【名師一號(hào)】2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)人教A版選修1-1雙基限時(shí)練21(第三章)

雙基限時(shí)練(二十一)1．把一個(gè)周長(zhǎng)為12cm的長(zhǎng)方形圍成一個(gè)圓柱，當(dāng)圓柱的體積最大時(shí)，該圓柱底面周長(zhǎng)與高的比為()A．12 B．1πC．21 D．2π解析設(shè)圓柱高為x，底面半徑為r，則r＝eq\f(6－x,2π)，圓柱體積V＝π(eq\f(6－x,2π))2·x＝eq\f(1,4π)(x3－12x2＋36x)(0<x<6)，V′＝eq\f(3,4π)(x－2)(x－6)，當(dāng)x＝2時(shí)，V最大．此時(shí)底面周長(zhǎng)為4，底面周長(zhǎng)高＝42＝21.答案C2．某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為20000元，每生產(chǎn)一單位的產(chǎn)品，成本增加100元，若總收入R與年產(chǎn)量x的關(guān)系是R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(x3,900)＋400x，0≤x≤390，,90090，x>390，))則當(dāng)總利潤(rùn)最大時(shí)，每年生產(chǎn)產(chǎn)品的單位數(shù)是()A．150 B．200C．250 D．300解析∵總利潤(rùn)P(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(x3,900)＋300x－20000，0≤x≤390，,90090－100x－20000，x>390，))由P′(x)＝0，得x＝300，故選D.答案D3．正三棱柱體積是V，當(dāng)其表面積最小時(shí)，底面邊長(zhǎng)為()A.eq\r(3,V) B.eq\r(3,2V)C.eq\r(3,4V) D．2eq\r(3,V)解析設(shè)底面邊長(zhǎng)為x，側(cè)棱長(zhǎng)為l，則V＝eq\f(1,2)x2·sin60°·l，∴l(xiāng)＝eq\f(4V,\r(3)x2)，∴S表＝2S底＋S側(cè)＝x2·sin60°＋3·x·l＝eq\f(\r(3),2)x2＋eq\f(4\r(3)V,x)，S′表＝eq\r(3)x－eq\f(4\r(3)V,x2)＝0，∴x3＝4V，即x＝eq\r(3,4V).又當(dāng)x∈(0，eq\r(3,4V))時(shí)，y′<0；當(dāng)x∈(eq\r(3,4V)，V)時(shí)，y′>0，∴當(dāng)x＝eq\r(3,4V)時(shí)，表面積最小．答案C4．某城市在進(jìn)展過程中，交通狀況漸漸受到大家更多的關(guān)注，據(jù)有關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)顯示，從上午6時(shí)到9時(shí)，車輛通過該市某一段路段的用時(shí)y(分鐘)與車輛進(jìn)入該路段的時(shí)刻t之間的關(guān)系可近似地用如下函數(shù)給出：y＝－eq\f(1,8)t3－eq\f(3,4)t2＋36t－eq\f(629,4).則在這段時(shí)間內(nèi)，通過該路段用時(shí)最多的時(shí)刻是()A．6時(shí) B．7時(shí)C．8時(shí) D．9時(shí)解析令y′＝－eq\f(3,8)t2－eq\f(3,2)t＋36＝0，即3t2＋12t－36×8＝0，解得t＝8或t＝－12(舍去)．當(dāng)0<t<8時(shí)，y′>0；當(dāng)t>8時(shí)，y′<0.所以當(dāng)t＝8時(shí)，函數(shù)有極大值，也是最大值．答案C5．用邊長(zhǎng)為120cm的正方形鐵皮做一個(gè)無蓋水箱，先在四周分別截去一個(gè)小正方形，然后把四邊翻轉(zhuǎn)90°角，再焊接成水箱，則水箱的最大容積為()A．120000cm3 B．128000cm3C．150000cm3 D．158000cm3解析設(shè)水箱的高為xcm(0<x<60)，則水箱底面邊長(zhǎng)為(120－2x)cm，水箱的容積V＝(120－2x)2·x＝(1202－480x＋4x2)·x，∴V′＝12x2－960x＋120×120，解V′＝0，得x＝20或x＝60(舍去)．當(dāng)0<x<20時(shí)，V′>0；當(dāng)20<x<60時(shí)，V′<0；∴當(dāng)x＝20時(shí)，V有最大值，且最大值為128000cm3.答案B6．某養(yǎng)雞場(chǎng)是一面靠墻，三面用鐵絲網(wǎng)圍成的矩形場(chǎng)地．假如鐵絲網(wǎng)長(zhǎng)40m，那么圍成的場(chǎng)地面積最大為________．解析設(shè)靠墻的一面長(zhǎng)xm，圍成的場(chǎng)地面積為ym2，此時(shí)矩形的寬為eq\f(40－x,2)>0.∴y＝x·eq\f(40－x,2)＝－eq\f(1,2)x2＋20x.(0<x<40)y′＝－x＋20，令y′＝0得x＝20，當(dāng)0<x<20時(shí)，y′>0；當(dāng)20<x<40時(shí)，y′<0.∴x＝20時(shí)，y最大＝20×10＝200.答案200m27．某銀行預(yù)備新設(shè)一種定期存款業(yè)務(wù)，經(jīng)猜測(cè)，存款量與存款利率成正比，比例系數(shù)為k(k>0)，貸款的利率為4.8%，假設(shè)銀行吸取的存款能夠全部貸出去．若存款利率為x(x∈(0,0.048))，則存款利率為________時(shí)，銀行可獲得最大收益．