【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】2021高考數(shù)學(xué)(江蘇專用-理科)二輪專題整合：1-7-1幾何證明選講(選做部分)

第1講幾何證明選講1. (2022·江蘇卷)如圖，AB是圓O的直徑，D，E為圓上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，連接BD并延長(zhǎng)至點(diǎn)C，使BD＝DC，連接AC，AE，DE. 求證：∠E＝∠C. 證明連接OD，由于BD＝DC，O為AB的中點(diǎn)， 所以O(shè)D∥AC，于是∠ODB＝∠C. 由于OB＝OD，所以∠ODB＝∠B于是∠B＝∠C. 由于點(diǎn)A，E，B，D都在圓O上，且D，E為圓O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，所以∠E和∠B為同弧所對(duì)的圓周角， 故∠E＝∠B.所以∠E＝∠C.2. (2011·江蘇卷)如圖，圓O1與圓O2內(nèi)切于點(diǎn)A，其半徑分別為r1與r2(r1＞r2)，圓O1的弦AB交圓O2于點(diǎn)C(O1不在AB上)． 求證：AB∶AC為定值． 證明如圖，連接AO1并延長(zhǎng)，分別交兩圓于點(diǎn)E和點(diǎn)D.連接BD，CE.由于圓O1與圓O2內(nèi)切于點(diǎn)A，所以點(diǎn)O2在AD上，故AD，AE分別為圓O1，圓O2的直徑．從而∠ABD＝∠ACE＝eq\f(π,2).所以BD∥CE，于是eq\f(AB,AC)＝eq\f(AD,AE)＝eq\f(2r1,2r2)＝eq\f(r1,r2).所以AB∶AC為定值．3. (2010·江蘇卷)AB是圓O的直徑，D為圓O上一點(diǎn)，過(guò)D作圓O的切線交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，若DA＝DC，求證：AB＝2BC. 證明連接OD，則：OD⊥DC， 又OA＝OD，DA＝DC，所以∠DAO＝∠ODA＝∠DCO，∠DOC＝∠DAO＋∠ODA＝2∠DCO，所以∠DCO＝30°，∠DOC＝60°，所以O(shè)C＝2OD，即OB＝BC＝OD＝OA，所以AB＝2BC.4. 如圖，∠PAQ是直角，圓O與AP相切于點(diǎn)T，與AQ相交于兩點(diǎn)B，C.求證：BT平分∠OBA. 證明連接OT，由于AT是切線，所以O(shè)T⊥AP. 又由于∠PAQ是直角，即AQ⊥AP， 所以AB∥OT， 所以∠TBA＝∠BTO. 又OT＝OB，所以∠OTB＝∠OBT， 所以∠OBT＝∠TBA， 即BT平分∠OBA.5．如圖，過(guò)圓O外一點(diǎn)M作它的一條切線，切點(diǎn)為A，過(guò)A點(diǎn)作直線AP垂直直線OM，垂足為P. (1)證明：OM·OP＝OA2； (2)N為線段AP上一點(diǎn)，直線NB垂直直線ON，且交圓O于B點(diǎn)．過(guò)B點(diǎn)的切線交直線ON于K.證明：∠OKM＝90°. 證明(1)由于MA是圓O的切線，所以O(shè)A⊥AM.又由于AP⊥OM，在Rt△OAM中，由射影定理知，OA2＝OM·OP. (2)由于BK是圓O的切線，BN⊥OK，同(1)，有OB2＝ON·OK，又OB＝OA，所以O(shè)P·OM＝ON·OK， 即eq\f(ON,OP)＝eq\f(OM,OK).又∠NOP＝∠MOK， 所以△ONP∽△OMK，故∠OKM＝∠OPN＝90°.6．(2022·遼寧卷)如圖，EP交圓于E，C兩點(diǎn)，PD切圓于D，G為CE上一點(diǎn)且PG＝PD，連接DG并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)A，作弦AB垂直EP，垂足為F. (1)求證：AB為圓的直徑； (2)若AC＝BD，求證：AB＝ED. 證明(1)由于PD＝PG，所以∠PDG＝∠PGD. 由于PD為切線，故∠PDA＝∠DBA， 又由于∠PGD＝∠EGA， 故∠DBA＝∠EGA. 所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD， 從而∠BDA＝∠PFA. 由于AF⊥EP，所以∠PFA＝90°，于是∠BDA＝90°. 故AB是直徑． (2)連接BC，DC. 由于AB是直徑，故∠BDA＝∠ACB＝90°. 在Rt△BDA與Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD， 從而Rt△BDA≌Rt△ACB，于是∠DAB＝∠CBA.