【創(chuàng)新大課堂】2022高考數(shù)學(xué)(新課標(biāo)人教版)一輪總復(fù)習(xí)練習(xí)：第8章-平面解析幾何-第4節(jié)-雙曲線

第八章第4節(jié)一、選擇題1．(2022·天津高考)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線平行于直線l∶y＝2x＋10，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線l上，則雙曲線的方程為()A.eq\f(x2,5)－eq\f(y2,20)＝1 B.eq\f(x2,20)－eq\f(y2,5)＝1C.eq\f(3x2,25)－eq\f(3y2,100)＝1 D.eq\f(3x2,100)－eq\f(3y2,25)＝1[解析]∵eq\f(b,a)＝2,0＝－2c＋10，∴c＝5，a2＝5，b2＝20，∴雙曲線的方程為eq\f(x2,5)－eq\f(y2,20)＝1.故選A.[答案]A2．(2021·濟(jì)南期末)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的兩條漸近線均與圓C∶x2＋y2－6x＋5＝0相切，則該雙曲線的離心率等于()A.eq\f(3,2) B.eq\f(\r(6),2)C.eq\f(3\r(5),5) D.eq\f(\r(5),5)[解析]依題意可知圓C：(x－3)2＋y2＝4，設(shè)雙曲線的漸近線方程為y＝±kx，則eq\f(|3k|,\r(1＋k2))＝2，解得k2＝eq\f(4,5)，即eq\f(b2,a2)＝eq\f(4,5)，所以該雙曲線的離心率e＝eq\r(1＋\f(4,5))＝eq\f(3\r(5),5).故選C.[答案]C3．(2021·浙江溫州適應(yīng)性測(cè)試)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線Ax2－By2＝1的焦點(diǎn)，其頂點(diǎn)是線段F1F2A．y＝±2eq\r(2)x B．y＝±eq\f(\r(2),4)xC．y＝±x D．y＝±2eq\r(2)x或y＝±eq\f(\r(2),4)x[解析]依題意c＝3a，∴c2＝9a2.又c2＝a2＋b∴eq\f(b2,a2)＝8，eq\f(b,a)＝2eq\r(2)，eq\f(a,b)＝eq\f(\r(2),4).故選D.[答案]D4．(2021·哈師大附中模擬)與橢圓C：eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,12)＝1共焦點(diǎn)且過點(diǎn)(1，eq\r(3))的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A．x2－eq\f(y2,3)＝1 B．y2－2x2＝1C.eq\f(y2,2)－eq\f(x2,2)＝1 D.eq\f(y2,3)－x2＝1[解析]橢圓eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,12)＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－2)，(0,2)，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,m)－eq\f(x2,n)＝1(m＞0，n＞0)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,m)－\f(1,n)＝1，,m＋n＝4，))解得m＝n＝2，故選C.[答案]C5．(2021·高考北京卷)雙曲線x2－eq\f(y2,m)＝1的離心率大于eq\r(2)的充分必要條件是()A．m＞eq\f(1,2) B．m≥1C．m＞1 D．m＞2[解析]用m表示出雙曲線的離心率，并依據(jù)離心率大于eq\r(2)建立關(guān)于m的不等式求解．∵雙曲線x2－eq\f(y2,m)＝1的離心率e＝eq\r(1＋m)，又∵e＞eq\r(2)，∴eq\r(1＋m)＞eq\r(2)，∴m＞1.[答案]C6．雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的離心率為2，則eq\f(b2＋1,3a)的最小值為()A.eq\f(2\r(3),3) B.eq\f(\r(3),3)C．2 D．1[解析]由于雙曲線的離心率為2，所以eq\f(c,a)＝2，即c＝2a，c2＝4a又由于c2＝a2＋b2，所以a2＋b2＝4a2，即b＝eq\r(3)a，因此eq\f(b2＋1,3a)＝eq\f(3a2＋1,3a)＝a＋eq\f(1,3a)≥2eq\r(\f(1,3))＝eq\f(2\r(3),3)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝eq\f(1,3a)時(shí)等號(hào)成立．即eq\f(b2＋1,3a)的最小值為eq\f(2\r(3),3).故選A.[答案]A7．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2－eq\f(y2,9)＝1的左、右焦點(diǎn)．若點(diǎn)P在雙曲線上，則eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，則|eq\o(PF1,\s\up6(→))|＋|eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝()A.eq\r(10) B．2eq\r(10)C.eq\r(5) D．2eq\r(19)[解析]∵eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(PF1,\s\up6(→))⊥eq\o(PF2,\s\up6(→))，∴|eq\o(PF1,\s\up6(→))|2＋|eq\o(PF2,\s\up6(→))|2＝40，又||eq\o(PF1,\s\up6(→))|－|eq\o(PF2,\s\up6(→))||＝2a＝2，∴||eq\o(PF1,\s\up6(→))|－|eq\o(PF2,\s\up6(→))||2＝|eq\o(PF1,\s\up6(→))|2＋|eq\o(PF2,\s\up6(→))|2－2|eq\o(PF1,\s\up6(→))|×|eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝4，∴|eq\o(PF1,\s\up6(→))|×|eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝18，||eq\o(PF1,\s\up6(→))|＋|eq\o(PF2,\s\up6(→))||2＝|eq\o(PF1,\s\up6(→))|2＋|eq\o(PF2,\s\up6(→))|2＋2|eq\o(PF1,\s\up6(→))|×|eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝76，∴|eq\o(PF1,\s\up6(→))|＋|eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝2eq\r(19).[答案]D8．