解析由題意知，存款量g(x)＝kx(k>0)，銀行應(yīng)支付的利息h(x)＝xg(x)＝kx2，x∈(0,0.048)．設(shè)銀行可獲得收益為y，則y＝0.048kx－kx2.于是y′＝0.048k－2kx.令y′＝0，得x＝0.024.依題意知，y在x＝0.024處取得最大值．答案0.0248．某工廠要建筑一個(gè)長(zhǎng)方體狀的無蓋箱子，其容積為48m3，高為3m，假如箱底每1m2的造價(jià)為15元，箱壁每解析設(shè)箱底一邊的長(zhǎng)度為xm，總造價(jià)為y元，依據(jù)題意，得y＝12×3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(16,x)×2))＋15×16，則y′＝72eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(16,x2))).令y′＝0，得x＝4或x＝－4(舍去)，易知當(dāng)x＝4時(shí)，總造價(jià)最低，最低價(jià)為816元．答案816元9．如圖，內(nèi)接于拋物線y＝1－x2的矩形ABCD中，A，B在拋物線上運(yùn)動(dòng)，C，D在x軸上運(yùn)動(dòng)，則此矩形的面積的最大值是________．解析設(shè)CD＝x，則點(diǎn)Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，0))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，1－\f(x2,4)))，∴矩形ABCD的面積S＝f(x)＝x·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x2,4)))＝－eq\f(1,4)x3＋x，x∈(0,2)．由f′(x)＝－eq\f(3,4)x2＋1＝0，得x＝eq\f(2,\r(3))時(shí)，f(x)有最大值eq\f(4\r(3),9).答案eq\f(4\r(3),9)10．某種圓柱形的飲料罐的容積肯定時(shí)，如何確定它的高與底面半徑，才使得所用材料最??？解設(shè)圓柱的高為h，底半徑為R，則表面積S(R)＝2πRh＋2πR2，又V＝πR2h，則h＝eq\f(V,πR2)，∴S(R)＝2πR·eq\f(V,πR2)＋2πR2＝eq\f(2V,R)＋2πR2，由S′(R)＝－eq\f(2V,R2)＋4πR＝0，解得R＝eq\r(3,\f(V,2π))，從而h＝eq\f(V,πR2)＝2eq\r(3,\f(V,2π))，即h＝2R，當(dāng)R<eq\r(3,\f(V,2π))時(shí)，S′(R)<0；當(dāng)R>eq\r(3,\f(V,2π))時(shí)，S′(R)>0.因此，當(dāng)R＝eq\r(3,\f(V,2π))時(shí)，S(R)有微小值，且是S(R)的最小值．答：當(dāng)罐高與底的直徑相等時(shí)，所用材料最省．11．某物流公司購(gòu)買了一塊長(zhǎng)AM＝30米，寬AN＝20米的矩形地形AMPN，規(guī)劃建設(shè)占地如圖中矩形ABCD的倉(cāng)庫(kù)，其余地方為道路和停車場(chǎng)，要求頂點(diǎn)C在地塊對(duì)角線MN上，B，D分別在邊AM，AN上，假設(shè)AB長(zhǎng)度為x米．(1)要使倉(cāng)庫(kù)占地ABCD的面積不少于144平方米，AB長(zhǎng)度應(yīng)在什么范圍內(nèi)？(2)若規(guī)劃建設(shè)的倉(cāng)庫(kù)是高度與AB長(zhǎng)度相同的長(zhǎng)方體建筑，問AB長(zhǎng)度為多少時(shí)倉(cāng)庫(kù)的庫(kù)容最大？(墻體及樓板所占空間忽視不計(jì))解(1)依題意三角形NDC與三角形NAM相像，∴eq\f(DC,AM)＝eq\f(ND,NA)，即eq\f(x,30)＝eq\f(20－AD,20)，AD＝20－eq\f(2,3)x，矩形ABCD的面積為S＝20x－eq\f(2,3)x2，定義域?yàn)?<x<30，要使倉(cāng)庫(kù)占地ABCD的面積不少于144平方米，即20x－eq\f(2,3)x2≥144，化簡(jiǎn)得x2－30x＋216≤0，解得12≤x≤18，∴AB長(zhǎng)度應(yīng)在內(nèi)．(2)倉(cāng)庫(kù)體積為V＝20x2－eq\f(2,3)x3(0<x<30)V′＝40x－2x2＝0，得x＝0，或x＝20，當(dāng)0<x<20時(shí)V′>0；當(dāng)20<x<30時(shí)V′<0，∴x＝20時(shí)V取最大值eq\f(8000,3)米3,即AB長(zhǎng)度為20米時(shí)倉(cāng)庫(kù)的庫(kù)容量最大．12．某種商品每件進(jìn)價(jià)12元，售價(jià)20元，每天可賣出48件．若售價(jià)降低銷售量可以增加，且售價(jià)降低x(0≤x≤8)元時(shí)，每天多賣出的件數(shù)與x2＋x成正比．已知商品售價(jià)降低3元時(shí)，一天可多賣出36件．(1)試將該商品一天的銷售利潤(rùn)表示成x的函數(shù)；(2)該商品售價(jià)為多少元時(shí)，一天的銷售利潤(rùn)最大？解(1)由題意，可設(shè)每天多賣出的件數(shù)為k(x2＋x)，則36＝k(32＋3)，解得k＝3.又每件商品的利潤(rùn)為(20－12－x)元，每天賣出的商品件數(shù)為48＋3(x2＋x)，∴該商品一天的銷售利潤(rùn)為f(x)＝(8－x)＝－3x3＋21x2－24x＋384(0≤x≤8)．(2)f′(x)＝－9x2＋42x－24＝－3(x－4)(3x－2)．令f′(x)＝0，可得x＝eq\f(2,3)或x＝4.當(dāng)x變化