哥德爾不完備定理

哥德爾不完備定理哥德爾不完備定理是邏輯學(xué)中最重要、最有影響的定理之一。哥德爾在20世紀(jì)初發(fā)現(xiàn)，通過邏輯學(xué)的語(yǔ)言和符號(hào)系統(tǒng)，我們可以有限地表示某些數(shù)學(xué)命題。但是，這個(gè)表示系統(tǒng)卻無法完全表達(dá)所有的數(shù)學(xué)命題，因?yàn)楸厝淮嬖谝恍┟}，無法從這個(gè)表示系統(tǒng)的公理推導(dǎo)出來。這個(gè)結(jié)論也被稱為“哥德爾不完備定理”。一句話概括哥德爾不完備定理：所有包含基本算術(shù)的自洽公理系統(tǒng)都存在未能被證明的命題。哥德爾在這個(gè)定理之前已經(jīng)在哥廷根大學(xué)上完成了數(shù)學(xué)博士論文。在關(guān)于數(shù)學(xué)和邏輯的研究中，他發(fā)現(xiàn)了一個(gè)基本的問題：數(shù)學(xué)是否是一致的和完備的？這直接涉及到數(shù)學(xué)科學(xué)的可行性和正確性。哥德爾提出的這個(gè)問題，可以歸納為如下三個(gè)問題：第一、對(duì)于每個(gè)數(shù)學(xué)命題，它是否是真的或者假的？或者說，數(shù)學(xué)命題是否有真理？第二、對(duì)于所有的數(shù)學(xué)命題，我們是否可以找到一個(gè)系統(tǒng)來證明它們的真假性？或者說，數(shù)學(xué)是否是完備的？第三、一個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)是否還有必要進(jìn)行擴(kuò)充，然后才能使它們一致并完備？哥德爾發(fā)現(xiàn)，雖然所有的命題都存在確定的真假性，但是任何一種數(shù)學(xué)公理系統(tǒng)都不可能既是一致的又是完備的。這是哥德爾不完備定理的證明。首先，當(dāng)存在一個(gè)公理系統(tǒng)時(shí)，必然存在一個(gè)方法來定義這個(gè)系統(tǒng)。這個(gè)定義必須滿足：1）系統(tǒng)的元素被定義；2）定義必須是基于系統(tǒng)內(nèi)的定義或已知公理；3）定義必須包含一個(gè)給出元素所需條件的信息。接下來，我們可以論斷：1）任何公理都可以告訴我們什么是真實(shí)的，什么是假的。因此，任何數(shù)學(xué)公理都含有一段真理；2）所有數(shù)學(xué)命題都可以被證明或否定。因此，公理系統(tǒng)是完備的，只要任何命題可以被證明或否定即可。然而，哥德爾證明了其結(jié)論之一：在任何包含基本算術(shù)的自洽公理系統(tǒng)中，必然存在可以被表達(dá)、但卻不可被證明的命題。這個(gè)命題被稱為“哥德爾語(yǔ)句”。換句話說，哥德爾發(fā)現(xiàn)，無論我們使用什么樣的公理，都不能對(duì)所有的數(shù)學(xué)命題進(jìn)行證明或證偽。在任何一個(gè)自洽公理系統(tǒng)中，都必有“盲區(qū)”，即我們無法證明或證偽的命題。完備性被打破了。哥德爾的發(fā)現(xiàn)引起了眾多數(shù)學(xué)家的關(guān)注。這個(gè)定理不僅受到數(shù)學(xué)界的認(rèn)可，也引起了計(jì)算機(jī)科學(xué)、哲學(xué)、物理學(xué)等其他學(xué)科領(lǐng)域的關(guān)注。哥德爾不完備定理告訴我們，數(shù)學(xué)不僅僅是關(guān)于公理、證明和推理的一種嚴(yán)格的科學(xué)方法，還是人類思維過程的反映。我們的思維和語(yǔ)言雖然是有限的，卻可以表述和理解無限的形式和概念，這是數(shù)學(xué)和自然科學(xué)及其他學(xué)科的思想積累過程所必須的。哥德爾的發(fā)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)、哲學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)