設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為F，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為B，假如直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C.eq\f(\r(3)＋1,2) D.eq\f(\r(5)＋1,2)[解析]設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，如圖所示，雙曲線的一條漸近線方程為y＝eq\f(b,a)x，而kBF＝－eq\f(b,c)，∴eq\f(b,a)·(－eq\f(b,c))＝－1，整理得b2＝ac.∴c2－a2－ac＝0，兩邊同除以a2，得e2－e－1＝0，解得e＝eq\f(1＋\r(5),2)或e＝eq\f(1－\r(5),2)(舍去)，故選D.[答案]D9．已知點(diǎn)F是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左焦點(diǎn)，點(diǎn)E是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，若△ABE是鈍角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是()A．(1，＋∞) B．(1,2)C．(1,1＋eq\r(2)) D．(2，＋∞)[解析]依據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，若△ABE是鈍角三角形，則只要0＜∠BAE＜eq\f(π,4)即可．直線AB：x＝－c，代入雙曲線方程得y2＝eq\f(b4,a2)，取點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，\f(b2,a)))，則|AF|＝eq\f(b2,a)，|EF|＝a＋c，只要|AF|＞|EF|就能使∠BAE＜eq\f(π,4)，故eq\f(b2,a)＞a＋c，即b2＞a2＋ac，即c2－ac－2a2＞0，即e2－e－2＞0，得e＞2或e＜－1，又e＞1，故e＞2.故選D.[答案]D10．若點(diǎn)O和點(diǎn)F(－2,0)分別為雙曲線eq\f(x2,a2)－y2＝1(a＞0)的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，則eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))的取值范圍為()A．[3－2eq\r(3)，＋∞) B．[3＋2eq\r(3)，＋∞)C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,4)，＋∞)) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,4)，＋∞))[解析]由a2＋1＝4，得a＝eq\r(3)，則雙曲線方程為eq\f(x2,3)－y2＝1.設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，則eq\f(x\o\al(2,0),3)－yeq\o\al(2,0)＝1，即yeq\o\al(2,0)＝eq\f(x\o\al(2,0),3)－1.eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))＝x0(x0＋2)＋yeq\o\al(2,0)＝xeq\o\al(2,0)＋2x0＋eq\f(x\o\al(2,0),3)－1＝eq\f(4,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(3,4)))2－eq\f(7,4)，∵x0≥eq\r(3)，故eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))的取值范圍是[3＋2eq\r(3)，＋∞)，故選B.[答案]B11．(2021·福建南平質(zhì)檢)已知雙曲線Γ：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的離心率為2，過雙曲線Γ的左焦點(diǎn)F作圓O：x2＋y2＝a2的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則∠AFB等于()A．45° B．60°C．90° D．120°[解析]連接OA，在Rt△AFO中，sin∠AFO＝eq\f(a,c)＝eq\f(1,2)，則∠AFO＝30°，故∠AFB＝60°.[答案]B二、填空題12．雙曲線mx2＋y2＝1的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則m＝________.[解析]由題意知a2＝1，b2＝－eq\f(1,m)，則a＝1，b＝eq\r(－\f(1,m)).∴eq\r(－\f(1,m))＝2，解得m＝－eq\f(1,4).[答案]－eq\f(1,4)13．已知以雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)及虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形中，有一個(gè)內(nèi)角為60°，則雙曲線C的離心率為________．[解析]如圖，∠B1F1B2＝60°，則c＝eq\r(3)b，即c2＝3b2，由c2＝3(c2－a2)，得eq\f(c2,a2)＝eq\f(3,2)，則e＝eq\f(\r(6),2).[答案]eq\f(\r(6),2)14．(2022·山東高考)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的焦距為2c，右頂點(diǎn)為A，拋物線x2＝2py(p＞0)的焦點(diǎn)為F.若雙曲線截拋物線的準(zhǔn)線所得線段長(zhǎng)為2c，且|FA|＝c，則雙曲線的漸近線方程為________．[解析]由題意可知，拋物線的焦點(diǎn)F為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，準(zhǔn)線方程為y＝－eq\f(p,2).由于|FA|＝c，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)))2＋a2＝c2，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)))2＝b2.聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(p,2)，,\f(x2,a2)－\f(y2,b2)＝1，))消去y，得x＝±eq\r(a2＋\f(a2p2,4b2))，即x＝±eq\r(2)a.又由于雙曲線截拋物線的準(zhǔn)線所得的線段長(zhǎng)為2c，所以2eq\r(2)a＝2c，即eq\r(2)a＝c，所以b＝a，所以雙曲線的漸近線方程為y＝±[答案]y＝±x15．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，則此雙曲線的離心率e