).(2)∵3QUOTE+QUOTE=3(1,2)+(-2,1)=(1,7),QUOTE=(m,2),∵3QUOTE+QUOTE與QUOTE垂直,∴(3QUOTE+QUOTE)·QUOTE=0,∴m+14=0,∴m=-14,∴QUOTE=(-14,2).【變式備選】在平面直角坐標(biāo)系中,已知向量a=(-1,2),又點(diǎn)A(8,0),B(n,t),C(ksinθ,t)(0≤θ≤QUOTE).(1)若QUOTE⊥a,且|QUOTE|=QUOTE|QUOTE|(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求向量QUOTE.(2)若向量QUOTE與向量a共線,當(dāng)k>4,且tsinθ取最大值4時(shí),求QUOTE·QUOTE.【解析】(1)可得QUOTE=(n-8,t),∵QUOTE⊥a,∴QUOTE·a=(n-8,t)·(-1,2)=0,得n=2t+8,則QUOTE=(2t,t).又|QUOTE|=QUOTE|QUOTE|,|QUOTE|=8.∴(2t)2+t2=5×64,解得t=±8,當(dāng)t=8時(shí),n=24;當(dāng)t=-8時(shí),n=-8.∴QUOTE=(24,8)或QUOT